數(shù)學校本教材(共35頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 前言數(shù)學是地球上最古老的科學之一，早在人類文化的啟蒙時期，就已有了數(shù)學的萌芽。對于數(shù)學的博大精深，古往今來許多圣哲、賢人作過不少精彩的論述，著名數(shù)學家陳省身先生曾寫道：“我們欣賞數(shù)學，我們需要數(shù)學。”雖然樸實無華,卻十分耐人尋味。創(chuàng)新教學的先行者里斯特伯先生指出：“學生學習數(shù)學就是要解決生活問題，只有極少數(shù)人才能攻克艱深的高級數(shù)學問題，我們不能只為了培養(yǎng)尖端人才而忽略或者犧牲大多數(shù)學生的利益，所以數(shù)學首先應該是生活概念。”在生活中學數(shù)學，以學生生活中實實在在的鮮活材料來吸引學生對數(shù)學的興趣就是我們編寫校本教材的目的。在素質教育已成為全社會共識的今天，能不能轉變教育教

2、學觀念，將直接關系到素質教育的成敗。我們深切感受到，只有立足本校實際，以課改理念為先導，以創(chuàng)新實踐為動力，深入挖掘校本課程資源，不斷豐富校園文化，讓體會到就在身邊，感受到的趣味和價值，體驗到的魅力，從而培養(yǎng)的應用能力。愿數(shù)學校本課程能成為你數(shù)學學習的開胃蘋果，讓你每天喜歡數(shù)學更多一點，并最終提升數(shù)學發(fā)展的持續(xù)動力?！皢柷堑们迦缭S，為有源頭活水來”。數(shù)學校本課程就是你數(shù)學活力的不竭源泉。目 錄1.1 數(shù)與式的運算1.1.1絕對值 第3頁1.1.2. 乘法公式 第4頁1.1.3二次根式 第5-6頁1.1.分式 第7-8頁12 分解因式 第9-10頁2.1 一元二次方程2.1.1根的判別式 第11

3、-12頁2.1.2 根與系數(shù)的關系（韋達定理） 第13-16頁22 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)yax2bxc的圖像和性質 第17-21頁2.2.2 二次函數(shù)的三種表示方式 第22-24頁2.2.3 二次函數(shù)的簡單應用 第25-27頁2.3 方程與不等式2.3.1 二元二次方程組解法 第28-29頁2.3.2 一元二次不等式解法 第30-34頁1.1 數(shù)與式的運算1.1絕對值絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零即絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離 兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離例1 解不

4、等式：4解法一：由，得；由，得；若，不等式可變?yōu)椋?，解得x0，又x1，x0；若，不等式可變?yōu)椋?4，不存在滿足條件的x；若，不等式可變?yōu)?，?， 解得x4又x3，x4綜上所述，原不等式的解為 x0，或x413ABx04CDxP|x1|x3|圖111解法二：如圖111，表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x軸上點P到坐標為2的點B之間的距離|PB|，即|PB|x3|所以，不等式4的幾何意義即為|PA|PB|4由|AB|2，可知點P 在點C(坐標為0)的左側、或點P在點D(坐標為4)的右側 x0，或x41.1.2. 乘法公式我們在初中已經

5、學習過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三數(shù)和平方公式 ；（4）兩數(shù)和立方公式 ；（5）兩數(shù)差立方公式 對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明例1 計算：解法一：原式= = =解法二：原式= = =例2 已知，求的值解： 1.1.3二次根式 一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式. 例如 ，等是無理式，而，等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化為了進行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念兩個

6、含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等 一般地，與，與，與互為有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式2二次根式的意義例1 將下列式子化為最簡二次根式：（1）； （2）；

7、（3）解： （1）； （2）； （3）例2計算：解法一： 解法二： 例3 試比較下列各組數(shù)的大?。海?）和； （2）和.解： （1）， ，又， （2） 又 42，42， .例4化簡：解： 例 5 化簡：（1）； （2） 解：（1）原式 （2）原式=， 所以，原式例 6 已知，求的值 解：，1.1.分式 1分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式當M0時，分式具有下列性質：； 上述性質被稱為分式的基本性質2繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1若，求常數(shù)的值解： ， 解得 例2（1）試證：（其中n是正整數(shù)）； （2）計算：； （3）證明：對任意大于1的正整數(shù)n，

8、有（1）證明：， （其中n是正整數(shù)）成立（2）解：由（1）可知 （3）證明： ， 又n2，且n是正整數(shù)， 一定為正數(shù)， 例3設，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：在2c25ac2a20兩邊同除以a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1，舍去；或e2 e212 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應了解求根法及待定系數(shù)法1十字相乘法例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4） 解：（1）如圖121，將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成1與2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的

9、和為3x，就是x23x2中的一次項，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx圖1242611圖1231211圖12212xx圖121 說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖121中的兩個x用1來表示（如圖122所示）（2）由圖123，得x24x12(x2)(x6)（3）由圖124，得11xy圖125 （4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如圖125所示）2提取公因式法與分組分解法例2 分解因式： （1）； （2）解： （1）= = 或 （2）= =或 = = =3關于x的二次三項式ax2+bx+c(a0)的因式分解若關于x的方程的兩個實數(shù)根是、，則二次三項式就可分解

10、為.例3把下列關于x的二次多項式分解因式：（1）； （2）解： （1）令=0，則解得， = =（2）令=0，則解得， =2.1 一元二次方程2.1.1根的判別式我們知道，對于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以將其變形為 因為a0，所以，4a20于是（1）當b24ac0時，方程的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根 x1，2；（2）當b24ac0時，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根 x1x2；（3）當b24ac0時，方程的右端是一個負數(shù)，而方程的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情況可以由b24ac

11、來判定，我們把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判別式，通常用符號“”來表示綜上所述，對于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 當0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根 x1，2；（2）當0時，方程有兩個相等的實數(shù)根 x1x2；（3）當0時，方程沒有實數(shù)根例1 判定下列關于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0解：（1）324×1×330，方程沒有實數(shù)根（2）該方程的根的判別式a24×1×(1)a240，所以方程

12、一定有兩個不等的實數(shù)根， （3）由于該方程的根的判別式為a24×1×(a1)a24a4(a2)2，所以，當a2時，0，所以方程有兩個相等的實數(shù)根 x1x21；當a2時，0， 所以方程有兩個不相等的實數(shù)根 x11，x2a1（3）由于該方程的根的判別式為224×1×a44a4(1a)，所以當0，即4(1a) 0，即a1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根 ， ； 當0，即a1時，方程有兩個相等的實數(shù)根 x1x21； 當0，即a1時，方程沒有實數(shù)根說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這

13、一方法叫做分類討論分類討論這一思想方法是高中數(shù)學中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經常地運用這一方法來解決問題2.1.2 根與系數(shù)的關系（韋達定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個實數(shù)根 ，則有 ； 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關系： 如果ax2bxc0（a0）的兩根分別是x1，x2，那么x1x2，x1·x2這一關系也被稱為韋達定理特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知 x1x2p，x1·x2q，即 p(x1x2)，qx1·x2，所以，方程x2pxq0可化為 x2(x1x2)xx1&#

14、183;x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1·x20因此有以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2(x1x2)xx1·x20例2 已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根但由于我們學習了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值解法一：2是方程的一個根，5×22k×26

15、0，k7所以，方程就為5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一個根為，k的值為7解法二：設方程的另一個根為x1，則 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一個根為，k的值為7例3 已知關于x的方程x22(m2)xm240有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21，求m的值分析：本題可以利用韋達定理，由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21得到關于m的方程，從而解得m的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數(shù)根，因此，其根的判別式應大于零解：設x1，x2是方程的兩根，由韋達定理，得 x1x22(m2)，x1·x2m24 x12x22x1·

16、x221， (x1x2)23 x1·x221，即 2(m2)23(m24)21，化簡，得 m216m170， 解得 m1，或m17當m1時，方程為x26x50，0，滿足題意；當m17時，方程為x230x2930，3024×1×2930，不合題意，舍去綜上，m17說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應的m的范圍，然后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可（1）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根例4 已知

17、兩個數(shù)的和為4，積為12，求這兩個數(shù)分析：我們可以設出這兩個數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個數(shù)也可以利用韋達定理轉化出一元二次方程來求解解法一：設這兩個數(shù)分別是x，y，則 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，這兩個數(shù)是2和6解法二：由韋達定理可知，這兩個數(shù)是方程 x24x120的兩個根 解這個方程，得 x12，x26所以，這兩個數(shù)是2和6說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達定理來解題）要比解法一簡捷例5 若x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；

18、（3）x13x23解：x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()×()23×()說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則，| x1x2| 于是有下面的結論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則|

19、x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結論例6 若關于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a的取值范圍解：設x1，x2是方程的兩根，則 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范圍是a422 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)yax2bxc的圖像和性質問題1 函數(shù)yax2與yx2的圖象之間存在怎樣的關系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y2x2，yx2，y2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關系，推導出函數(shù)yax2與yx2的圖象之間所存在的關系先畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象

20、先列表：x3210123x294101492x2188202818yx2y2x2圖2.2-1xOy從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應的x2的值擴大兩倍就可以了再描點、連線，就分別得到了函數(shù)yx2，y2x2的圖象（如圖21所示），從圖21我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關系：函數(shù)y2x2的圖象可以由函數(shù)yx2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫酵瑢W們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關系圖2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數(shù)yax2(a0)的圖象可以由yx

21、2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到在二次函數(shù)yax2(a0)中，二次項系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大小問題2 函數(shù)ya(xh)2k與yax2的圖象之間存在怎樣的關系？同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關系來研究它們之間的關系同學們可以作出函數(shù)y2(x1)21與y2x2的圖象（如圖22所示），從函數(shù)的同學我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數(shù)y2(x1)21的圖象這兩個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點類似地，還可以通過畫函數(shù)y3x2，y3(x1)21的圖象，研究它們圖象之間的相互關系通過上面的研

22、究，我們可以得到以下結論：二次函數(shù)ya(xh)2k(a0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”由上面的結論，我們可以得到研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的圖象可以看作是將函數(shù)yax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)yax2bxc(a0)具有下列性質：（1）當a0時，函數(shù)yax2bxc圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x；當x時，y隨著x的增大而減??；當x時，y隨著

23、x的增大而增大；當x時，函數(shù)取最小值y（2）當a0時，函數(shù)yax2bxc圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x；當x時，y隨著x的增大而增大；當x時，y隨著x的增大而減??；當x時，函數(shù)取最大值y 上述二次函數(shù)的性質可以分別通過圖223和圖224直觀地表示出來因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結合的思想方法來解決問題xyOxA圖2.2-3xyOxA圖2.2-4xOyx1A(1,4)D(0,1)BC圖2.25例1 求二次函數(shù)y3x26x1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。?？并畫出該函數(shù)的圖象解：y3x2

24、6x13(x1)24，函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線x1；頂點坐標為(1，4)；當x1時，函數(shù)y取最大值y4；當x1時，y隨著x的增大而增大；當x1時，y隨著x的增大而減??；采用描點法畫圖，選頂點A(1，4)，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖25所示）說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確例2 某種產品的成本是120元/件，試銷階段每件產品的售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間關系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價x的一次函

25、數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？分析：由于每天的利潤日銷售量y×(銷售價x120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關系，然后，再由它們之間的函數(shù)關系求出每天利潤的最大值解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設ykx（B）將x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得 k1，b200 yx200設每天的利潤為z（元），則z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600，當x160時，z取最大值1600答：當售價為160元

26、/件時，每天的利潤最大，為1600元例3 把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)yx2的圖像，求b，c的值解法一：yx2bxc(x+)2，把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到的圖像，也就是函數(shù)yx2的圖像，所以， 解得b8，c14解法二：把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)yx2的圖像，等價于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)yx2bxc的圖像由于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)y(x4)22的圖像，即為yx28x14的圖像，函數(shù)yx2

27、8x14與函數(shù)yx2bxc表示同一個函數(shù)，b8，c14說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價轉化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點今后，我們在解題時，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題例4 已知函數(shù)yx2，2xa，其中a2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應的自變量x的值 分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論

28、解：（1）當a2時，函數(shù)yx2的圖象僅僅對應著一個點(2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時x2；（2）當2a0時，由圖226可知，當x2時，函數(shù)取最大值y4；當xa時，函數(shù)取最小值ya2；（3）當0a2時，由圖226可知，當x2時，函數(shù)取最大值y4；當x0時，函數(shù)取最小值y0；（4）當a2時，由圖226可知，當xa時，函數(shù)取最大值ya2；當x0時，函數(shù)取最小值y0xyO2axyO2aa24圖2.26xyOa224a22xyOaa24說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取部分實數(shù)來研究，在解決

29、這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題2.2.2 二次函數(shù)的三種表示方式通過上一小節(jié)的學習，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2頂點式：ya(xh)2k (a0)，其中頂點坐標是(h，k)除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸交點個數(shù)當拋物線yax2bxc(a0)與x軸相交時，其函數(shù)值為零，于是有ax2bxc0 并且方程的解就是拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點的橫坐標（縱坐標為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點個數(shù)與方

30、程的解的個數(shù)有關，而方程的解的個數(shù)又與方程的根的判別式b24ac有關，由此可知，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點個數(shù)與根的判別式b24ac存在下列關系：（1）當0時，拋物線yax2bxc(a0)與x軸有兩個交點；反過來，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸有兩個交點，則0也成立（2）當0時，拋物線yax2bxc(a0)與x軸有一個交點（拋物線的頂點）；反過來，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸有一個交點，則0也成立（3）當0時，拋物線yax2bxc(a0)與x軸沒有交點；反過來，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸沒有交點，則0也成立于是，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸有兩個交點

31、A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2bxc0的兩根，所以x1x2，x1x2，即 (x1x2)， x1x2所以，yax2bxca() = ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1) (xx2) 由上面的推導過程可以得到下面結論：若拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，則其函數(shù)關系式可以表示為ya(xx1) (xx2) (a0)這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3交點式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標今后，在求二次函數(shù)的表達式時，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點式、交

32、點式這三種表達形式中的某一形式來解題 例1 已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點在直線yx1上，并且圖象經過點（3，1），求二次函數(shù)的解析式分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件最大值、頂點位置，從而可以將二次函數(shù)設成頂點式，再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a解：二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，頂點的縱坐標為2又頂點在直線yx1上，所以，2x1，x1頂點坐標是（1，2）設該二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的圖像經過點（3，1），解得a2二次函數(shù)的解析式為，即y2x28x7說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標，再利用頂點的位置求出頂點坐標，然后設出二次函數(shù)的頂點式，

33、最終解決了問題因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題例2 已知二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達式分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點實際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，于是可以將函數(shù)的表達式設成交點式解法一：二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，可設二次函數(shù)為ya(x3) (x1) (a0)，展開，得 yax22ax3a， 頂點的縱坐標為 ，由于二次函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離2，|4a|2，即a所以，二次函數(shù)的表達式為y，或y分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，

34、所以，對稱軸為直線x1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標為2，或2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達式設成頂點式來解，然后再利用圖象過點(3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達式解法二：二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，對稱軸為直線x1又頂點到x軸的距離為2，頂點的縱坐標為2，或2于是可設二次函數(shù)為ya(x1)22，或ya(x1)22，由于函數(shù)圖象過點(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22a，或a所以，所求的二次函數(shù)為y(x1)22，或y(x1)22說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及頂點的坐標這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要

35、善于利用條件，選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題例3 已知二次函數(shù)的圖象過點(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達式解：設該二次函數(shù)為yax2bxc(a0)由函數(shù)圖象過點(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 解得 a2，b12，c8所以，所求的二次函數(shù)為y2x212x82.2.3 二次函數(shù)的簡單應用一、函數(shù)圖象的平移變換與對稱變換1平移變換問題1 在把二次函數(shù)的圖象進行平移時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在對二次函數(shù)的圖象進行平移時，具有這樣的特點只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時，只需利用二次函

36、數(shù)圖象的頂點式研究其頂點的位置即可例1 求把二次函數(shù)yx24x3的圖象經過下列平移變換后得到的圖象所對應的函數(shù)解析式：（1）向右平移2個單位，向下平移1個單位；（2）向上平移3個單位，向左平移2個單位分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀（即不改變二次項系數(shù)），所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點位置（即只改變一次項和常數(shù)項），所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點位置求出平移后函數(shù)圖像所對應的解析式解：二次函數(shù)y2x24x3的解析式可變?yōu)?y2(x1)21，其頂點坐標為(1，1)（1）把函數(shù)y2(x1)21的圖象向右平移2個單位，向下平移1

37、個單位后，其函數(shù)圖象的頂點坐標是(3，2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對應的函數(shù)表達式就為 y2(x3)22（2）把函數(shù)y2(x1)21的圖象向上平移3個單位，向左平移2個單位后，其函數(shù)圖象的頂點坐標是(1， 2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對應的函數(shù)表達式就為 y2(x1)222對稱變換問題2 在把二次函數(shù)的圖象關于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，具有這樣的特點只改變函數(shù)圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對稱變換問題時，關鍵是要抓

38、住二次函數(shù)的頂點位置和開口方向來解決問題xyOx1A(1,1)圖2.27例2 求把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關于下列直線對稱后所得到圖象對應的函數(shù)解析式：（1）直線x1；（2）直線y1解：（1）如圖227，把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關于直線x1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置，不改變其形狀由于y2x24x12(x1)21，可知，函數(shù)y2x24x1圖象的頂點為A(1,1)，所以，對稱后所得到圖象的頂點為A1(3，1)，所以，二次函數(shù)y2x24x1的圖象關于直線x1對稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y2(x3)21，即y2x212x17xyOy1A(1,1)B(1，3)圖2.28（2）如圖22

39、8，把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關于直線x1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置和開口方向，不改變其形狀由于y2x24x12(x1)21，可知，函數(shù)y2x24x1圖象的頂點為A(1,1)，所以，對稱后所得到圖象的頂點為B(1，3)，且開口向下，所以，二次函數(shù)y2x24x1的圖象關于直線y1對稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y2(x1)23，即y2x24x1二、分段函數(shù)一般地，如果自變量在不同取值范圍內時，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù) 例3 在國內投遞外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g付郵資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封

40、xg(0x100)的信應付多少郵資（單位：分）？寫出函數(shù)表達式，作出函數(shù)圖象分析：由于當自變量x在各個不同的范圍內時，應付郵資的數(shù)量是不同的所以，可以用分段函數(shù)給出其對應的函數(shù)解析式在解題時，需要注意的是，當x在各個小范圍內（如20x40）變化時，它所對應的函數(shù)值（郵資）并不變化（都是160分）解：設每封信的郵資為y（單位：分），則y是x的函數(shù)這個函數(shù)的解析式為x(克)y(分)O圖2.29 20 40 60 80 10040032024016080 由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如圖229所示2.3 方程與不等式2.3.1 二元二次方程組解法方程 是一個含有兩個未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項的

41、最高次數(shù)是2的整式方程,這樣的方程叫做二元二次方程其中,叫做這個方程的二次項,叫做一次項,6叫做常數(shù)項我們看下面的兩個方程組： 第一個方程組是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的，第二個方程組是由兩個二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組下面我們主要來研究由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組的解法一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來解例1 解方程組 分析：二元二次方程組對我們來說較為生疏，在解此方程組時，可以將其轉化為我們熟悉的形式注意到方程是一個一元一次方程，于是，可以利用該方程消去一個元，再代入到方程，得到一個一元二次方程，從

42、而將所求的較為生疏的問題轉化為我們所熟悉的問題解：由,得 x2y2， 把代入,整理,得 8y28y0，即 y(y1)0 解得 y10，y21 把y10代入, 得 x12； 把y21代入, 得x20 所以原方程組的解是 說明：在解類似于本例的二元二次方程組時，通常采用本例所介紹的代入消元法來求解例2 解方程組 解法一：由，得 把代入，整理，得解這個方程，得把代入，得；把代入，得所以原方程的解是 解法二：對這個方程組，也可以根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系，把看作一個一元二次方程的兩個根，通過解這個一元二次方程來求這個方程組的是一元二次方程的兩個根，解這個方程，得，或所以原方程組的解是2.3.2

43、一元二次不等式解法二次函數(shù)yx2x6的對應值表與圖象如下：x32101234y60466406由對應值表及函數(shù)圖象(如圖2.31)可知當x2，或x3時，y0，即x2x60；當x2，或x3時，y0，即x2x60；當2x3時，y0，即x2x60這就是說，如果拋物線y= x2x6與x軸的交點是(2，0)與(3，0)，那么xO23yx2x6yy0y0y0圖2.31一元二次方程x2x60的解就是x12，x23；同樣，結合拋物線與x軸的相關位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是 x2，或x3；一元二次不等式 x2x60的解是 2x3上例表明：由拋物線與x軸的交點可以確定對應的一元二次方程的解和對應的一元二次不等式的解集 那么，怎樣解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？ 我們可以用類似于上面例子的方法，借助于二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象來解一元二次不等式ax2bxc0(a0)