專題十立體幾何中的向量方法講義理

1、專題十 立體幾何中的向量方法 工三年考情-縱橫研究:卷I卷n卷川2018線面角的正弦值的求解T18(2)二面角、線面角的正弦值的求解 T20 (2)二面角的正弦值的求解T19(2)2017二面角的余弦值的求解T18(2)二面角的余弦值的求解T19(2)二面角的余弦值的求解T19(2)2016二面角的余弦值的求解T18(2)二面角的正弦值的求解T19(2)線面角的正弦值的求解T19(2)縱向把握趨勢全國卷3年3年考，涉及直線與平面所成角、 二面角的求解，且都在解答題中 的第問出現(xiàn)，難度適中.預(yù)計2019年仍會以解答題的形式考查二面角或線 面角的求法.橫向把握重點高考對此部分的命題較為穩(wěn)定，一般為

2、解答題，多出現(xiàn)在第18或19題的第(2)問的位置，考查利用空間向量求異面直線所成的角、線面角或二面角，難 度中等偏上.考法一 利用空間向量證明平行與垂直設(shè)直線I的方向向量為a= (ai, bi,ci),平面a ,卩的法向量分別為u= (a2,b2,C2),v= (a3, bs, C3).(1) 線面平行：I / a ? a丄 u? a u= 0? aia2+ bib2+ CiC2= 0.(2) 線面垂直：I 丄 a? a/ u? a= ku? ai = ka2, bi = kb2, ci = kC2.(3) 面面平行：a / 3 ? u / v? u= kv? a?= kas, b2= kbs

3、, C2= kcs.(4) 面面垂直：a 丄 3?u丄v? u v = 0? a2as + b2bs+ C2Cs= 0.典例 如圖，在四棱錐 P-ABCDK PA丄底面 ABCD ADLAB AB/ DC AD= DC= AP=2, AB= 1,點E為棱PC的中點.求證:(1) BEL DC(2) BE/ 平面 PAD(3) 平面PCDL平面PAD.破題思路第問求什么想什么要證BE! DC想到證"BE丄"D(C,即 "E "Dc= 0給什么用什么由PA丄底面ABCD ADL AB可知AP, AB AD三條直線兩兩互相垂 直，可用來建立空間直角坐標(biāo)系差什么

4、找什么建立坐標(biāo)系后，要證 "be "Dc= 0,缺少"Be , "De的坐標(biāo)，根據(jù) 所建坐標(biāo)系求出 B, E, D, C點的坐標(biāo)即可第問求什么想什么>要證BE/平面PAD想到證 BE與平面 PAD的法向量垂直差什么>需要求BE及平面PAD法向量的坐標(biāo)，可根據(jù)第(1)問建立的空間找什么直角坐標(biāo)系求解第問規(guī)范解答依題意知，AB AD AP兩兩垂直，故以點 A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得B(1,0,0) , Q2,2 , 0) , D(0,2,0),R0,0,2) 由E為棱PC的中點，得E(1,1,1).(1)因為 "be

5、=(0,1,1),"DC= (2,0,0)，故"BE "DC=0.所以 be求什么要證平面PCDL平面PAD想到證平面PCD勺法向量與平面PAD勺法向量想什么垂直差什么缺少兩個平面的法向量，可利用(1)中所建的空間直角坐標(biāo)系求解找什么丄DC易知 AB =(1,0,0)為平面PAD勺法向量,> >而 BE AB = (0,1,1) (1,0,0) = 0，所以 BE! AB又BE?平面PAD所以BE/平面PA D. PD= (0,2 , - 2) , "DC= (2,0,0),設(shè)平面PCD的法向量為n= (x, y, z),>PD = 0

6、,-"DC = 0,2y 2z = 0,2x= 0,不妨令y = 1，可得n= (0,1,1)為平面PCD勺一個法向量.>因為平面PAD的一個法向量 AB = (1,0,0),> >所以 n AB = (0,1,1) (1,0,0) = 0，所以 n丄 AB.所以平面PCDL平面PAD.題后悟通利用空間向量證明空間垂直、平行的一般步驟(1) 建立空間直角坐標(biāo)系，建系時要盡可能地利用條件中的垂直關(guān)系.(2) 建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問題中所涉及的點、直線、平面的要素.(3) 通過空間向量的運算求出直線的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直

7、關(guān)系.(4) 根據(jù)運算結(jié)果解釋相關(guān)問題.對點訓(xùn)練如圖，在直三棱柱 ABGABC中，/ ABC= 90°, BC= 2, CC= 4,點 E在線段BB上，且EB= 1, D, F, G分別為CC, CB, C1A1的中點求 證：(1) BD丄平面ABD平面EGF/平面ABD.證明： 根據(jù)題意，以B為坐標(biāo)原點，BA BC, BB所在的直線分別為 x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則 B(0,0,0), D0,2 , 2),B(0,0,4), C(0,2,4),設(shè) BA= a,則 A(a,0,0),所以 -A =( a, 0,0), "bd =(0,2,2),=(0,

8、22),所以 aD "ba=o,BD BD = 0 + 4-4 = 0,即BD丄BA BD丄BD.又 BAG BD- B, BA?平面 ABD BD?平面 ABD所以BD丄平面ABD.a(2)由 知，曰0,0,3), G2 , 1 , 4 , F(0,1,4),>a>則 EG = 2 , 1, 1 , EF = (0,1,1),a aa a所以 BD EG = 0+ 2 2= 0 , BD EF = 0 + 2 2 = 0 ,即BD丄EG BD丄EF又 EGn EF= E, E(?平面 EGF EF?平面 EGF因此BD丄平面EGF結(jié)合(1)可知平面EGF/平面ABD.考

9、法二 利用空間向量求空間角1 向量法求異面直線所成的角若異面直線a , b的方向向量分別為 a , b,異面直線所成的角為0 ,則cos 0 = |cos|a b |a , b| =.1 | a | b |2 .向量法求線面所成的角求出平面的法向量 n ,直線的方向向量 a ,設(shè)線面所成的角為 0，則sin 0 = |cosn ,_ |n a |a| 一.1 | n | a |3 .向量法求二面角求出二面角a -I-卩的兩個半平面a與卩的法向量n1 , n2,若二面角a-l-卩所成的 角0為銳角，貝y cos 0 = |cos 51 , n2| =也“ n| ;若二面角 a -1 -卩所成的角

10、 0為| n 1| n 2|厲壓|鈍角，貝U cos 0 = |cos n1 , n2| =.| ni"伯題型策略(一)|求異面直線所成的角例1 (2015 全國卷I )如圖，四邊形 ABCD為菱形，/ AB(= 120° , E, F是平面ABC同一側(cè)的兩點，BE丄平面ABCD DF丄平面 ABCD BE= 2DF, AE! EC證明：平面 AECL平面AFQ(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.破題思路第問求什么想什么證明平面 AECL平面AFC想到求二面角 E-AGF的平面角為直角或 證明平面 AEC勺法向量與平面 AFC勺法向量垂直給什么用什么四邊形ABCD菱形

11、，則連接 BD使BDn AC= Q有ACL BD且QA =QC QB= QD.由 EB丄平面 ABC FDL平面 ABC AB= BC= CD= AD 可證 EA= ECFA= FC即厶EACH FAC勻為等腰三角形差什么找什么要證二面角的平面角為直角， 需找出二面角的平面角， 連接EQ FQ 可知/ EQF即為二面角的平面角；若利用坐標(biāo)系求解，此時可以 Q 為坐標(biāo)原點，以 QB和QC分別為x軸，y軸建系第問求什么想什么> >求直線AE與直線CF所成角的余弦值，想到求 AE與CF的夾角的余弦值給什么用什么由BD與 AC垂直平分，且 BE!平面 ABCD可以QB與QC分別為x軸，y軸

12、 建立空間直角坐標(biāo)系差什么找什么> >差各線段的具體長度， 故可令QB= 1,進(jìn)而求出各點坐標(biāo)，AE和CF的坐標(biāo)規(guī)范解答(1)證明：連接 BD設(shè)BDn AC于點0,連接EO FQ EF在菱形ABC呼，不妨設(shè) OB=1.由/ ABC= 120° 可得 AQ= QC= 3.由 BEL平面 ABCD AB= BC可知 AE= EC 故 EOL AC由 DFL平面 ABCD AD= DC可知 AF= FC,故 FCL AC所以二面角E-ACF的平面角為/ EOF又 AEL EC,所以 EO=3.在 Rt EBC中，可得 BE= 2 故 DIr2在Rt FDC中，可得FO162 &

13、#39;在直角梯形BDFE中 由BD= 2, BE= -2, DP#,可得EF=字.從而 EO+ FO= EF2,所以 ECL FO所以二面角E-ACF為直角,所以平面AECL平面AFC> > >(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B, OC的方向為x軸，y軸正方向，| OB|為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz.由可得A(0，- .'3, 0) ,E(1,0 ,；2), F 1 , 0,-22,C(0 ,：'3, 0),所以 AE = (1 ,3,'2) , CF = 1， .3 ¥ .> >斗>=AE CF故 cos A

14、E , CF=> >| AE| CF|所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為題后悟通思路解決第(1)問時，不能正確作出二面角的平面角或雖然作出，但不能正確求解而受阻造成問題無法求解或求解錯誤，解決第(2)問時，不能建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)分析系，是造成不能解決問題的常見障礙技法求異面直線所成的角e，可以通過求兩直線的方向向量的夾角0求得，即cos關(guān)鍵ne = |cos 01.要注意e的范圍為o, $點撥對點訓(xùn)練1將邊長為1的正方形AAOO及其內(nèi)部）繞OO旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，Ac長為, Ab長為, 的同側(cè).（1）求三棱錐C-OAB的體積；其中B與C在平面AAOO（2）求異面直線BC

15、與AA所成的角的大小.i- SA OA B = 2OA OB sinvcoab=31OO' SAOA1 B=3X1 x4解： Ab,詣，丄 aob=3,三棱錐C-OA B的體積為(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA OO所在直線為則 A(0,1 ,0) , Ai(0,1,1 ) , B 寧,2, i , 時-2, o.AA = (0,0,1),y軸，z軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,ABC = (0， 1, 1),cosTAA , "BiC>AA BC| AA | !BC|AA ,!BC> = 3nn異面直線BC與AA所成的角為亍題型策略（二）|求直線與平面所成的角BF例2

16、 （2018 合肥質(zhì)檢）如圖，在多面體 ABCDE中，四邊形 ABC是正方形,丄平面ABCD DE!平面ABCD BF= DE M為棱AE的中點.求證：平面BDM平面 EFC 若DE= 2AB求直線AE與平面BDM所成角的正弦值.破題思路第問求什么想什么求證平面BDMM平面EFC想到證明平面 BDM內(nèi)的兩條相交直線與平面EFC平 行給什么用什么由BF丄平面ABCD DEL平面 ABCD BF= DE利用線面垂直的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)可知四邊形BDEF為平行四邊形，即 EF/ BD差什么找什么還需在平面BDM中找一條直線與平面 CEF平行，由M為棱AE的中點， 想到構(gòu)造三角形的中位線，連接AC

17、與 BD相交即可第問求什么想什么求直線AE與平面BDM所成角的正弦值，想到求直線AE的方向向量與平面BDM勺法向量所成角的余弦的絕對值給什么用什么題干中有DEL平面ABCD四邊形ABCD正方形，從而有 DE DA DC兩 兩互相垂直，利用此性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系差什么找什么要求點的坐標(biāo)，需要線段的長度，通過DE= 2AB賦值即可解決規(guī)范解答證明：連接AC交BD于點N,則N為AC的中點，連接MN又M為AE的中點， MM EC/ MN平面 EFC EC?平面 EFC MN/平面 EFC BF, DE都垂直底面 ABCD - BF/ DE/ BF= DE四邊形BDEF為平行四邊形， BD/ EF.

18、BD?平面 EFC EF?平面 EFC BD/平面 EFC又 MNP BD= N,平面BDM平面EFC（2） DEL平面ABCD四邊形 ABCDi正方形， DA DC DE兩兩垂直，以 D為坐標(biāo)原點，DA DC DE所在直線分別為 x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.,A(2,0,0) , E(0,0,4), M1,0,2),設(shè) AB= 2,貝U DE= 4,從而 D(0,0,0),耳2,2,0) DB = (2,2,0) ,DM= (1,0,2),設(shè)平面BDM勺法向量為n= (x , y , z),2x+ 2y = 0 , 即x + 2z = 0.n DB = 0 , 則&

19、gt;n DM= 0,令 x = 2,貝U y =-2 , z=- 1,從而n= (2 , 2, 1)為平面BDM勺一個法向量.> AE = ( 2,0,4), 設(shè)直線AE與平面BDM所成的角為0 ,則sin>0 = |cos n AE >|n AE|>|n| I AE|15，直線AE與平面BDM所成角的正弦值為4、515 .題后悟通思路解決第（1）冋不能正確利用M為中點這一條件構(gòu)造中位線導(dǎo)致冋題不受阻易求解；第（2）忽視條件DE= 2AB不能正確賦值，造成不能繼續(xù)求解分析或求解錯誤技法用向量法求解直線1與平面a所成的角的一般思路為： 設(shè)直線l的方關(guān)鍵向向量為a,平面a

20、的法向量為n ,則直線l與平面a所成的角0點撥滿足 sin 0 = |cos a , n> |對點訓(xùn)練2. (2018 全國卷I )如圖，四邊形 ABC助正方形，E, F分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把厶DFC折起，使點C到達(dá)點P的位置，且PF丄BF(1) 證明：平面 PEFL平面ABFD(2) 求DP與平面ABFD所成角的正弦值.解： 證明：由已知可得 BF丄PF BF丄EF,又 PFA EF= F,所以BF丄平面PEF又BF?平面ABFD所以平面PEFL平面ABFD.(2)如圖，作PHL EF,垂足為H由得，PHL平面ABFD.> >以H為坐標(biāo)原點，HF的方向為y軸

21、正方向，| BF|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz.由可得，DEL PE又因為 DP= 2, DE= 1,所以PE= 3又 PF= 1, EF= 2,所以PEL PF.所以PH=2，EH= 2.則 H(0,0,0),P0,D -1,- 2, 0 ,>DP =2'>HP = 0,又-P為平面ABFD勺法向量,設(shè)DP與平面ABFD所成角為0 ,3沖| "Hp "Dp| 4 yJ3貝U sin 0 =.| "Hp| "Dp| V3所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為乎.題型策略(三)|求平面與平面所成角例3（2018 沈陽

22、質(zhì)監(jiān)）如圖，在四棱錐P-ABCDK 平面PAD_平面ABCD底面ABCD!正方形，且 PA= PD / APD= 90°.證明：平面 PABL平面PCD 求二面角 APBC的余弦值.破題思路第問求什么想什么證明平面PABL平面PCD想到證明其中一個平面內(nèi)的某條直線垂直于另一個平面給什么用什么給出平面PADL平面ABCD底面ABCD為正方形，用面面垂直的性質(zhì)定理可知CD丄平面APD則CDLAP,然后結(jié)合/ APD= 90° ,即PDLAP,利用面面垂直的判定 定理即可證明第問求什么想什么求二面角APBC的余弦值，想到求平面APB和平面BCP的法向量的夾角的余弦值給什么用什么由

23、題目條件底面 ABCC為正方形，可以根據(jù)正方形的性質(zhì)確定x軸，y軸建系差什么找什么要建立空間直角坐標(biāo)系，還缺少 z軸.由平面PADL平面ABCD可在平面PAD內(nèi) 過點P作AD的垂線即可規(guī)范解答 證明：底面 ABC為正方形，CDL AD.又平面PADL平面 ABCD平面PADT平面ABCAD CDL平面PA D.又 AF?平面 PAD - CDLAP/ APD= 90°,即卩 PDLAP,又 CDT PD= D, AP丄平面 PC D./ AP?平面PAB 平面 PABL平面PC D. 取AD的中點為O, BC的中點為Q,連接PQ OQ易得POL底面ABCD OQ!AD以0為原點，OA

24、, "OQ , "OP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直 角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形 ABCD勺邊長為2，n1 PA = 0, 則Qn1 PB = 0,X1 Z1 = 0, 即X1+ 2y1 乙=0,可得 A(1,0,0) , 01,2,0) , C( 1,2,0) , R0,0,1)設(shè)平面 APB的法向量為 ni = (xi, yi, zi),QQ1),而 PA = (1,0 , 1) , PB = (1,2 ,取X1= 1,得n1= (1,0,1)為平面APB的一個法向量.設(shè)平面BCP的法向量為 n2= (X2, y2, z",1),而-B

25、= (1,2 , 1) , "Pc = ( 1,2 ,n2 PB = 0, 則 一n2 PC= 0,X2+ 2y2 Z2= 0, 即X2 + 2y2 Z2= 0,取y2= 1,得n2= (0,1,2)為平面BCP的一個法向量./ cos n1, n2>n1 n210| n 1| n2| = 5由圖知二面角 APBC為鈍角,故二面角A-PBC的余弦值為一.105題后悟通思路本題第(1)冋因不能正確利用面面垂直的性質(zhì)，而得不出CDL平面受阻PAD從而導(dǎo)致無法證明面面垂直；第(2)冋不能正確利用面面垂直的分析性質(zhì)找出z軸而無法正確建立空間直角坐標(biāo)系而導(dǎo)致不能正確求解技法求二面角a -

26、l -卩的平面角的余弦值，即求平面a的法向量n1與平關(guān)鍵面卩的法向量n2的夾角的余弦cos < n1, n2，但要注意判斷二面角是點撥銳角還是鈍角對點訓(xùn)練3. （2019屆高三昆明調(diào)研）如圖，在四棱錐P-ABCD中,底面ABC是直角梯形，/ ADC =90°，AB/ CD AB= 2CD.平面 PAD_平面 ABCD PA= PD 點 E在PC上，DEL平面PAC證明：PAL平面PCD（2）設(shè)AD= 2,若平面PBC與平面PAD所成的二面角為 45°,求DE的長.解：證明：由DE!平面PAC得DEL PA又平面PADL平面 ABCD平面PACT平面 ABC母AD CD

27、L AD所以CDL平面PAD所以CDL PA又CDT DE= D,所以PA!平面PC D.取AD的中點Q連接PO因為PA= PD所以PQL AD貝U PQL平面 ABCD由(1)得 PAL PD 由 AD= 2 得 PA= PD= ：2 , OP= 1,設(shè) CD= a，則 P(0,0,1) , D(0,1,0) , C(a,1,0) , B(2a , - 1 ,> >0),貝y BC = ( - a,2,0) , PC = (a, 1, - 1),設(shè)m= （x , y , z）為平面PBC的法向量,BC = 0 ,則 _PC = 0 ,-ax+ 2y = 0 , 即ax+ y -

28、z = 0 ,令x= 2,則y =a , z = 3a ,故 m= (2 ,a, 3a）為平面PBC的一個法向量,以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz ,>由(1)知n= DC= (a, 0,0)為平面PAD勺一個法向量,| m- n|2 a|：2由 |cos m nI =2=| m| n|ap10a + 42解得a=,即CD=W ,所以在Rt PCM , PC=甘,CD- PD由等面積法可得 DE= PC =丁.考法三 利用空間向量求解探索性問題典例（2018 山東濰坊三模）如圖，在四棱錐E-ABCD中 ,ftBE= BC F 為底面ABCD矩形，平面 ABCCL平面AB

29、E / AEB= 90° ,CE的中點.求證：平面 BDH平面 ACE(2)若2AE= EB在線段AE上是否存在一點 P,使得二面角 R DBF的余弦值的絕對值為 請說明理由.破題思路第問求什么想什么求證平面BDFL平面ACE想到證明其中一個平面內(nèi)的直線垂直于另一個平面給什么用什么由平面ABCL平面ABE / AEB= 90°可利用面面垂直性質(zhì)及線面垂直的判定及 性質(zhì)得到AE!BF;再由BE= BC F為CE的中點，可利用等腰三角形中線、高線 合一可得到BF丄CE進(jìn)而再由線面垂直的判定、面面垂直的判定得證第問求什么想什么J10在線段AE上是否存在一點 P,使得二面角 RDB

30、F的余弦值的絕對值為 備.想到假設(shè)點P存在，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點P坐標(biāo)，求二面角的余弦值即可給什么2AE= EB題目已知條件及(1)的結(jié)論，可建系設(shè)點表示出兩平面的法向量，進(jìn)而用什么由兩法向量夾角公式得出關(guān)于點P坐標(biāo)的方程，求解即可規(guī)范解答(1)證明：因為平面 ABCCL平面 ABE BCL AB平面 ABCD平面ABE= AB所以BCL平面ABE又A曰平面ABE所以BCL AE因為 AEL BE, B8 BE= B,所以AEL平面BCE因為BF?平面BCE所以AEL BF,在厶BCE中 ,因為BE= BC F為CE的中點，所以BF丄CE又AEP CE= E,所以BF丄平面ACE又BF?

31、平面BDF所以平面 BDFL平面 ACE 存在.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 E-xyz,設(shè)AE= 1,則E(0,0,0) , B(2,0,0) , Q0,1,2),q2,0,2), F(1,o,1),"eBd = ( - 2,1,2) , IBf = ( - 1,0,1)，設(shè) RO,a,O) , a 0,1則"PeB = (2 , - a, 0),結(jié)合(1)易知ECL平面BDF故"EC = (2,0,2)為平面BDF的一個法向量，n 丄 BD, 則En 丄 PB,設(shè)n = (x, y, z)為平面 BDFP勺法向量,即-2X + y+ 2Z = 0,2x ay= 0

32、,令x = a,可得平面BDP的一個法向量為n= (a, 2, a 1),所以 cos "C , n>EC n2a 1| -C| nZ 92+ 4+ a 1由 |cosEEC, n> |1070，解得a= 0或a= 1.故在線段AE上存在點P,使得二面角 RDBF的余弦值的絕對值為 計°,且此時點P在E處或A處.題后悟通思路受阻分析解決第(1)問時，不會證明 AE1BF,造成無法繼續(xù)往下證明結(jié)論成立； 解決第(2)問時，不能正確建立空間直角坐標(biāo)系表示相關(guān)向量坐標(biāo)，是造成不能解決問題的常見誤區(qū)技法關(guān)鍵點撥利用空間向量求解探索性問題的策略(1) 假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存

33、在 (或結(jié)論成立)或暫且認(rèn)可其中的一部分 結(jié)論.(2) 在這個前提下進(jìn)行邏輯推理，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)(或參數(shù))是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等若由此推導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論對點訓(xùn)練如圖，在多面體 ABCDE中，四邊形 ABC是正方形，EF/ ABDE= EF= 1, DC= BF= 2，/ EAD= 30°.(1) 求證：AE!平面CDEF(2) 在線段BD上確定一點G,使得平面EAD與平面FAG所成的角為30°解：(1)證明：因為四邊形 ABCD是正方形,所以 AD= CD= 2.在厶ADE中

34、，由正弦定理得，AD _ DEsin / AED sin / EAD2 _ 1 sin / AED" sin 30解得 sin / AED= 1,所以/ AED= 90°,即卩 AEL ED.在梯形 ABFE中，過點 E作EP/ BF交AB于點P,因為 EF/ AB,所以 EP= BF= 2, PB= EF= 1, AP= 1. 在 Rt ADE中, AE= ：3, 所以 AE + AP= EF2, 所以AEL AB 所以AEL EF, 又 EFn DE= E, 所以AEL平面CDEF由可得，AE1 EF,又 ADL DC DC/ EF, ADO AE= A, 所以DCL平

35、面AED 又DC?平面ABCD 所以平面 AEDL平面 ABCD.其中z軸為在平面AED內(nèi)過點D作以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,AD的垂線所在的直線，則 B(2,2,0) , A(2,0 , 0), e2 , 0 , # , F 1 , 1 , ， 所以DB = (2,2,0), AF = I , 1 , .FF設(shè) DG=入 DB = (2 入，2 入，0)(0 < 入 w 1),則 AG = (2 入2,2 入，0),設(shè)平面FAG的法向量為ni = (xi, yi, zi),則3 37；xi + yi +斗-Zi = 0, 即 2722 入一 2 xi + 2 Xy =

36、 0,取xi = ,；3入，可得平面 FAG的一個法向量為 ni = ( ,；3入，3X :'3, 2 5入), 易知平面EAD的一個法向量為n2= (0, i ,0),所以cos 30| ni n2|I ni| n2|護(hù)|入-1=邁 ，:_X 1 _2+ _2 5X2 22 1 化簡可得9 X 6 X + 1 = 0,解得X = 3,> 1 >故當(dāng)點G滿足DG= - DB時，平面EAD與平面FAG所成的角為30°3高考大題通法點撥立體幾何問題重在“建”一一建模、建系思維流程平打模電平廊化糙塑竹度il尊模電跑驀計鼻模亟立體幾何解答題策略指導(dǎo)立體幾何解答題的基本模式

37、是論證推理與計算相結(jié)合，以某個幾何體為依托，分步設(shè)問,逐層加深解決這類題目的原則是建模、建系.建模一一將問題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距離等的計算模型.建系一一依托于題中的垂直條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.典例 如圖，四邊形 ABCD是矩形，AB= 1, AD= :2, E是AD的中點，BE與AC交于點F, GH平面 ABC D.求證：AF丄平面BEG(2)若AF= FG求直線EG與平面ABG所成角的正弦值.破題思路第問求什么想什么求證AF丄平面BEG想到證明AF與平面BEG的兩條相交直線垂直給什么用什么題目中給出GFL平面ABCD利用線面垂直的性質(zhì)可證 AF丄

38、GF差什么找什么還差A(yù)F與平面BEG中的另一條與 GF相交的直線垂直.在矩形 ABCD中, 根據(jù)已知數(shù)據(jù)可證明/ AFB= 90°第問求什么想什么求直線EG與平面ABG所成角的正弦值，想到建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解EG與平面ABG的個法向量的余弦值給什么用什么題目中給出 GFL平面ABCD可用GF為z軸，由(1)問可知GF AF, EF兩兩互相 垂直，故可建立空間直角坐標(biāo)系差什么找什么還缺少點的坐標(biāo)，根據(jù) AF FG以及題目條件可求出相關(guān)點的坐標(biāo)規(guī)范解答證明：因為四邊形 ABCD矩形,所以ALEF AE_1Cf Bf bC 2.所以 AEFA CBF又在矩形 ABCDh A

39、B=1, AD= ：2,所以A呂牙,AC .3在 Rt BEA中, BE= . aB+ AU 牙,iJ32V6所以 AI3AC y, Bl3BP y.在厶 ABF中，AF2 + BF= 二2+ -3 2= 1= AB,3 3所以/ AFB= 90°,即 AFL BE因為GFL平面ABCDAF?平面 ABCD所以AFL GF又 BEH GF= F, BE?平面 BEG GF?平面 BEG所以AF丄平面BEGy軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由得AC BE FG兩兩垂直，以點 F為原點，F(xiàn)A FE, FG所在直線分別為 x軸，/建廉：別用垂直靈攜建| 亠二亠二*則 A3，0，0，B

40、O，¥，0，G0，0，-3，E0,羋,0，B =6J6T，>aG =退0退3，3>EG = 0,6'36 , V設(shè)n = (x, y, z)是平面ABG的法向量,AB n= 0, 則>AG n= 0,取 x = ,' 2 ,得n = ( 2 , 1, .2)是平面ABG的一個法向量.設(shè)直線EG與平面ABG所成角的大小為 0 ,池權(quán)計笄糾辛為的法廊 匕量皮直找均方向向量，；枸建計算空間勲樓型、*則 sin 0 = 1 EG° MI "ECU n|0 八2 +-fx 1+13 八25 ,1 1 0 + 6 + 3“ 2+ 1 + 2所

41、以直線EG與平面ABG所成角的正弦值為 J55關(guān)鍵點撥禾U用法向量求解空間角的關(guān)鍵在于“四破”破“建系關(guān)* i構(gòu)建恰當(dāng)?shù)某g宣希唯標(biāo)斎jiI. q = =. = *破円求W帝確求解詢吳點的砸標(biāo)K/K丄:I"破“求袪向蚩黃“_:#TV WW BWHn'-nB V WB WV!VB W » WVHWHVKVV碓”秘用公式夭”1熟記求角冬武即可求出角LX°抵 Z. .*.*對點訓(xùn)練(2018 全國卷n )如圖，在三棱錐 P-ABC中，AB= BC= 2 ：2, PA= PB= PC= AC= 4, O為AC的中點.(1)證明：PCL平面ABC(2)若點M在棱BC

42、上，且二面角 MPAC為30°,求PC與平面PAM所 成角的正弦值.解：(1)證明：因為 PA= PC= AC= 4, O為AC的中點, 所以 POL AC 且 PO= 2 ；'3.連接OB因為AB= BC=(0,2,2取平面PAC的一個法向量OB= (2,0,0)建立如圖所示的,A(0, 2,0),所以 ABC為等腰直角三角形，1且 OBL AC OB= ?AC= 2.所以 pO+ oB= pF，所以 PCL OB.又因為OBH AC= Q所以POL平面ABC(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB的方向為x軸正方向，空間直角坐標(biāo)系 Oxyz.由已知得Q0,0,0), B(2,0,0)Q

43、0,2,0), P(0,0,2,：3),設(shè) M(a,2 a,0)(0<aw2),貝U AM= ( a, 4 a, 0).設(shè)平面PAM勺法向量為n= (x , y , z).>AP n= 0,AM n= 0,>所以 cos PC, n>83斗3十32y + 2 ；3z = 0,ax+4 a y= 0,令 y = : 3a,得 z = a, x= '3( a 4)，所以平面 PAM的一個法向量為 n = ( 3( a 4),、：3a, a),>所以 cos OB,2卡 a 4n >r2 :3 a 4+ 3a + a '由已知可得|cosOB, n

44、> | = cos 30 ° =半,所以一US122=f，2 寸3 a 42+ 3a2+ a224解得a= 3或a= 4(舍去).所以n=-攀卻，-4.又"P(C = (0,2 , 2苗,4 + 12 所以pc與平面pa術(shù)成角的正弦值為3.總結(jié)升華立體幾何的內(nèi)容在高考中的考查情況總體上比較穩(wěn)定，因此，復(fù)習(xí)備考時往往有“綱”可循，有“題”可依在平時的學(xué)習(xí)中，要加強(qiáng)“一題兩法（幾何法與向量法）”的訓(xùn)練，切勿顧此失彼；要重視識圖訓(xùn)練，能正確確定關(guān)鍵點或線的位置，將局部空間問題轉(zhuǎn)化為平面模型；能依托于題中的垂直條件， 建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將幾何問題化歸為代數(shù)問題的計算模

45、型.其中，平行、垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)是立體幾何的核心內(nèi)容，空間角的計算是 重點內(nèi)容.專題跟蹤檢測（對應(yīng)配套卷P188）1. (2018 全國卷川)如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面 與半圓弧Cd所在平面垂直，m是Cd上異于c, d的點. 證明：平面 AMD_平面BMC(2)當(dāng)三棱錐MABC體積最大時，求平面 MAB與平面MCD所成二 面角的正弦值.解： 證明：由題設(shè)知，平面 CMQ平面ABCD交線為 C D.因為BC丄CD BQ 平面ABCD所以BCL平面 CMD所以BC丄DM因為M為Cd上異于C, D的點，且DC為直徑，所以DML CM又 B6 CM= C,所以DML平面BMC因為DM

46、平面AMD(2)以D為坐標(biāo)原點,DA的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.所以平面 AML平面BMC當(dāng)三棱錐MABC勺體積最大時，M為Cd的中點由題設(shè)得Q0,0,0),A(2,0,0), B(2,2,0) , C(0,2,0), M(0,1,1),( 2, 1,1) , AB = (0,2,0) , "DA = (2,0,0),設(shè)n = (x , y , z)是平面MAE的法向量,n AM= 0, 則An AB = 0 ,2x+ y+ z= 0 ,即2y= 0.可取 n= (1,0,2),ADA >A又DA是平面MC的個法向量,A所以 cos n , DA

47、 >所以平面MAB與平面MC斷成二面角的正弦值是2. (2018 唐山模擬)如圖，在四棱錐 P-ABCD中 , PC丄底面ABCD底面ABCD是直角梯形，ABL AD AB/ CD AB= 2AD= 2CD E是 PB的中點.(1) 求證：平面 EACL平面PBC(2) 若二面角P-AGE的余弦值為 y,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.解：證明：因為PCX平面ABCD AC?平面ABCD所以ACL PC 因為 AB= 2AD= 2CD所以 AC= BC= ；2AD= '2CD所以 AC + BC= AB 故 ACL BC又B8 PC= C,所以ACL平面PBC因為AC?平面

48、EAC所以平面EACL平面PBC 如圖，以C為坐標(biāo)原點，"CB, "CA, "(CP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)CB= 2, CP= 2a(a>0).貝卩qo,O,O),A(0,2,0),B(2,0,0),P(0,0 ,2a)，則E(1,0 ,a),AAACA = (0,2,0) , CP = (0,0,2 a), CE = (1,0 , a),易知m= (1,0,0)為平面PAC的一個法向量.設(shè)n = (x , y , z)為平面EAC的法向量,2y= 0 ,x + az= 0 ,n CA = 0 , 則An CE = 0

49、 ,n=(a, 0 , 1).依題意,|cosm|m n| a 6|m| | n| = .-'a2 +1= 3解得a= ,：2.于是 n= ( ：2 , 0, 1), "Pa = (0,2 , 2 ;'2).設(shè)直線PA與平面EAC所成角為e,AA| "A n| &則sine = |cos PA , n| =.a3| PA|n|即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為3. (2018 西安質(zhì)檢)如圖，四棱柱 ABCEA1BCD的底面 ABCDI菱形，ACT BD= O A1O 丄底面 ABCD AB= 2 , AA= 3. 若/ BAD= 60°

50、;,求二面角 BOBC的余弦值.(1)證明：平面解： 證明：T AO丄平面ABCD BD?平面ABCD. AOL BD.四邊形ABCD1菱形, COL BD./ ACT CO= Q BDL平面 ACO/ BD?平面 BBDD,平面AiCOL平面BBDD./ AOL平面 ABCDCOL BD OB OC OA兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，"OB,OC ,OA的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系./ AB= 2, AA= 3, / BAD= 60 OB- OD= 1, OA= OC= 3 ,OA= -JaA oA= ?6.則 qo,o,o), B(1,0,0) , C

51、(0 ,3 , 0) , A(0 , 3 , 0) , Ai(0,0 ,6), "Ob=(1,0,0)"OB = "OB +"BB = (1 , 血, 侗，"OC= (0 , 3 , 0).設(shè)平面OBB的法向量為n= (X1 , y1 , Z1),OB n= 0, 則OB n = 0,X1 = 0 ,X1 + Q3y1 + Q6z1 = 0.令 y1=2，得 n= (0 ,.2 , 1)是平面 OBB的一個法向量.設(shè)平面OCE的法向量m= (X2, y2,Z2),>OC m= 0, 則一OB m= 0,即；3y2 = 0，X2+ ：

52、9;3y2 + ：6Z2= 0,令Z2=- 1,得m=（0, - 1）為平面OCB的一個法向量,21-cos n, m=.|n丨 m| 3申由圖可知二面角 B- OBC是銳二面角，21 ，二面角的余弦值為罟.4. （2018 長春質(zhì)檢）如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABC為菱形，P從平面ABCDE為PD的中點.（1）證明：PB/平面ACE 設(shè)PA= 1，/ ABC= 60°,三棱錐E-ACD勺體積為早，求二面角 DAEC的余弦值.8解：（1）證明：連接BD交AC于點O,連接0E由題易知V" 2VG 4卻冷,PB/ QE在厶 PBD中, PE= DE BO= DQ 所以又PB?平面ACE Q曰平面ACE所以PB/平面ACE設(shè)菱形ABCD勺邊長為a,11J3 23則 Vp-ABC= - S?ABCD - PA= -X 2X a