專題六---幾何探究題解題思路

1、專題六 幾何探究題的解題思路、方法簡述隨著中考的改革 ,幾何的綜合題不再是定格在”條件 演繹 結(jié)論”這樣封閉的模式 中,而是必須利用題設(shè)大膽猜想、 分析、比較、 歸納、推理, 或由條件去探索不明確的結(jié)論 ,或由 結(jié)論去探索未給予的條件 , 或討論存在的各種可能性 ; 探索圖形的運動、變換規(guī)律更是中考的熱 點題型 . 解決此類問題 , 數(shù)學思想的合理應(yīng)用起著關(guān)鍵性的作用 , 一個題目往往需要幾個思想方 法交織應(yīng)用 .二、思想方法1. 分類討論思想 分類討論思想是數(shù)學中的重要思想方法之一，數(shù)學中的許多問題由于題設(shè)交代籠統(tǒng)，需要 進行討論，另外由于題意復雜，包含情況多也需要討論。分類是按照數(shù)學對象的

2、相同點或差異 點，將數(shù)學對象分為不同種類的方法，其目的是復雜問題簡單化。正確的分類必須周全，不重 不漏；分類的原則是： （ 1）分類中的每一部分必須是獨立的； （2）一次分類必須是一個標準； （3）分類討論應(yīng)逐級進行。2. 數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)型結(jié)合就是將數(shù)和有關(guān)的圖形結(jié)合起來，通過對圖形的研究探索數(shù)量之間的關(guān)系，從而 達到解決問題的方法。利用數(shù)型結(jié)合思想，可以將復雜的形化為具體的數(shù)，由形索數(shù)，由數(shù)導 形，將數(shù)形有機地結(jié)合起來，加強數(shù)形思想的訓練，對鞏固數(shù)學知識，提高問題的解決能力， 至關(guān)重要。3. 函數(shù)與方程思想 函數(shù)關(guān)系是指某個變化過程中兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，方程是由已知量和未知量構(gòu)成的 矛

3、盾的統(tǒng)一體，它是由已知探知未知的橋梁，從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，抓住問題的函數(shù)關(guān) 系或等量關(guān)系，用數(shù)學語言將函數(shù)或等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式或方程式，在通過函數(shù)的性質(zhì) 或方程的理論使問題獲得解決的思想方法，就稱為函數(shù)與方程思想。4. 轉(zhuǎn)化與化歸思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想，也是初中數(shù)學常用的思想方法之一，是將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)成熟 悉問題的思想方法，就是將待解決的問題，通過分析、聯(lián)想、類比等過程，選擇恰當?shù)姆椒ㄟM 行變換，轉(zhuǎn)化到已解決或比較容易解決的問題上，最終達到解決問題的目的，解決問題的過程點P在BC邊上，當/ APD =90時,(不與端點C重合).、 過點P作PE丄PD，交y軸于點E，設(shè)OP二

4、x ,E 二 y ,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.(1)證明：如圖2,1=180- / B- / 2/ 3=180- / APD- / 2又/ B= / C ABPA PCD難則反原則。三、典例分析例1:閱讀理解：如圖1,在直角梯形 ABCD 中，AB / CD，/ B =90,易證.ABP s ：PCD，從而得到BPPC = AB CD . 解答下列問題：(1) 模型探究：如圖2,在四邊形ABCD中， 點P在BC邊上，當/ B =Z C=Z APD時，求證：BP PC 二 AB CD ;(2) 拓展應(yīng)用：如圖3,在四邊形ABCD中，AB =4, BC =10, CD =6,

5、 / B =Z C =60 ,A丄BC于點，以為原點，以BC所在的直線 為x軸，建立平面直角坐標系，點 P為線段C上一動點如圖 當/ APD =60時，求點P的坐標;設(shè) P 點坐標為(x, 0), (0 XV8)貝9 BP=2+x , PC=8-x BP PC =AB CD 即(2+x) (8-x)= 4 6 解得：x1 =2,x2 =4點P的坐標為P (2, 0)或P (4, 0)解法一：如圖 3,過點D作DML x軸于點M1則 CM= CD =3 , DM= 3 3 OM=52(I )當點P在線段 OM上設(shè)為P1, P1 M=x-5 (0 x w 5)/ E1O=Z DMP 1=Z E1

6、P1D=90 0 OP1?P1M=OE1?DM即 x(5 - x)= y 3 3 y，x2 士x (0 xw 5)99(n )當點P在線段CM上設(shè)為P2 , P 2 M=x-5 (5 x8)OE2 OP2F2M DM / 1= / 2 Rt E2OP2 s Rt P2 MD OP P2M = OE2 DM 即 x(x-5)= y 3 3f S (5 x8)99解法二：如圖 3,過點D作DMLx軸于點M則 CM=CD =3 , DM= 3 3 OM=5 D(5, 3.3)2(I )當點P在線段 OM上設(shè)為P1, P1 M=5-x (0 x w 5) 連接DE EF2 +RD2 =EQ2即 x2+

7、y2+(5-x) 2+ (3 )2 =( 3-y) 2+52 32 丄 5-y - xx (0 xw 5)99(n )當點P在線段CM上設(shè)為P2 , P 2 M=x-5 (5 x8) 連接DE 2 E2P22P2D2 =E2D2即 x 2 y2(x-5) 2+ ( 3 3) 2 =(3 3+y) 2 +52994 / 35一個研究具有一般性問題的較完整的過程：先從這個一般性問題的“特殊”（圖1為直角情形）入手，到“一般”（圖2為非直角情形）；再從“一般”（問題（2）上升到新背景中的“特 殊”（問題（2），使學生經(jīng)歷了“特殊一一般一特殊”由淺入深、歸納與演繹交替變化的思 維過程試題在第一環(huán)節(jié)中提

8、供了“易證， ABP s PCD ”的啟示，學生在解破“易證”中的具有廣泛意義的思考或研究方法（即所謂“一般性方法”）后，就能類比解決后續(xù)的各個問題考查學生利用類比方法進行自主探究學習的能力本題的價值不僅在于環(huán)環(huán)相扣、層層推進的精彩設(shè)置，更在于其本身突出地展示著“一般性方法”的深刻含義和普遍適用性，能掌握并 善于運用一般性方法，就顯示出較高的數(shù)學學習能力例2.已知菱形ABCD的邊長為1 , ADC =60，等邊 AEF兩邊分別交邊 DC、CB于 點 E、F .（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1,若點E、F分別是邊DC、CB的中點，求證：菱形ABCD對角線AC、BD的交點O即為等邊 AEF的外心；（2）若點

9、E、F始終在分別在邊DC、CB上移動，記等邊 AEF的外心為點P . 猜想驗證：如圖2,猜想lAEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明； 拓展運用：如圖 3,當.AEF面積最小時，過點 P任作一直線分別交邊 DA于點N ,1 1交邊DC的延長線于點M，試判斷是否為定值，若是，請求出該定值；若不是,DM DN請說明理由1DAD內(nèi)N A圖2圖3解：（1）證明：如圖1，分別連接OE、OF四邊形ABCD是菱形 AC 丄 BD , BD 平分 ADC , AD = DC = BC COD COB AOD =9011ADO ADC 60O =30。22又 E、F分別為DC、CB中點5 / 35111 OE

10、 CD、OF BC、AO AD 2 2 2 OE =OF =OA 點O即為.AEF的外心(2)猜想：外心P 一定落在直線 DB上證明：如圖2，分別連接PE、PA，過點P分別作PI _ CD于I , PJ _ AD于J .則.PIE PJD =90P到直線AD、AC的距離相等，如 . IPJ =360 -. PIE -. PJD - . JDI點P是等邊 AEF的外心, . EPA =120 , PE =PA IPJ = EPAPIE 也 PJA . IPJ = JPA PI 二 PJ IPJ =360 -90 -90 -60 =120點P在.ADC的平分線上，即點 P落在直線DB上 分析：證點

11、P落在.ADC的平分線上，也就證明點此便可構(gòu)造兩個直角三角形證明全等。若考慮對角互補，便可聯(lián)想到四點共圓, 從而利用圓的性質(zhì)便有下面兩種解法。另解法一：分別連接 PA、PC、PD乙BCD =120 , AD =CD點P是等邊AAEF的外心， EAF =60, EAF BCE =180 A、F、C、E 四點共圓， PA = PC/ DA =DC CDP 也 ADP . CDP ADPP落在.ADC的平分線上.即點P落在直線DB上.另解法二：分別連接PA、PE、PD 點P是等邊 AEF的外心 EPA =120 , PE =PA PEA =30 ADCEPA =180 A、P、E、 D四點共圓O .

12、 PDA =/PEA =30 P落在.ADC的平分線上即點P落在直線1 1為定值2DM DN當AE _DC時，.AEF面積最小， 此時點E、F分別為DC、CB中點 連接BD、AC交于點P，由（1） 可得點P即為AEF的外心解法一：如圖，設(shè)MN交BC于點G設(shè)DM=x, DN = y(x = 0, y = 0)，則 CN = yB/ BC CG圖5/ DA，且 BC 二 DA , P 是 BD 的中點 :GBPMDP=1 x/ BC / DA NCG s ：NDMCNCGDN DM BG = DM = x即DM匚丄=2DN分析：觀察圖形，得到結(jié)論 AM 線段集中到兩個相似的三角形厶NCG式從而得到

13、結(jié)論。依據(jù)此策略，可得到解法二、解法二：如圖，連接 PE 點P、11 PE DA 一 ,22PE / DA NEP s NDMNE EPDMND設(shè) DM =x, DN =y則NE二CG，把1用AD或CD代替, ,.NDM 中，把要計算的線段或相關(guān) 并把長度用字母表示，化簡含字母的代數(shù) xyx Jy2 211x y=2,則DM1DNG作直線GH /解法三：過點/ GH / CD HMG s . QMNHG HMCD交AD于點DN DM1 DM -AMDM (1DN1DM丄=2- DM )DM圖6圖7DM DN解法四：過點 C作直線CK / MN交BD于點K，過點A作AH / MN交BD于H /

14、CK / MN , AH / MN DCK s DNP，:DMP s ：DAH DCDKDA DH1DKDN-DP，DM DPDN - DP11DK DH-+DMDNDP由 CKP 也. ：AHP 得：KP =HP1DMDK DH =2DP11 2DMDN解法五：如圖，過點B圖8S DNPP 作 PI _ DC 于 I , PJJ3_ DA 于 J，貝U PI 二 PJ 二41 1 1-DN 卩 1 DM PJDM DN sin 6022213131、3-DNDMDM DN242422DM DN = 2DMDN 1 一1 2DMDN11DM DN分析：因為+而 DMDMDNDM ? DN二 S

15、 DMNB正與 DMN的面積有關(guān)，其中DM ,DN也可以看成是將 DMN分為 DNP和DMP后，計算面積過程中涉及的底邊。這種對 所求的結(jié)論作等份變形，找尋解題思路的方法是我們分析問題時常采用的一種重要方法。解法六：如圖4,以點D為坐標原點,DA所在直線為x軸，建立平面直角坐標系設(shè)直線MN的解析式為y =kx b可求得點P的坐標為（3,乜）4 4b二仝-3k44j 33直線MN的解析式為y =kxk 3k b圖10求得直線DN的解析式為y二、3x二 DNcos603k 32 2令 kx -3k43k上=0 x = 443k4 43k - 3二 2丄DM DN評析：本題是一道集閱讀理解、實驗操作

16、、猜想證明、應(yīng)用探究于一體的綜合題型。試題 以菱形中的一個等邊三角形旋轉(zhuǎn)作為載體，綜合考查了等邊三角形、菱形兩個基本圖形的性質(zhì)，同時考查了等邊三角形的外心（中心）、三角形的中位線、相似、全等等初中數(shù)學幾何主干知識； 試題源于教材，立足數(shù)學通性、通法，具有公平性、原創(chuàng)性，既緊扣雙基，又突出能力要求。本題就改變了傳統(tǒng)幾何證明題的模式（已知，求證，證明），將合情推理與演繹推理有機融合在一起，試題引導學生學會一種解決問題的策略一一試驗、發(fā)現(xiàn)、聯(lián)想、推廣。其新意主要體現(xiàn) 在讓學生在操作、實驗等嘗試性活動中表現(xiàn)出對基礎(chǔ)知識的理解水平，對圖形的分解與組合的 能力，考查了學生的分析、觀察、猜測、驗證、計算與推

17、理能力。本題結(jié)論開放、方法開放、 思路開放，能有效地反映高層次思維，融會了特殊與一般、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學建模思想、函數(shù)思 想、數(shù)形結(jié)合思想。其中第一道小題在靜態(tài)圖形中考查了特殊點下等邊三角形外心（中心）的的判定，屬于基礎(chǔ)題；第二問為先猜想，因有第一步作鋪墊不難猜測點P落在直線DB上，證點P落在/ ADC的平分線上，也就證明點 P到直線AD AC的距離相等（結(jié)論轉(zhuǎn)換），如此便可構(gòu)造兩個直角 三角形證明相等，思路自然，知識基本，方法核心，屬于能力考查范圍；第（2）小題第以探究性問題讓學生先判斷、后推理，重思維，輕計算，對學生的思維能力要求較高。四、強化訓練1.如圖，在矩形 ABCD中，AB = 9 ,

18、 AD =3.3，點P是邊BC上的動點（點P不與 點B、點C重合），過點P作直線PQ / BD，交CD邊于Q點，再把 PQC沿著動直線PQ 對折，點C的對應(yīng)點是R點，設(shè)CP的長度為x , PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為 y .（1 ）求 CQP的度數(shù)；（2）當x取何值時，點 R落在矩形ABCD的AB邊上？9 / 35（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;Q（備用圖1）（備用圖2）2.如圖 1,在 Rt ABC 中，NC =90, AC =BC =6 , D 是 AB 邊上一點，E 是在 AC 邊上的一個動點（與點 A、C不重合），DF _ DE，DF與射線CB相交于點F。（1）如圖1,如果點D

19、是邊AB的中點，求證：DE二DF ；（2）如圖2,如果=m，求匹的值；DBDFAD 1（3） 如果，設(shè)AE =x，BF =y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；10 / 35D備用圖3.四邊形ABCD是矩形，AB =2 , AD =3，點M是射線DC上的一個動點（點 M不 與點D重合），N是點M關(guān)于AD的對稱點，射線 AM交射線BC于E，設(shè)DM二m , CE二n , -ANE的面積為S.（1）如圖1，當點M在DC邊上運動時，試用 m的代數(shù)式表示n,并寫出m的取值范圍；（2）當點M在射線DC上運動時，判斷 也ANE的面積S是否為定值，若是定值，請求出該 定值；若不是，請用 m的代數(shù)式表

20、示S，并寫出m的取值范圍.NADMC E圖2 （備用圖）4.已知：在矩形 ABCD中，AB =10, BC =12，四邊形EFGH的三個頂點E、F、H分別在矩形 ABCD邊AB、BC、DA 上, AE = 2 .（1）如圖1,當四邊形EFGH為正方形時，求 GFC的面積；（2）如圖2，當四邊形EFGH為菱形，且BF =a時，求 GFC的面積（用含a的代數(shù)式表 示）；（3） 在（2）的條件下，GFC的面積能否等于2 ?請說明理由.5.已知， ABC是等腰直角三角形， BAC =90, BC =2 , D是線段BC上一點，以 AD為邊，在AD的右側(cè)作正方形 ADEF 直線AE與直線BC交于點G，連

21、接CF .(1) 如圖1,當BD 1時，求證： ACF也ABD ；(2) 如圖2，當BD 1時，請在圖中作出相應(yīng)的圖形，猜測線段CF與線段BD的關(guān)系，并 說明理由；(3) 連接GF，判斷線段BD為何值時，GFC是等腰三角形.13 / 35 FC6.有公共頂點大小不等的正方形 ABCD與正方形AEFG ,兩個正方形分別繞著點 A旋轉(zhuǎn) 至下列圖形的位置，其中 BAE - ( (0 ： v :：: 180).(1) 如圖1,連接BG、DE，判斷線段BG與DE的數(shù)量及位置之間的關(guān)系，并說明理由;(2) 連接BE、DG，過點A的直線垂直DG于H交BE于P.如圖2，求證 ABE與AADG的面積相等；AP如

22、圖3，試判斷DG比是否為定值，如果是定值，求出該定值；如果不是，請說明理由14 / 37.（1）如圖 1,在 ABC 中，AC =BC =2、2 , ACB =90，點 E 在 AC 邊上（不與點A、C重合），過E作DE _ AB于D ,連接CD、BE , M為BE的中點，連接 CM、DM . 求證：CDM是等腰直角三角形； 若AD二x， CDM的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；（2）如果把圖1中的 ADE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其它的條件不變，那么 CDM是否還是等腰直角三角形？請說明理由 .CC/X15 / 35 e8.如圖1，在菱形ABCD中，AB=4

23、,/ BAD =120, M是BC邊上的點，/ BAM ( 0 AD即點H已經(jīng)不在邊 AB上 .故不可能有 Sgfc =2.解法二：GFC的面積不能等于2.點H在AD上, 菱形邊長 EH的最大值為2 37. BF的最大值為2.21 .又因為函數(shù)Sgfc =12 -a的值隨著a的增大而減小,所以Sgfc的最小值為12 -2 21 .又 12 一221 2 , GFC勺面積不能等于 2.5解：（1）v四邊形 ADEF是正方形， ABC是等腰直角三角形， AB= AC AD= AF / BAC=Z DAF= 90o/ BAD=Z CAFABD ACF/ W（2）作圖如右：/猜測：CF= BD CFL

24、 BDHDcG罔2理由是：同（1）可得 ABDA ACF CF= BD / ACF=Z ABD=Z ACB= 45o/ FCB= 90o, CFL BD（3）連接GF AE是正方形 ADEF勺對角線FAE=Z DAE= 45o又 AD= AF AG= AG（ 2 2x） 2= 2x2 解得：X1 = 2 + ,2 1 （舍去），X2= 2- , 2如圖 2，當 BD 1 時， CG= BD FG= DG= BC= 2在 Rt CFG,，根據(jù)勾股定理得FG = CG2+ CF, 22 = 2x2解得：X1= 2 （舍去），X2=i：2綜上所得，當BD等于22或. 2時， CFG是等腰三角形6.解

25、：（1） BG = DE BG _ DE理由： 方法一：四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形 AD =AB AE = AG . DAB = EAG =90 DAE 二 BAG = 90 二 DAE也 BAG BAG可以看作由 DAE順時針旋轉(zhuǎn)90得到的（或 DAE可以看作由BAG逆時針旋轉(zhuǎn)90得到的），故BG =DE ,BG DEBCEFA方法二：連接BD如圖.證 QAE 也 BAG 得 BG 二 DE ,ADE ABG . ODB . OBD = (. ADB /ADE )(. ABD . ABG)二.ADB . ABD =900 . BOD =900 BG _ DE方法一：過E作EM

26、_AB于M,過G作GN _ DA的延長線于N .則 ME / AN . AEM = . EAN乙MAE =90 ZAEM , . NAG =90 -”EAN . MAE NAG又 AG 二 AE . AME ANG =90。 EM =GN1 S abe =2 AB EM1S adg AD gn ,ECMNFAGD圖2AB = AD S abe - S.adg方法二：過B作BM/ AE交直線HP于M .則.BMA = . MAE MAE AGDMAE =90 NGAH，. AGD =90 -”GAH . BMA 二.AGD 同理：.BAM 二.ADG 又 AB =AD ：ABM 也 DAG S

27、ABM - SDAGBM - AG/ AE =AG BM = AE又 BPM EPABPM EPA S.abm - S.abeS.Abe - S.Adg/ 二ABM 也二 DAG AM = DG BPMF1為定值一2 AM 二 2AP1 AP =丄 DG2所以DG方法三： 過A作AM - BE于M交DG于N .DN HG乙BAP 二900 WDAH , . ADN =90。_ DAH BAP 二 ADN. ABP =90 - BAM , . DAN =90/BAM又 AB =DA . ABP DAN冋理可證：S APE = S GNAS abp S ape = S dan SGNA即 S.AB

28、E - S ADG/ . ABP 也:DAN , AP =DNAPE GNA AP = GNAP所以為定值DG方法四：過B作BM丄直線HP于M，過E作BN丄直線HP于NBM = AH 同理可證：AEN也=GAHF圖3 BM 二 EN又 /BMP= /ENP =90 , BPM EPN BPM 也 EPN s BPM-S.epn S.ABE - S ABM S AEN= 90。- BAM , . DAH = 90。- BAM = /DAH 又： AMB = DHA =90AB 二 DA ABM s ADAH S 必bm Sdah SAEN - S GAH EN = AH S Abe = S ad

29、g由得 ABM也 DAH , AEN也 GAH AM = DH ,AN-GH又 S Adg - S DahS gah - S Abm S aen MP 二 NP AM AN 二 DG ,又/ BPM 也 EPN AM AN = 2AP1AP =丄 DG2所以AP1A匚為定值丄DG7.(1)方法一：如圖1-1. EDB =/ACB =90 , EM 二 MB1 CM =DM EB =BM2 E1 Z3 4=24 Z2 Z5 6=26D圖1-1又 AC =BC ABC =45 . 1. 2 =2(. 4.6)= 2 ABC =90 即.CMD =90 CDM是等腰直角三角形方法二：如圖1-2.把A

30、CD繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90，點A落在點B處，點D落在點F處，連接MF .則 BF =AD， CF =CD , BCF =/ACD，BF _ AD/ AD _ DE A = 45 AD =DE BF =DE BF / DE 四邊形 DBFE 是矩形.又 EM =MB點M是矩形DBFE的中心 DM MF點D、M、F在同一直線上.且DM二MF又 DCF =/DCB . BCF =/DCB . ACD =90是等腰直角三角形C CM =DM ZCMD =90 所以 CDM 方法三：如圖1-2.延長DM到F，使得DM二MF，連接BF、 / DE _ AB 于 D . EDB =90 又 EM =MB 四

31、邊形DBFE是矩形. . CBF =90 -/ABC =45 =/A又 BC =AC , BF =DE =AD BCF 也 ACD BCF 二 ACD , CF 二 CD DCF DCB BCF DCB ACD =90 CMD -90 CM = DM 所以CDM是等腰直角三角形方法一：在 Rt ADE 中 . ADE = 90 A 二 45 AD = x AE 二 2x CE 二 AC - AE 二 2 2 - 2x又 ECB =90 , BC 二 2 2 BE2 二 BC2 CE2 =(2,2)2(2.2 - .2x)2 =2(x-2)281 2 1 2 1 2 S 二一CM 二 BE =

32、(X-2)1284方法二：如圖1-3.過點C作CH _ AB于/ AC =BC =2 .2，/ACB =90 AB AC2 BC2 -4 AH =CHAB2DH =2 -x CD2 二 DH2 CH2 =(2-x)24又:CM =DM ZCMD =902 1212 12 12- CM 2 CD2 S CM 2 CD2(x2)21 ( 0 ： x 2 )2244方法一：如圖2-1.把ACD繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90，點A落在點B處，點D落在點F處，連接MF、EF .則 BF =AD， CD =CF , BCF =/ACD BF _ AD ,/ AD _ DE . EAD =45 /. AD = DE

33、 BF = DE BF / DE四邊形DBFE是平行四邊形圖2-1又 EM二MB點M是平行四邊形點D、M、F在同一直線上.且DM又 DCF DCB BCF DCB NCMD =90 , CM = DM所以 CDM是等腰直角三角形EF、CF、MF .方法二：如圖2-2.延長DM 到F，使得DM MF，連接BF則四邊形DBFE是平行四邊形 BF 二 DE / AD _ DE .EAD =45 AD = DE BF = AD 3 二/12, AED =45 . AEB =45 3 =45 1 2設(shè) ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角 DAB 則.4 =45二， EAB =45 : ABE =45 _2, .

34、AEB EAB ABE =180 (4512) (45 ： ) (45 - 2) =180 1 二“4 又 BC =AC BCF 也 ACD BCF 二 ACD DCF DCB BCF DCB ACD =90 CMD =90, CM = DM 所以 CDM 是等腰直角三角形8. (1)連接AC如圖1.四邊形 ABCD是菱形，/ BAD=120 / ACBM ABC2 CAB2 ACN=60 AC=AB 又/ / MAN=60 / / BAMM CAN=60- / MAN / BAIWA CAN AM=ANAMN是等邊三角形 BAMWA CAN BM=CN CM+CN=BC=AB=4四邊形 AM

35、CN的周長=AM+CM+CN+AN四邊形AMC的周長=2AM+4 當AM最小時，四邊形AMCN勺周長最小即 當AML BC, a =300時，四邊形AMCN勺周長最小.此時 / AMB=90，/ BAMa =300 BM=1AB=22- AM = . AB - BM = . 4 - 2 = 2、：,3 四邊形 AMCN勺周長最小值為： 4,- 3 4(3) PQ = , 3DQ理由：方法一：把厶ABM堯著點A順時針旋轉(zhuǎn)， 使得點B與點D重合，點 P落在點p處如圖.則 BP=EP =2DQ / P DA=/ PBAM ADQ=30/ pDQ=60，連接pq,記pd的中點為T，1連接 TQ.又T

36、TD=DQ=DP2 DTQ是等邊三角形 TQ=TD=P / DPQ=Z PQT=30，/ / DQT=60 / DQP=900 PQ2 二 PD2-DQ2=3DQ2 P Q = 3DQ/ / PAQ=60，/ BAD=120 / PAB/ DAQ=60 / pad=/ pab / paq/ PAQ=60又 AP=AP, AQ=AQ paqa paq pq=pq PQ = 3DQ方法二：作點 D關(guān)于直線AN的對稱點D， 連接 dq pd、ad，取 pd的中點 T，連接 QT則 DQDQ AD= ad.證厶dafwa bap得pd=bp,其它步驟與 方法一類似。pBB9. 解（1）如圖 2， OE

37、 / AC BOE s ：BAC , . AOP s BACAOAPPOAOxPO-即BABCCA556 AO = x , PO = x5(2)如圖 3,在等腰：ABC 中，AB =BC =5, AC = 6則AC邊上的高為4.所以 S ABC =12.由 AOP s .汨AC得 SAOP =(AP)2 即 IaOP =(?)2SBAC BC12512 2所以 S aop = x .25圖3又/ aop與.poq是同高三角形，所以S.POQOQ 5 _2xAO 一 x圖45 -2x12 2 X24x2 見,X25255于是y = S poq0 ： 52(3)如圖 4，: AQ = 5 - x

38、, BE = BO = 5 - x - AQ = BO又 AP / BC PAQ PAQ 也 QBE PQ =QE PQE是等腰三角形/ PQE與- POQ有一個公共的 P ,而且 POQ PEQ只存在 POQ二 PEQ的情況。當. PQE s APOQ時， POQ也是等腰三角形， OP二OQ625 一x =5 - 2x，解得：AP = x =51610. (1 )T A、D關(guān)于點Q成中心對稱, . HQD =/C=90, HD=HA ,二HDQ = A, DHQ ABC.3x ,415x .4(2)如圖1,當0 : x乞2.5時,ED=10 -4x , QH= AQ tan ./A1 33此時 y=(10-4x)x =_ x2 42x=5時，最大值y =冬432如圖2，當2.5 : x _5時,ED= 4x -10 , QH= AQ tan _A此時 y =丄(4x -10) 3x24y與x之間的函數(shù)解析式為215x .43 2x2注-2當x = 5時，最大值15 x(0 ： x 乞2.5),415x(2.5 ： x _ 5).4y的最大值是(3)如圖1,若 DE=DH，754當 0 ： x _ 2.5 時， DH =AH = QACOS/ADE=10 4x， 1