分類討論思想

1、第三講分類討論思想思想方法解讀分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對(duì)基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略.1.中學(xué)數(shù)學(xué)中可能引起分類討論的因素：(1)由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論：如絕對(duì)值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等.(2)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式等.(3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數(shù)的單調(diào)性、基本

2、不等式等.(4)由圖形的不確定性而引起的分類討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象等.(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，或者由于對(duì)不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法等.2.進(jìn)行分類討論要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論.其中最重要的一條是“不重不漏”.3.解答分類討論問題時(shí)的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏、分類互斥(沒有重復(fù))；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取

3、階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論.常考題型精析題型一由概念、公式、法則、計(jì)算性質(zhì)引起的分類討論例1設(shè)集合AxR|x24x0，BxR|x22(a1)xa210，aR，若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.點(diǎn)評(píng)對(duì)概念、公式、法則的內(nèi)含及應(yīng)用條件的準(zhǔn)確把握是解題關(guān)鍵，在本題中，BA，包括B和B兩種情況.解答時(shí)就應(yīng)分兩種情況討論，在關(guān)于指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算中，底數(shù)的取值范圍是進(jìn)行討論時(shí)首先要考慮的因素.變式訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)ax (a>0，a1)在1,2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)(14m)在0，)上是增函數(shù)，則a_.題型二分類討論在含參函數(shù)中的應(yīng)用例2已知函數(shù)f(x)x22ax1a

4、在x0,1上有最大值2，求a的值.點(diǎn)評(píng)本題中函數(shù)的定義域是確定的，二次函數(shù)的對(duì)稱軸是不確定的，二次函數(shù)的最值問題與對(duì)稱軸息息相關(guān)，因此需要對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行討論，分對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)和對(duì)稱軸在區(qū)間外，從而確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，即可表示函數(shù)的最大值，從而求出a的值.變式訓(xùn)練2(2015·江蘇)已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a，bR).(1)試討論f(x)的單調(diào)性；(2)若bca(實(shí)數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是(，3)，求c的值.題型三根據(jù)圖形位置或形狀分類討論例3在約束條件下，當(dāng)3s5時(shí)，z3x2y的最大值的變化范圍是()A.6,15 B.

5、7,15C.6,8 D.7,8點(diǎn)評(píng)幾類常見的由圖形的位置或形狀變化引起的分類討論(1)二次函數(shù)對(duì)稱軸的變化；(2)函數(shù)問題中區(qū)間的變化；(3)函數(shù)圖象形狀的變化；(4)直線由斜率引起的位置變化；(5)圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化；(6)立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變化等.變式訓(xùn)練3設(shè)F1、F2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且，求的值.高考題型精練1.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x1)f(x)0，則必有()A.f(0)f(2)<2f(1) B.f(0)f(2)2f(1)C.f(0)f(2)2f(1) D.

6、f(0)f(2)>2f(1)2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snpn1(p是常數(shù))，則數(shù)列an是()A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.等差數(shù)列或等比數(shù)列D.以上都不對(duì)3.已知變量x，y滿足的不等式組表示的是一個(gè)直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實(shí)數(shù)k等于()A. B.C.0 D.或04.(2014·四川)設(shè)mR，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線xmy0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mxym30交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|PB|的取值范圍是()A.，2 B.，2C.，4 D.2，45.(2015·大連模擬)拋物線y24px (p>0)的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OPF為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)

7、P的個(gè)數(shù)為()A.2 B.3C.4 D.66.在等比數(shù)列an中，已知a3，S3，則a1_.7.已知函數(shù)f(x)ax33x1對(duì)于x1,1總有f(x)0成立，則a_.8.(2014·浙江)若某程序框圖如圖所示，當(dāng)輸入50時(shí)，則該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是_.9.(2015·南昌模擬)已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)K(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系.10.已知a是實(shí)

8、數(shù)，函數(shù)f(x)(xa).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(a)為f(x)在區(qū)間0,2上的最小值.寫出g(a)的表達(dá)式；求a的取值范圍，使得6g(a)2.答案精析第46練分類討論思想?？碱}型精析例1解A0，4，BA，于是可分為以下幾種情況.(1)當(dāng)AB時(shí)，B0，4，由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得a1.(2)當(dāng)BA時(shí)，又可分為兩種情況.當(dāng)B時(shí)，即B0或B4，當(dāng)x0時(shí)，有a±1；當(dāng)x4時(shí)，有a7或a1.又由4(a1)24(a21)0，解得a1，此時(shí)B0滿足條件；當(dāng)B時(shí)，4(a1)24(a21)<0，解得a<1.綜合(1)(2)知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a1或a1.變式訓(xùn)練

9、1解析若a>1，有a24，a1m，此時(shí)a2，m，此時(shí)g(x)在0，)上為減函數(shù)，不合題意.若0<a<1，有a14，a2m，此時(shí)a，m，檢驗(yàn)知符合題意.例2解函數(shù)f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，對(duì)稱軸方程為xa.(1)當(dāng)a<0時(shí)，f(x)maxf(0)1a，1a2，a1.(2)當(dāng)0a1時(shí)，f(x)maxf(a)a2a1，a2a12，a2a10，a(舍).(3)當(dāng)a>1時(shí)，f(x)maxf(1)a，a2.綜上可知，a1或a2.變式訓(xùn)練2解(1)f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閒(x)3x20，所以函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)

10、遞增；當(dāng)a0時(shí)，x(0，)時(shí)，f(x)0，x時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在，(0，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時(shí)，x(，0)時(shí)，f(x)0，x時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值為f(0)b，fa3b，則函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(0)·fb0，從而或又bca，所以當(dāng)a0時(shí)，a3ac0或當(dāng)a0時(shí)，a3ac0.設(shè)g(a)a3ac，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是(，3)，則在(，3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立.從而g(3)c10，且gc10，因此c1.此時(shí)，f(x)x3a

11、x21a(x1)x2(a1)x1a，因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則x2(a1)x1a0有兩個(gè)異于1的不等實(shí)根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).綜上c1.例3D 由取點(diǎn)A(2,0)，B(4s,2s4)，C(0，s)，C(0,4).(1)當(dāng)3s<4時(shí)，可行域是四邊形OABC，如圖(1)所示，此時(shí)，7z<8.(2)當(dāng)4s5時(shí)，此時(shí)可行域是OAC，如圖(2)所示，zmax8.綜上，z3x2y最大值的變化范圍是7,8.變式訓(xùn)練3解若PF2F190°，則2|PF2|22，又6，2，解得，.若F1PF290°，則222，2(6)220，又

12、|PF1|>|PF2|，4，2，2.綜上知，或2.高考題型精練1.C 依題意，若任意函數(shù)f(x)為常函數(shù)時(shí)，則(x1)f(x)0在R上恒成立；若任意函數(shù)f(x)不是常函數(shù)時(shí)，當(dāng)x1時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)在(1，)上是增函數(shù)；當(dāng)x<1時(shí)，f(x)<0，f(x)在(，1)上是減函數(shù)，故f(x)當(dāng)x1時(shí)取得最小值，即有f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，綜上，則有f(0)f(2)2f(1).2.D Snpn1，a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)，當(dāng)p1且p0時(shí)，an是等比數(shù)列；當(dāng)p1時(shí)，an是等差數(shù)列；當(dāng)p0時(shí)，a11，an0(n2)，此時(shí)

13、an既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列.3.D 不等式組表示的可行域如圖(陰影部分)所示，由圖可知若不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有直線ykx1與直線x0垂直(如圖)或直線ykx1與直線y2x垂直(如圖)時(shí)，平面區(qū)域才是直角三角形.由圖形可知斜率k的值為0或.4.B 由動(dòng)直線xmy0知定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0)，由動(dòng)直線mxym30知定點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3)，且兩直線互相垂直，故點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)，|PA|PB|取得最小值，(|PA|PB|)min|AB|.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B不重合時(shí)，在RtPAB中，有|PA|2|PB|2|AB|210.因?yàn)閨PA|2|P

14、B|22|PA|PB|，所以2(|PA|2|PB|2)(|PA|PB|)2，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|時(shí)取等號(hào)，所以|PA|PB|×2，所以|PA|PB|2，所以|PA|PB|的取值范圍是，2.5.C 當(dāng)|PO|PF|時(shí)，點(diǎn)P在線段OF的中垂線上，此時(shí)，點(diǎn)P的位置有兩個(gè)；當(dāng)|OP|OF|時(shí)，點(diǎn)P的位置也有兩個(gè)；對(duì)|FO|FP|的情形，點(diǎn)P不存在.事實(shí)上，F(xiàn)(p,0)，若設(shè)P(x，y)，則|FO|p，|FP|，若p，則有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，當(dāng)x0時(shí)，不構(gòu)成三角形.當(dāng)x2p(p>0)時(shí)，與點(diǎn)P在拋物線上矛盾.符合要求的點(diǎn)P一共有4個(gè).6.或6

15、解析當(dāng)q1時(shí)，a1a2a3，S33a1，顯然成立；當(dāng)q1時(shí)，由題意，得所以由，得3，即2q2q10，所以q或q1(舍去).當(dāng)q時(shí)，a16.綜上可知，a1或a16.7.4解析若x0，則不論a取何值，f(x)0顯然成立；當(dāng)x>0即x(0,1時(shí)，f(x)ax33x10可化為a.設(shè)g(x)，則g(x)，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此g(x)maxg4，從而a4；當(dāng)x<0即x1,0)時(shí)，f(x)ax33x10可化為a，令g(x)，g(x)>0，g(x)在區(qū)間1，0)上單調(diào)遞增，因此g(x)ming(1)4，從而a4，綜上得a4.8.6解析輸入n50，由于i1，S0

16、，所以S2×011，i2，此時(shí)不滿足S>50；當(dāng)i2時(shí)，S2×124，i3，此時(shí)不滿足S>50；當(dāng)i3時(shí)，S2×4311，i4，此時(shí)不滿足S>50；當(dāng)i4時(shí)，S2×11426，i5，此時(shí)不滿足S>50；當(dāng)i5時(shí)，S2×26557，i6，此時(shí)滿足S>50，因此輸出i6.9.解(1)拋物線y22px的準(zhǔn)線為x，由題意得45，所以p2，所以拋物線的方程為y24x.(2)由題意知，圓M的圓心為點(diǎn)(0,2)，半徑為2.當(dāng)m4時(shí)，直線AK的方程為x4，此時(shí)，直線AK與圓M相離；當(dāng)m4時(shí)，由(1)知A(4,4)，則直線AK的方程為：y(xm)，即4x(4m)y4m0，圓心M(0,2)到直線AK的距離d，令d>2，解得m>1.所以，當(dāng)m>1時(shí)，直線AK與圓M相離；當(dāng)m1時(shí)，直線AK與圓M相切；當(dāng)m<1時(shí)，直線AK與圓M相交.10.解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，)，f(x)(x>0).若a0，則f(x)>0，f(x)有單調(diào)遞增區(qū)間0，).若a>0，令f