淺談數(shù)學(xué)中的圖形運(yùn)動(dòng)

1、淺談數(shù)學(xué)中的圖形運(yùn)動(dòng)泰州市漁行實(shí)驗(yàn)學(xué)校 顧維明以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)探究幾何圖形變化規(guī)律的問(wèn)題是近年來(lái)中考綜合考查的重點(diǎn)，這類問(wèn)題的顯著特點(diǎn)是：圖形中的某個(gè)元素（如點(diǎn)、線、角等），或整個(gè)幾何圖形按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)，圖形的各個(gè)元素在運(yùn)動(dòng)變化中相互依存，相互影響，解答這類問(wèn)題時(shí)，在觀察幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中要善于探索并發(fā)現(xiàn)一些幾何性質(zhì)，相互關(guān)系及規(guī)律，學(xué)生要解答此類問(wèn)題就必須具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和靈活的解題能力，并且往往需要綜合運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程函數(shù)思想及分類討論等各種數(shù)學(xué)思想。在解題過(guò)程中要善于借助動(dòng)態(tài)思維的觀點(diǎn)來(lái)分析，不被“動(dòng)”所迷惑， 從特殊情形入手，變中求不變，動(dòng)中求靜，抓住靜的瞬間，以

2、靜制動(dòng)，把動(dòng)態(tài)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的問(wèn)題來(lái)解決，從而找到“動(dòng)”與“靜”的聯(lián)系，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的各個(gè)變量之間互相依存的函數(shù)關(guān)系，從而找到解決問(wèn)題的突破口，也就找到了解決這類問(wèn)題的途徑，下面，就近年來(lái)中考中出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題談?wù)勛约旱目捶ā＠}1、（無(wú)錫市中考試題）如圖1，平面上一點(diǎn)P從點(diǎn)M（，1）出發(fā)，沿射線OM方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以O(shè)P為對(duì)角線的矩形OAPB的邊長(zhǎng)OA:OB=1: ；過(guò)點(diǎn)O且垂直于射線OM的直線l與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，且與點(diǎn)P沿相同方向、以相同的速度運(yùn)動(dòng)。在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試判斷AB與y軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。設(shè)點(diǎn)P與直線l都運(yùn)動(dòng)了t秒，求此

3、時(shí)的矩形OAPB與直線l在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所掃過(guò)的區(qū)域的重疊部分的面積S（用含t的代數(shù)式表示）。解析：軸 中， 設(shè)交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，矩形的對(duì)角線互相平分且相等，則，,過(guò)點(diǎn)作軸于, 軸 圖1設(shè)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與射線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于射線的直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于射線的直線交于點(diǎn)，則，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，設(shè)直線交于，交于，則當(dāng)即時(shí)，點(diǎn)評(píng)：試題以直角坐標(biāo)系中圖形上的動(dòng)點(diǎn)及線的平移為背景，結(jié)合矩形、三角函數(shù)、面積、最值等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查。在解題過(guò)程中，用到了分類討論的思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想及化歸思想、不等式思想知識(shí)，考查了綜合分析及運(yùn)算能力，知識(shí)覆蓋面較大。在解題過(guò)程中，當(dāng)問(wèn)及重疊部分的面積S時(shí)，應(yīng)根據(jù)

4、圖形形狀的變化分三種情況討論，不能想當(dāng)然的簡(jiǎn)單下結(jié)論，并應(yīng)注重分析問(wèn)題的內(nèi)涵與外延，注意思維的嚴(yán)密性。例題2、（南通市中考題）如圖2 在中，=，AB=AC= ，D、E兩點(diǎn)分別在AC、BC上，且DEAB，CD=，將CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到CDE（如圖3，點(diǎn)D,E分別與點(diǎn)D，E對(duì)應(yīng)），點(diǎn)E在AB上，DE與AC相交于點(diǎn)M.求ACE的度數(shù)；求證：四邊形ABCD是梯形；求ADM的面積。 圖2 圖3解析：如圖2如圖3如圖3在圖3中， ，得由，得點(diǎn)評(píng)：本題是一道以三角形旋轉(zhuǎn)形成新圖形的探索綜合題，試題有效的融合了圖形與三角函數(shù)、勾股定理、面積的關(guān)系，圖形變化的性質(zhì)，等基礎(chǔ)知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和

5、數(shù)學(xué)表示的多樣性，充分考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，在解答過(guò)程中滲透了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、轉(zhuǎn)化、運(yùn)動(dòng)變化等多種數(shù)學(xué)思想方法，既有效的考查了學(xué)生的邏輯推理、探究、數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的能力，又考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力培養(yǎng)。例題3、（泰州市中考題）如圖4，在Rt中，B=，CAB=它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，），AB=10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D（0，2）出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.求BAO的度數(shù)；當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OPQ的面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物

6、線的一部分（如圖5），求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度；求中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果點(diǎn)P、Q保持中的速度不變，那么點(diǎn)P沿邊AB運(yùn)動(dòng)時(shí)，OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大；沿著邊BC運(yùn)動(dòng)時(shí)，OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使OPQ=的點(diǎn)P有幾個(gè)？請(qǐng)說(shuō)明理由。 圖4 圖5解析： 點(diǎn)評(píng)：本題以兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形成三角形和函數(shù)關(guān)系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合聯(lián)系起來(lái)，結(jié)合面積、最值、函數(shù)關(guān)系式、試題有難度和梯度，是一道具有選拔功能的綜合題，通過(guò)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，使試題變得更加生動(dòng)有趣，滲透了觀察、分析、探索、推理、計(jì)算等數(shù)學(xué)活動(dòng)，考查了學(xué)生的創(chuàng)新能力。因此，在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)重視圖形運(yùn)動(dòng)的教學(xué)，注重由淺入深、循序漸進(jìn)、因材施教、面向全體學(xué)生，設(shè)置多媒體課件，