專題三導(dǎo)數(shù)的幾何意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用講義理

1、專題三數(shù)的幾何意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用一(4三年考情縱橫研究：卷I卷n卷川2018奇函數(shù)的定義及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程T5利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程 T13利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)值T14利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性T21(1)2017利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性T21(1)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值 T11利用導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)T21(1)2016導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與幾何意義、直 線方程、斜率計(jì)算公式T16函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程 T15利用導(dǎo)數(shù)公式直接求導(dǎo)T21(1)縱向把握趨勢(shì)卷I 3年3考，涉及導(dǎo)數(shù) 的幾何意義以及討論函數(shù) 的單調(diào)性，其中利用導(dǎo)數(shù) 求切線方程難度偏小，而 用導(dǎo)數(shù)討論

2、函數(shù)的單調(diào)性 難度偏大預(yù)計(jì) 2019年 仍會(huì)以解答題的形式考查 函數(shù)單調(diào)性的討論卷n 3年4考，涉及導(dǎo)數(shù)的 運(yùn)算、幾何意義以及利用導(dǎo) 數(shù)求函數(shù)的極值，題型為選 擇、填空題，難度適中預(yù) 計(jì)2019年高考會(huì)考查利用 導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，難 度偏大卷川3年3考，涉及 導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)幾何 意義的應(yīng)用，題型多 為填空題.預(yù)計(jì) 2019 年仍會(huì)考查導(dǎo)數(shù)幾何 意義的應(yīng)用，另外，要 重點(diǎn)關(guān)注利用導(dǎo)數(shù)研 究函數(shù)的單調(diào)性橫向把握重點(diǎn)1.高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查，多在選擇題、填空題中出現(xiàn)，難度較小.2高考重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，即利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題， 多在選擇、填空的后幾題中出現(xiàn)，難度中等，有

3、時(shí)也出現(xiàn)在解答題第一問(wèn).3 近幾年全國(guó)卷對(duì)定積分及其應(yīng)用的考查極少，題目一般比較簡(jiǎn)單，但也不能 忽略.保分考法練為主導(dǎo)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義題組全練1. (2018 全國(guó)卷I )設(shè)函數(shù)f (x) = x3+ (a 1)x即 y = x+ In x° 1. X0 因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(0， 1),則一1= In x° 1,即 X0= 1,所以切線方程為y= x 1,即 x y 1 = 0,+ ax,若f (x)為奇函數(shù)，則曲線 y =f (x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為()A. y = 2xB. y= xC. y = 2xD. y= x32解析：選 D /f (x) = x + ( a

4、1)x+ ax,2'f '(x) = 3x + 2( a 1)x + a.又 f (x)為奇函數(shù)， f ( x) = f (x)恒成立， 即一x3 + (a 1)x2 ax= x3 (a 1)x2 ax 恒成立，2 a= 1,. f '(x) = 3x +1, f ' (0) = 1,曲線y = f (x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y = x.2. 過(guò)點(diǎn)(0， 1)的直線I與曲線y = In x相切，則原點(diǎn)到I的距離為()所以切線方程為1y In xo= (x xo),1A. 1B.1c返C. 2D. 2解析：選C設(shè)切點(diǎn)為（X0, In X。）.由 y = I

5、nx，得 y'= x，所以直線I 的斜率 k = y'| x = x° =所以原點(diǎn)到I的距離d =I -11V22兀,故選C.X 13. （2018 唐山模擬）曲線y = x與其在點(diǎn)（0， 1）處的切線及直線 x = 1所圍成的封X T I閉圖形的面積為（）A. 1 In 2B.2 2ln 2C. 2In 2 1D.In 2X 1x 12x 1解析：選C因?yàn)閥=，所以y'X + 1/X+ 1=右廠，則曲線y=x+ 1在（°,X一 11)處的切線的斜率k= 2,切線方程為y= 2x 1,則曲線y = 與其在點(diǎn)(0， 1)處的切Z. I I1 X 1求過(guò)

6、切點(diǎn)切線問(wèn)題的基本思路設(shè)曲線在（xo, yo）處的切線為l，則根據(jù)k切=f 'X。, 切點(diǎn)在切線I上，建立方程組求解.切點(diǎn)在曲線上22線及直線x = 1所圍成的封閉圖形的面積S= 02x 1 齊dx = 02x 1 1 + XT7dx = x12x + 2ln( x + 1)= 2ln 2 1.04. (2018 全國(guó)卷川)曲線y = (ax + 1)ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為一2，貝U a =x解析:討'=(ax+ a+ 1)e，二當(dāng) x= 0 時(shí)，y'= a+ 1, a+ 1 = 2，解得 a= 3.答案：35. 已知曲線y= x+ In x在點(diǎn)(1,1)處

7、的切線與曲線 y= ax過(guò)非切點(diǎn)的切線的求法設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)（X0, f（X0）,先求出在X = X0處的切線方程，然后把所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)代入即+ ( a+ 2) x+1相切，則a =1解析：由y = x + In x，得y '= 1 + -，則曲線y = x+ In x在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為x222,故切線方程為 y= 2x 1,與 y = ax + (a+ 2)x + 1 聯(lián)立，得 ax + ax + 2= 0，顯然 a*0,2所以由 A = a 8a= 0? a= 8.答案：8系統(tǒng)方法求出Xo，從而得出切線方程.3.由曲線的切線求參數(shù)的方法已知曲線在某點(diǎn)處的切線求參數(shù)的關(guān)鍵是用“方

8、程思想”來(lái)破解，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值；再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與已知條件，建立關(guān)于參數(shù)的方程，通過(guò)解方程求出參數(shù)的值.考法二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性x (In a, 0)時(shí)，e 12 x設(shè) h( x) =，貝V h'( x) = -,由 h'(x)>0，得 x<2 ;由 h'(x)<0,得 x>2,所以h(x)在(-g, 2)上單調(diào)遞增，在(2 ,+g)上單調(diào)遞減，- a>0, h'(x)<0，函數(shù) h(x)單調(diào)遞減；x (0,+)時(shí)，ex - a>0, h'(x)>0，函數(shù) h(x)單調(diào)

9、遞增. 若a= 1,U In a= 0,所以x R時(shí)，h'(x) >0,函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增. 若 a>1,則 In a>0,所以 x ( g, 0)時(shí)，ex-a<0, h'(x)>0，函數(shù) h(x)單調(diào)遞增；x (0 , In a)時(shí)，ex- a<0, h'(x)<0，函數(shù) h(x)單調(diào)遞減；x (In a,+g)時(shí)，ex-a>0, h'(x)>0，函數(shù) h(x)單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)aw0時(shí)，函數(shù)h(x)在(0，+g)上單調(diào)遞增，在(-g, 0)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)h(x)在

10、(一g, In a), (0，+g)上單調(diào)遞增，在(In a, 0)上單調(diào)遞 減；當(dāng)a= 1時(shí)，函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)h(x)在(一g, 0) , (In a,+g)上單調(diào)遞增，在(0 , In a)上單調(diào)遞 減.類題通法討論含參函數(shù)的單調(diào)性，其本質(zhì)就是討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化情況，所以討論的關(guān)鍵是抓住導(dǎo)函數(shù)解析式中的符號(hào)變化部分.討論時(shí)要考慮參數(shù)所在的位置及參數(shù)取值對(duì)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的影響，一般來(lái)說(shuō)需要進(jìn)行四個(gè)層次的分類：(1) 最高次幕的系數(shù)是否為 0 ；(2) 導(dǎo)函數(shù)是否有變號(hào)零點(diǎn)；(3) 導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)是否在函數(shù)定義域或指定區(qū)間內(nèi)； 導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)之間的大小關(guān)系.

11、角度二已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍x例2 已知函數(shù) f (x) = x+ ax+ b( a, b R). e(1)若函數(shù)f (x)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍;(1) fxxe 2 e 若函數(shù)f (x)在(一1,3)上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.x 1 x + aex_ + a= xe設(shè)g(x) = 1 -x + aex,由題意知g(x) >0在R上恒成立，即1 - x+ aex >0在R上恒成立.x一 1 由ex>0,分離參數(shù)可得 a> 在R上恒成立.e1 1所以 h(x)max= h(2) = g ,故 aM所以a的取值范圍為1+ 8 函數(shù)f (x)在(一1,3

12、)上單調(diào)，則函數(shù)f (x)在(1,3)上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減.若函數(shù)f (x)在(1,3)上單調(diào)遞增，則f '(x)1 x+ aexxe>0在(1,3)上恒成立,x一 1即1 x + aex>0在(1,3)上恒成立，所以a> l在(1,3)上恒成立.ex 一 12 一 x設(shè)h(x) = -l，貝U h'(x) = -l，所以h(x)在(一1,2)上單調(diào)遞增，在(2,3)上單調(diào)遞e減,1 1所以 h(x)max= h(2) =r(x ( 1,3)，故 a>p ee 1所以a的取值范圍為y+8若函數(shù)f (x)在(一1,3)上單調(diào)遞減，則f(x)=.x1 x+

13、aexeW0在(1,3)上恒成立,x一 1即1 x + aex<0在(1,3)上恒成立，所以 aw在(1,3)上恒成立.x 12 x設(shè)h(x) = -l，貝U h'(x) = ，所以h(x)在(一1,2)上單調(diào)遞增，在(2,3)上單調(diào)遞 ee減.1 13 12又 h( 1) = = 2e, h(3) = = r.ee e2顯然2e<-3，所以 h(x)>h( 1) = 2e(x ( 1,3), e所以a的取值范圍為(8, 2e.1綜上，a的取值范圍為(一8, 2e U -2,+8 .e類題通法由含參函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍問(wèn)題的2個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1) 準(zhǔn)確把握函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函

14、數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系：若可導(dǎo)函數(shù)f (x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則f '(x) >0在區(qū)間M上恒成立；若可導(dǎo)函數(shù) f (x)在區(qū)間M上單調(diào)遞減，則 f '( x) <0在區(qū)間M上恒成立.(2) 注意參數(shù)在導(dǎo)函數(shù)解析式中的位置，先嘗試分離參數(shù)，將問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)化為求解對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值問(wèn)題；若不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性無(wú)法利用導(dǎo)數(shù)解決，則可以直接轉(zhuǎn)化為求解含參函數(shù)的最值問(wèn)題.綜合訓(xùn)練1. 已知a R,函數(shù)f (x) = ( x2 + ax)ex(x R e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1) 當(dāng)a= 2時(shí)，求函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2) 若函數(shù)f (x)在(一1,1)

15、上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(3) 函數(shù)f (x)是否為R上的單調(diào)減函數(shù)？若是，求出a的取值范圍？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)當(dāng) a= 2 時(shí)，f (x) = ( x2 + 2x)ex,x2x2x所以 f (x) = ( 2x+ 2)e + ( x + 2x)e = ( x + 2)e .令 f '(x)>0，即(一x2+ 2)ex>0,因?yàn)?ex>0,所以一x2 + 2>0,解得_：'2<x<.：2.所以函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一:;2 , ,：2). 因?yàn)楹瘮?shù)f (x)在(一1,1)上單調(diào)遞增，所以f '(x) >

16、0對(duì)x ( 1,1)都成立.x2x因?yàn)?f(x) = ( 2x+ a)e + ( x + ax)e=x2 + (a 2) x+ aex,所以x + (a 2) x + ae >0 對(duì) x ( 1,1)都成立. 因?yàn)?ex>0,所以一x2 + (a 2)x + a>0,則a>x+打- = (x + 1) 士對(duì) x ( 1,1)都成立.x + 1x + 1人1令 g(x) = (x + 1)不,1則 g'(x) = 1+2>0.x + 11 所以g(x) = (x+ 1)=在(1,1)上單調(diào)遞增.x十113所以 g(x)<g(1) = (1 十 1)市=

17、33所以a>2,所以a的取值范圍是2，+m .(3) 若函數(shù)f (x)在R上單調(diào)遞減，則f '(x) W0對(duì)x R都成立，即x2 + (a 2)x 十a(chǎn)ex<0對(duì)x R都成立.因?yàn)閑x>0,所以x2 (a 2)x a>0對(duì)x R都成立.2 2 所以A = (a 2) + 4aw0，即卩a + 4w0,這是不可能的. 故函數(shù)f (x)不可能在R上單調(diào)遞減.2. (2018 合肥質(zhì)檢)已知 f (x) = In (2 x 1) + ?a R).(1) 討論f (x)的單調(diào)性；(2) 若f (x) < ax恒成立，求a的值.1解：f (x)的定義域?yàn)?，+m ,

18、2,2 a 2x 2ax+ af ( x) =2.2x 1 x 2x 1 x令 g(x) = 2x 2ax+ a,若 2x1 - f (x)在2，X1和(X2,+m )上單調(diào)遞增，在(X1, X2)上單調(diào)遞減. 2ax+ a= 0 的根的判別式 A = 4a2 8a< 0,1 一、即當(dāng)0w a<2時(shí)，對(duì)任意x 2，+m , g(x) >0恒成立，1即當(dāng)x ，+m 時(shí)，f '(x) >0恒成立，1f (x)在2, +m 上單調(diào)遞增.若2x2 2ax+ a= 0的根的判別式 A >0,即當(dāng)a>2或a<0時(shí)，函數(shù)g( x)圖象的對(duì)稱軸為 直線x=a1

19、1 當(dāng) a<0 時(shí)，2<0，且 g 2 = 2>0.1對(duì)任意x 2，+m ，g(x)>0恒成立，1即對(duì)任意x 2，+m , f '(x)>0恒成立，1 f (x)在, +m 上單調(diào)遞增.a11 當(dāng) a>2 時(shí),2>1,且 g 2 = 2>0.1 1 1 記 g(x) = 0 的兩根分別為 X1, X2,且 X1 = -(a a 2a)>q, X2 = ( a+ a 2a).1當(dāng) x , X1 U (X2,+)時(shí)，g(x)>0，當(dāng) x (X1, X2)時(shí)，g(x)<0.1當(dāng) x ，X1 U (X2,+s)時(shí)，f '

20、(x)>0，當(dāng) x (X1, X2)時(shí)，f '(x)<0.1綜上，當(dāng)aw2時(shí)，f (x)在2，+m 上單調(diào)遞增;當(dāng) a>2 時(shí)，f (x)在 1, 1 a :a-x2x- 1- 2a 和 *a+ -'a2- 2a)上單調(diào)遞增,1(2) f (x) w ax恒成立等價(jià)于對(duì)任意x 2，+m(x) - ax<0恒成立.令 h(x) = f (x) - ax = In(2 x- 1) +1-ax,則h(x) w 0= h(1)恒成立,即h(x)在x= 1處取得最大值.(x)=32-2ax +2+ a x - 2ax+ a2x 2x - 1由 h' (1)

21、 = 0,得 a= 1.當(dāng) a= 1 時(shí)，h'(x)2 “1 x 2x x+ 1當(dāng) x 2, 1 時(shí)，h'(x)>0 ;當(dāng) x (1 ,+s)時(shí)，h'(x)<0.1當(dāng)a= 1時(shí)，h(x)在， 1上單調(diào)遞增，在(1 ,)上單調(diào)遞減，從而h(x) w h(1)=0,符合題意.- a= 1.考法三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值多維例析角度一求函數(shù)的極值或最值In x 例1已知函數(shù)f (x)= -1.x(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間及極值； 設(shè)m>0,求函數(shù)f (x)在區(qū)間m,2nj上的最大值.1|n x解因?yàn)楹瘮?shù)f(X)的定義域?yàn)?0,+ )，且f '

22、;(X)=2一得 x>e.f ' x >0,f ' x <0,由得0<x<e;由>0, >0,所以函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+)，且f (x)極大值=1f (e) = 1，無(wú)極小值.e2m e,e 當(dāng)即0<m-時(shí)，函數(shù)f (x)在區(qū)間m,2mj上單調(diào)遞增,>0,2In 2 m所以 f (x) max= f (2 m) = 2m 1 ；e當(dāng)m<e<2m 即2<m<e時(shí),函數(shù)f (x)在區(qū)間(m e)上單調(diào)遞增，在(e,2 m上單調(diào)遞減，所以f (x)max= f (

23、e)=In ee11；1 =-e 當(dāng)m>e時(shí)，函數(shù)f (x)在區(qū)間m,2m上單調(diào)遞減，In m所以 f(X)max= f ( m) = 1.me ,In 2 m , e ,1 r,綜上所述，當(dāng)0<rff-時(shí)，f(x)max= 1 ；當(dāng);；<m<e時(shí)，f(X)max= 1；當(dāng)Rl>e時(shí)，2 2m ，2eIn m f ( x) max= 1.m類題通法求函數(shù)f (x)在閉區(qū)間上最值的策略(1) 若所給的閉區(qū)間a, b不含有參數(shù)，則只需對(duì)函數(shù)f (x)求導(dǎo)，并求f '(x) = 0在區(qū)間a, b內(nèi)的根，再計(jì)算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與f (a), f

24、 (b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.(2) 若所給的閉區(qū)間a, b含有參數(shù)，則需對(duì)函數(shù) f (x)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f (x)的最值.角度二已知函數(shù)的極值或最值求參數(shù)例2已知函數(shù) f (x) = ax2 (a+ 2)x+ In x,其中 a R.(1)當(dāng)a= 1時(shí)，求曲線y= f (x)在點(diǎn)(1 , f (1)處的切線方程; 當(dāng)a>0時(shí)，若f (x)在區(qū)間1 , e上的最小值為一2，求a的取值范圍.2解(1)當(dāng) a= 1 時(shí)，f (x) = x 3x+ In x(x>0),所以 f '(x) = 2x 3+ 丄=x

25、2x2 3x + 1x所以 f =-2, f ' (1) = 0.所以切線方程為y+ 2= 0.2 函數(shù) f (x) = ax (a+2)x + In x 的定義域?yàn)?0 ,+),當(dāng) a>0時(shí)，f '(x) = 2ax(a+ 2) +1 = 2ax a+ x + 1 =_ax,xxx令 f，(x) = 0,解得 x= 2或 x = 1.1 當(dāng)0< w 1,即卩a>1時(shí)，af (x)在1 , e上單調(diào)遞增.所以f (x)在1 , e上的最小值為f=2，符合題意；11 1 、 1 、 * 當(dāng)1we，即-<a<1時(shí)，f (x)在1,-上單調(diào)遞減，在 -，

26、e上單調(diào)遞增，a eaa1所以f (x)在1 , e上的最小值為f - <f (1) = 2，不合題意；a11 當(dāng)e,即0<aw二時(shí)，f (x)在1 , e上單調(diào)遞減，ae所以f (x)在1 , e上的最小值為f (e)< f (1) = 2，不合題意.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1 ,+).類題通法 已知函數(shù)在閉區(qū)間上最值求參數(shù)的方法主要采取分類討論的思想，將導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與所給區(qū)間進(jìn)行比較，利用導(dǎo)數(shù)的工具性得到函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而可求其最值，判斷所求的最值與已知條件是否相符，從而得到參數(shù)的取值范圍.綜合訓(xùn)練321. 已知函數(shù)f (x) = x 3x .(1) 求曲線y

27、 = f (x)在點(diǎn)P(1 , 2)處的切線方程；(2) 若函數(shù) g(x)=2f(x) + 3(1 a)x2+ 6ax(a>1)在1,2上的值域?yàn)閜(a),q(a)，求0 (a) = q(a) p( a)的最小值.解：(1)因?yàn)?f (x) = x所以 g'(x) = 6x 6( a+ 1)x + 6a= 6(x 1)( x a). 3x2,所以 f '(x) = 3x2 6x,所以曲線y = f (x)在點(diǎn)R1 , 2)處的切線的斜率為f ' (1) = 3,所以切線方程為y ( 2) = 3( x 1),即 3x+ y 1 = 0.32(2)因?yàn)?g( x)

28、= 2x 3( a+1) x + 6ax,令 g'(x) = 0,得 x= 1 或 x= a,若 1<a<2,當(dāng)x (1 , a)時(shí)，g'(x)<0，所以g(x)在(1 , a)上單調(diào)遞減；當(dāng)x (a, 2)時(shí)，g'(x)>0，所以g(x)在(a,2)上單調(diào)遞增.532 若 g(l) w g(2) ,即卩 1<aw 3，此時(shí) q( a) = g(2) = 4, p(a) = g( a) = - a + 3a , 所以 0 (a) = 4- ( a3 + 3a2) = a3 - 3a2+ 4 1<a< 5 ,3因?yàn)?0 '

29、( a) = 3a2 6a= 3a( a 2)<0 ,5、所以0 (a)在1, 3上單調(diào)遞減，558所以當(dāng)a 1, 3時(shí)，0 (a)的最小值為 0 -=牙.5 若 g(1)> g(2)，即 3<a<2,32此時(shí) q(a) = g(1) = 3a 1, p(a) = g(a) = a + 3a ,所以 0 (a) = 3a 1 ( a + 3a?)325=a 3a + 3a 1 3<a<2 ,3因?yàn)?0'(a) = 3a2 6a+ 3= 3(a 1)2>0,5所以0 (a)在3, 2上單調(diào)遞增，58所以當(dāng) a 3, 2 時(shí)，0 (a)>27

30、.若 a>2,當(dāng)x 1,2時(shí)，g'(x) w 0,所以g(x)在1,2上單調(diào)遞減，所以 q(a) = g(1) = 3a 1, p(a) = g(2) = 4,所以 0 (a) = 3a 1 4 = 3a 5( a 2),所以0 (a)在2 ,+s)上的最小值為0=1.8綜上，0 (a)的最小值為27.2 a2. 已知函數(shù) f (x) = x 3x+ .x(1)若a= 4，討論f (x)的單調(diào)性；若f (x)有3個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.24解：(1)因?yàn)?a= 4 時(shí)，f (x) = x 3x+ -,x22x + x + 22x32322/42x 3x 42x 4x +

31、x 4所以f(X)= 2x 32 =2=2xxx(XM0),令 f '( x)>0，得 x>2 ;令 f '( x)<0，得 x<0 或 0<x<2.所以f (x)在(a, 0) , (0,2)上單調(diào)遞減，在(2 ,+)上單調(diào)遞增.由題意知，fa(x) = 2x 3 亍(xm 0),設(shè)函數(shù) g(x) = 2x3 3x2 a,則原條件等價(jià)于g(x)在(a, 0) U (0，+a)上有3個(gè)零點(diǎn)，且3個(gè)零點(diǎn)附近的左、 右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)，2又 g'(x) = 6x 6x= 6x(x 1),由 g'(x)>0 ,得 x>1

32、 或 x<0;由 g'(x)<0 ,得 0<x<1.故g(x)在(a, 0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1 ,+a)上單調(diào)遞增，故原條件等價(jià)于 g(x)在(a, 0), (0,1) , (1 ,+a )上各有一個(gè)零點(diǎn)， 令g(0) = a>0, 得 a<0,當(dāng) a<0時(shí)，一 一a<0, g( a) = 2( a)3 3( a) a= 2a( . a+1)<0 ,故a<0時(shí)，g(x)在(a, 0)上有唯一零點(diǎn)；令 g(1) = 1 a<0,解得 a> 1,故一1<a<0時(shí)，g(x)在(0,1)

33、上有唯一零點(diǎn)；又1<a<0時(shí)，g(2) = 4 a>0,所以g(x)在(1 ,+a)上有唯一零點(diǎn).綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,0).壓軸考法攻堅(jiān)破難重難增分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用典例細(xì)解例1(2015 全國(guó)卷I )設(shè)函數(shù)f (x) = ex(2x 1) ax+ a,其中a<1，若存在唯一的整數(shù)xo使得f (xo)<0，則a的取值范圍是(3 dA. 2e 13D. 2e,13 3C. 2e, 4學(xué)解題法一：直接法(學(xué)生用書(shū)不提供解題過(guò)程)若a< 0,則對(duì)任意負(fù)整數(shù) m有f (n) = em(2 m- 1) a(m-1)<0，不符合題中唯一要求， 故必

34、有 0<a<1.由于 f '(x) = ex(2 x+ 1) a,易知當(dāng) x< 1 時(shí) f '(x) < e 1 a<0,當(dāng) x>1時(shí)f '(x) >3e a>0,故f (x)在(, 1)上單調(diào)遞減，在(1 ,)上單調(diào)遞增.注意到f (1) = e>0,所以在(1 ,+)內(nèi)不存在正整數(shù) X。使得f (x°)<0.32e，又f (0) = 1 + a<0,這樣我們就找到了，那個(gè)唯一的整數(shù)X。就是0.則滿足題意的充要條件是f ( 1) >0,即卩a> 3，故a的取值范圍是法二：分離參數(shù)法

35、(學(xué)生用書(shū)不提供解題過(guò)程)f (x)<0? (x 1)a>ex(2x 1).當(dāng)x>1時(shí)，有x e a>2x 1x 1>1,這與題設(shè)矛盾，舍去;當(dāng)x<1時(shí)，有x e a<2x 1xIx e 記 g(x)=2x 1x 1則g'xe 2x+1 (x)=xx 1 e2x 1xex 2x 3 x-12(XB).當(dāng) x<0時(shí)，g'(x)>0 ;當(dāng) 0<x<1 時(shí)，g'(x)<0 ,故g(x)在(一g, 0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，作出函數(shù)y= g(x)的大致圖象如 圖所示.由題意知，存在唯一的整數(shù)x

36、o使得f (xo)<0，即a<g(xo)，由圖易知3a的取值范圍是玉=g( 1) < av 1,選 D.法三：幾何直觀法(學(xué)生用書(shū)提供解題過(guò)程)設(shè)g(x) = ex(2 x 1), y = ax a,由題意知存在唯一的整數(shù)x°,使得g(x°)在直線y= axa的下方.x11因?yàn)?g'(x) = e (2x+ 1)，所以當(dāng) x< 2時(shí)，g'(x)<0 ；當(dāng) x>?時(shí)，g'(x)>0,所以當(dāng)x=- 1 時(shí)，g(X)min= 2e因?yàn)間(0) =- 1<0, g(1) = e>0,直線y= ax a恒過(guò)

37、點(diǎn)(1,0),且斜率為a,畫(huà)出函數(shù)的大致圖象如圖所示，故a>g(0) = 1, g(解得a3，所以法四：特殊值探路(學(xué)生用書(shū)提供解題過(guò)程) 注意到f (0) = a 1<0,故xo= 0.又xo唯一，故石 a<1(*)這是a需滿足的必要條件.求導(dǎo)得 f '(x) = eX(2x + 1) a.當(dāng) x< 1 時(shí)，f '(x)< a<0, f (x)在(一， 1上 單調(diào)遞減，有 f (x) >f ( 1) >0;當(dāng) x>1 時(shí)，f '(x) >3e a>0, f (x)在1 ,+)上 單調(diào)遞增，有f (x)

38、>f (1)>0.可見(jiàn)(*)式也是充分的.3于是，a的取值范圍就是< a<1,選D.答案D啟思維本題考查了含參函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題，含參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題是高考 中的難點(diǎn)，通常有以下兩種解題策略.(1) 數(shù)形結(jié)合：禾U用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，再畫(huà)出該函數(shù)的草圖，結(jié)合圖象確定參數(shù)范圍，若原函數(shù)圖象不易做，?；癁橐粋€(gè)函數(shù)存在一點(diǎn)在另一個(gè)函數(shù)上方，用圖象解.(2) 參變分離：轉(zhuǎn)化為參數(shù)小于某個(gè)函數(shù)(或參數(shù)大于某個(gè)函數(shù))，則參數(shù)小于該函數(shù)的最大值(大于該函數(shù)的最小值)，再構(gòu)造函數(shù)求解即可，要注意應(yīng)用分類討論思想.例2(2015 全國(guó)卷H )設(shè)函數(shù)f '(x)是奇

39、函數(shù)f (x)(x R)的導(dǎo)函數(shù)，f (1) = 0,當(dāng)x>0時(shí)，xf '(x) f (x)< 0,則使得f (x)>0成立的x的取值范圍是()A. ( s, 1) U (0,1)B. ( 1,0) U (1 ,+s)C. ( s, 1) U ( 1,0)D. (0,1) U (1 ,+s)解析 令 g(x)xf ' x f x ,x，當(dāng) x>0 時(shí),(X) f g(x)在(0，+a)上為減函數(shù)，且f (x)為奇函數(shù)， g(x)為偶函數(shù),g(1)=f (1)(XM 0),(x)<0 ,=f g(x)的圖象的示意圖如圖所示.當(dāng) x>0 時(shí)，由

40、f (x)>0 ,得 g(x)>0 ,當(dāng) x<0 時(shí)，由 f (x)>0，得 g(x)<0 ,使得f (x)>0成立的x的取值范圍是(一a, 1) U (0,1).由圖知由圖知0<x<1,x< 1,答案Axf '(x) f (x)<0 構(gòu)造函數(shù) g(x)=啟思維本題考查了導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，通過(guò)然后利用函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性結(jié)合圖象求解.知能升級(jí)解決抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題常見(jiàn)構(gòu)造函數(shù)的方法(1) 對(duì)于不等式 xf '(x) + f (x)>0(或 <0)，構(gòu)造函數(shù) F(x) = xf (x);f x(2) 對(duì)于不等式

41、xf '(x) f (x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)=(xm 0)；x(3) 對(duì)于不等式 f'(x) + f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)= exf(x);f x 對(duì)于不等式f'(x) f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)=x一.e增分訓(xùn)練21. 已知函數(shù) f (x),對(duì)？ x R,都有 f ( x) + f (x) = X ,在(0 , +a)上，f ' (x)<x, 若f (4 m) f (m) > 8 4m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A. 2,2B. 2 ,+a)C. 0，+a )D. ( a

42、, 2 U 2 ,+a)解析：選B因?yàn)閷?duì)？ x R,都有f ( x) + f (x) = x2，所以f (0) = 0,1 2設(shè) g(x) = f (x) 2X ,1 2則 g( x) = f ( x) 2x ,1 2 1 2所以 g(x) + g( - x) = f (x) - 2X + f ( - x) -2乂 = 0,又 g(0) = f (0) - 0 = 0,1 2 所以g(x)為奇函數(shù)，且f (x) = g( x) + qx ,1 2 1 2所以 f (4 - m)- f( m)=g(4-m) + q(4 -m)- g m + -m= g(4 - m)-g(m)+ 8-4m>

43、8- 4m 貝U g(4 -m -g(m0, 即卩 g(4 -mg(m).當(dāng) x>0時(shí)，g'(x) = f '(x) -x<0,所以g(x)在(0,+)上為減函數(shù)，又g(x)為奇函數(shù)，所以4m解得mP2.12. (2019屆高三南昌模擬)已知函數(shù)f '(x)是函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，f (1)= -，對(duì) eB. (1 , +8)D. (e ,+8)x任意實(shí)數(shù)x,都有f (x) - f '(x)>0，則不等式f (x)<ex-2的解集為()A. ( - 8, e)C. (1 , e)f x解析：選B 設(shè)g( x) =x則 g'(x)

44、=-對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f (x) - f '(x)>0, g'(x)<0，即g(x)為R上的減函數(shù).g(1)由不等式f (x)<ex-2,f x 21得 x <e = r,即卩 g(x)<g(1). ee g( x)為R上的減函數(shù)， x>1,.不等式 f (x)<ex-2 的解集為(1 , +8).故選B.323. 設(shè)f (x) = x - mx+ 2nx+ 1的導(dǎo)函數(shù)為f '( x)，函數(shù)f '(x)的圖象關(guān)于直線 x =23對(duì)稱，若f (x)在1 , n 上恒有f (x) p 1,則實(shí)數(shù)n的取值范圍為()11A8一O

45、 82q1C. 2，D. n,+m)解析：選C 依題意f '( x) = 3x 調(diào)遞增區(qū)間是 0, 2和(2 ,+R). 2m灶2n,又已知函數(shù)f '(x)的圖象關(guān)于直線x = 3對(duì)稱，所以一23= 3，解得 m= 2，所以 f (x) = x3 2x2 + 2nx+ 1，因?yàn)?f (x)在1 , n1 2 1 2 上恒有f (x) > 1,所以n一2(x 2x)在1 , n 上恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)g(x) = 2(x 2x)1 2 1在1 ,n 上單調(diào)遞減，即函數(shù)g(x) = 2(X2 2x)在1 , n 上的最大值為 g(1) = 2,所以1實(shí)數(shù)n的取值范圍為 2，+m，

46、故選C.專題跟蹤檢測(cè)(對(duì)應(yīng)配套卷P169)一、全練保分考法一一保大分1. 函數(shù)f (x) = excos x的圖象在點(diǎn)(0 , f (0)處的切線方程是()A. x + y + 1= 0B. x+ y 1 = 0C. x y + 1= 0D. xy 1 = 0解析：選 C依題意，f (0) = e0cos0=1，因?yàn)?f '(x)= excosxexsinx,所以f ' (0) = 1,所以切線方程為 y 1 = x 0,即x y+ 1 = 0,故選C.2. 已知函數(shù)f (x) = x2 5x+ 2ln x,則函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()1A. 0, 和(1 ,)B. (

47、0,1)和(2 ,+s)1十C. 0, 和(2 ,+R)D. (1,2)解析：選 C 函數(shù) f (x) = x2 5x + 2ln x 的定義域是(0 ,+)，且 f '(x) = 2x 5 +22 2x 5x + 2 x 22x 1 丄-=.由 fx xx1(x)>0，解得0<x<2或x>2，故函數(shù)f (x)的單3. (2018 石家莊模擬)已知f (x)ln x，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則A. f (2)> f (e)> f (3)B. f (3)> f (e)> f (2)C. f (e)> f (2)> f (3)D.

48、 f (e)> f (3)> f (2)1 lnxx-，令 f '(x) = 0，解得 x = e,單調(diào)遞減，故f (x)在x = e處取得最大值f (e) ,f (2) f (3)=In 22In 3 3ln 2 2ln 33 =6In x解析：選D由f (x)=，得f '(x)x (0 , e)時(shí)，f '(x)>0，函數(shù) f (x)單調(diào)遞增，當(dāng) x (e ,+)時(shí)，f '(x)<0，函數(shù) f (x)In 8In 96<0, f (2)< f (3)，貝U f (e)> f (3)> f (2)，故選 D.4.

49、(2019屆高三廣州調(diào)研)已知直線y = kx 2與曲線y= XIn x相切，則實(shí)數(shù)k的值 為()A. ln 2B. 1C. 1 ln 2D. 1 + ln 2解析：選D由y= xln x知y'= ln x +1,設(shè)切點(diǎn)為(xo, Xoln xo)，則切線方程為 y xoln X。= (In X0+ 1)( x x。)，因?yàn)榍芯€ y = kx 2 過(guò)定點(diǎn)(0， 2)，所以一2 X0In X0= (In x°+ 1)(0 xo)，解得 xo= 2，故 k = 1+ In 2，選 D.5. 已知定義在 R上的可導(dǎo)函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)為f '(x)，滿足f '(x

50、)>f (x)，且f (x+ 3)為偶函數(shù)，f (6) = 1,則不等式f (x)>eX的解集為()A. ( 2,+)B. (0，+m)C. (1 ,+)D. (4 ,+)解析：選B因?yàn)閒 (x+ 3)為偶函數(shù)，所以 f (3 x) = f (x+ 3),因此 f (0) = f (6) = 1.f x設(shè)h(x) =e ，則原不等式即h(x)>h(0).e又h'(x) =-依題意 f '( x)>f (x)，故 h'( x)>0 ,因此函數(shù)h(x)在R上是增函數(shù)，所以由h(x)>h(0)，得x>0.故選B.6. 已知定義在 R上

51、的函數(shù)y = f (x)滿足f ( x) = f (x)，當(dāng)x (0,2時(shí)，f (x)=1In x ax a>2，當(dāng)x 2,0)時(shí)，f (x)的最小值為3,則a的值等于()2A. eB. eC. 2D. 1解析：選A 因?yàn)槎x在R上的函數(shù)y = f (x)滿足f ( x) = f (x), 所以y= f (x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)楫?dāng)x 2,0)時(shí)，f (x)的最小值為3,1所以當(dāng)x (0,2時(shí)，f (x) = In x ax的最大值為一3.1 ax又 f '(x)=(0<xw 2),X1所以當(dāng) 0<x<時(shí)，f '(x)>0 ; a1當(dāng)

52、一<xW2 時(shí)，f ' ( x)<0 ;1a，2上單調(diào)遞減，a所以函數(shù)f (x) = In x ax在區(qū)間0,-上單調(diào)遞增，在區(qū)間 a故 f(x) max= f-=In- ax £= 3，解得 a= e1ee 1 時(shí)，g'( t)<0 , g(t)為減函數(shù)，g(t) max= g ：=冠且 g(e) = 3,因此當(dāng) x° 3,丞 時(shí)，.1 27. 若函數(shù)f (x) = In x 2ax 2x存在單調(diào)遞減區(qū)間，貝U實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .一11 ax 2x一2解析：f '(x) = x ax 2=-，由題意知 f '(x)<

53、;0 有實(shí)數(shù)解， x>0,. axz.z.+ 2x 1>0有實(shí)數(shù)解.當(dāng)a>0時(shí)，顯然滿足；當(dāng) a<0時(shí)，只需A = 4+ 4a>0,. 1<a<0.綜 上知a> 1.答案：(1,+)&已知函數(shù)f (x) = ex m>+ 1的圖象為曲線 C,若曲線C存在與直線y= ex垂直的切 線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.解析：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f '(x) = ex m,設(shè)切點(diǎn)為(xo, ex° mx+ 1)，即切線斜率k= e x 0 m,若曲線C存在與直線y= ex垂直的切線，則滿足(e x 0 m)e = 1,x01即e x

54、 m=-有解，e1 即m= e x 0+有解，e答案：1 +m ex0+e> 1,1 m>-.ee 19. 已知X。為函數(shù)f (x) = (ea) x+ 3x的極值點(diǎn)，若x° 3,狂(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .解析：f'(x) = aeax+ 3,貝Uf'( x°)= 3+ aeax0=0,由于eax0>0，則a<0,此時(shí)x°=a33tt1In .令 t = , t>0，貝U X0= 7ln t，構(gòu)造函數(shù) g(t) = 7ln t(t>0) , g'( t) = 7ln aa3331111t = ;(lnt + 1)，當(dāng) 0<t<時(shí)，g'(t)>0, g(t)為增函數(shù)，且 g(t )>0 恒成立，當(dāng) tk3 3ee3 33og e,即O< a< e, a<- &故實(shí)數(shù)a的取值范圍為e 答案：3OO e10. (2019 屆高三長(zhǎng)春模擬)已知函數(shù) f (x) = ax3 + b