針對考研數(shù)學(xué)大綱無變化對高數(shù)重點(diǎn)內(nèi)容及典型題型歸納

1、針對 2010 年考研數(shù)學(xué)大綱無變化對高數(shù)重點(diǎn)內(nèi)容及典型題型歸納考研數(shù)學(xué)一中高數(shù)占56%，數(shù)學(xué)二中高數(shù)占78%，數(shù)學(xué)三中微積分占 56%，由此可見，高數(shù)（微積分）是考研數(shù)學(xué)的重中之重，所以考生要想取得高分，學(xué)好高數(shù)（微積分）是必要的，下面就將高數(shù)中重點(diǎn)內(nèi)容和典型題型做了總結(jié)，希望對大家學(xué)習(xí)有幫助。第一章函數(shù)、極限與連續(xù)重點(diǎn)內(nèi)容與常見的典型題型1本章的重點(diǎn)內(nèi)容是極限，既要準(zhǔn)確理解極限的概念和極限存在的充要條件，又要能正確求出各種極限。 求極限的方法很多， 在考試中常用的主要方法有：（ 1） 利用極限的四則運(yùn)算法則及函數(shù)的連續(xù)性；（ 2） 利用兩個重要極限，兩個重要極限即1n1x1lim 1lim

2、 1 x xe,lim 1xnnxx 0limsin x1;xx 0（ 3） 利用洛必達(dá)法則及泰勒公式求未定式的極限；（ 4） 利用等價無窮小代替（常會使運(yùn)算簡化） ；（ 5） 利用夾逼定理；（ 6） 先證明數(shù)列極限的存在 （通常會用到 “單調(diào)有界數(shù)列必有極限” 的準(zhǔn)則），再利用關(guān)系式求出極限；（ 7） 利用定積分求某些和式的極限；（ 8） 利用導(dǎo)數(shù)的定義；（ 9） 利用級數(shù)的收斂性證明數(shù)列的極限為零。這里需要指出的是： 題型與方法并不具有確定的關(guān)系， 一種題型可以有幾種計算法，一種方法也可能用于幾種題型， 有時在一個題目中要用到幾種方法， 所以還要具體問題具體分析，方法要靈活運(yùn)用。2由于函數(shù)

3、的連續(xù)性是通過極限定義的，所以判斷函數(shù)是否連續(xù)、判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)類型等問題本質(zhì)上仍是求極限、因此這部分也是重點(diǎn)。3在函數(shù)這一部分內(nèi)，重點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)和分段函數(shù)以及函數(shù)記號的運(yùn)算。通過歷年試題歸類分析，本章的常見題型有：1直接計算函數(shù)的極限值或給定函數(shù)極限值求函數(shù)表示式中的常數(shù)；2討論函數(shù)的連續(xù)性、判斷間斷點(diǎn)的類型；3無窮小的比較；4討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間的零點(diǎn)，或方程在給定區(qū)間有無實(shí)根；5求分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。第二章一元函數(shù)微分學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容與常見的典型題型一元函數(shù)微分學(xué)在微積分中占有極重要的位置，內(nèi)容多，影響深遠(yuǎn)， 在后面絕大多數(shù)章節(jié)都要涉及到它.本章內(nèi)容歸納起來，有四大部分.1. 概念部分：導(dǎo)數(shù)

4、和微分的定義，特別要會利用導(dǎo)數(shù)定義討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)的可導(dǎo)性，高階導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；2. 運(yùn)算部分：基本初等函數(shù)的倒數(shù)、微分公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)公式；3. 理論部分：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；4. 應(yīng)用部分：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)（包括函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)圖形的凹凸性與拐點(diǎn)，漸近線） ，最值應(yīng)用題，利用洛必達(dá)法則求極限，以及導(dǎo)數(shù)在幾何、物理等方面的應(yīng)用 .常見題型有：1. 求給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分（包括高階導(dǎo)數(shù)） ，隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo) .2. 利用羅爾中值定理， 拉格朗日中值定理， 柯西中值定理證

5、明有關(guān)命題和不等式 .如“證明在開區(qū)間至少存在一點(diǎn)滿足 ”，或討論方程在給定區(qū)間內(nèi)的根的個數(shù)等3. 利用洛必達(dá)法則求七種未定型的極限 .4. 幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等方面的最大值、最小值應(yīng)用題。解這類問題，主要是確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件，判定所討論區(qū)間。5. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖像，等等。第三章 一元函數(shù)積分學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容與常見的典型題型本章和一元函數(shù)微分學(xué)一樣，重點(diǎn)內(nèi)容可分為概念部分、 運(yùn)算部分、 理論證明部分以及應(yīng)用部分 .1. 概念部分：原函數(shù)的概念，定積分、不定積分的概念，以及反常積分的概念 .考試的重點(diǎn)偏重對定積分概念的理解上 .2. 運(yùn)算部分：變上限積分及其導(dǎo)數(shù)；定積分和不定積分的

6、換元法和分部積分法 .3. 理論部分：變上限定積分及其求導(dǎo)定理，牛頓萊布尼茨公式，積分中值定理 . 應(yīng)用部分：利用定積分求面積、旋轉(zhuǎn)體體積及引力、功等物理量；5. 綜合性試題 .常見題型有：1.有關(guān)原函數(shù)與定積分概念，性質(zhì)的命題2. 求分段函數(shù)的原函數(shù)與定積分3. 不定積分與定積分的計算4. 證明積分等式與不等式5. 綜合題6. 定積分的幾何應(yīng)用第四章微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用（數(shù)三）概念與公式1. 函數(shù)的變化率設(shè)函數(shù) yfx 可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f ' x 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為邊際函數(shù).2. 函數(shù)的相對變化率函數(shù)的彈性設(shè)函數(shù) yf x在 x0 處可導(dǎo)，則Eylimy / y0Ex x0x / x0x

7、0x0稱為 fx 在 xx0 處的彈性 .f ' x0f x0表示 x 產(chǎn)生 1%的改變時， fx 改變 Efx0% ，Eyf ' xxy ' x 稱ExExfxy為 fx 的彈性函數(shù) .需求彈性：設(shè)需求函數(shù)Q f P 則 EQf ' P0P0稱為在 PP0 處EP P0fP0的需求彈性 .（注： Q f P0 ）需求彈性表示在 P0 處，價格上漲1%時，需求減少EQ%.EP P03. 需求函數(shù)與供給函數(shù)需求函數(shù) QfP 是單調(diào)減少函數(shù)，其反函數(shù)Pf 1 Q 也稱需求函數(shù)，Q f ' P 稱為邊際需求；供給函數(shù) QP 是單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)P1Q 也稱

8、供給函數(shù)，Q ' P 稱為邊際供給 .4. 成本總成本C QC0 C1Q .邊際成本 C' QC1'Q.QC ' t dtC0 （ C0 為固定成本）關(guān)系C Q05. 收益總收益（毛收入） R QR QQ P Q （Q為商品量， PP Q 為需求函數(shù)）邊際收益R'QQPQ'R'QPQQP'Q總收益與邊際收益關(guān)系R QQR ' t dt .06. 利潤總利潤LL QL ' QR Q R ' QC Q ，C'Q .L Q 取最大值的必要條件：L'Q0即R'QC'QL Q 取最大值

9、的充分條件：L' Q0，L" Q0即R" QC" Q常見題型有：1.一元微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用2. 二元微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用3. 差分方程第五章向量代數(shù)和空間解析幾何（數(shù)一）重點(diǎn)內(nèi)容與常見的典型題型本章的重點(diǎn)是向量的概念，向量的幾種運(yùn)算：線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積與混合積，平面各種方程，以及直線與直線、平面與平面、直線與平面之間的關(guān)系等 .常見題型有：1. 求向量的數(shù)量積、向量積及直線或平面的方程 .2. 與多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用相關(guān)聯(lián)的題目 .第六章多元函數(shù)微分學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容與常見的典型題型1. 多元函數(shù)（主要是二元、三元）的偏導(dǎo)數(shù)和全微分概念；2. 偏導(dǎo)

10、數(shù)和全微分的計算，尤其是求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)及隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；3. 方向?qū)?shù)和梯度；4. 多元函數(shù)微分在幾何上的應(yīng)用；5. 多元函數(shù)的極值和條件極值 .常見題型有：1. 求二元、三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分 .2. 求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)；隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù) .3. 求二元、三元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度 .4. 求空間曲線的切線與法平面方程，求曲面的切平面和法線方程.5. 多元函數(shù)的極值在幾何、物理與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用題 .第 4 類題型，是多元函數(shù)微分學(xué)與前面向量代數(shù)與空間解析幾何的綜合題，應(yīng)結(jié)合起來復(fù)習(xí) .極值應(yīng)用題多要用到其他領(lǐng)域的知識，考生在復(fù)習(xí)時要引起注意.第七章二重積分，三重積分（數(shù)一）

11、重點(diǎn)內(nèi)容與常見的典型題型（含曲線積分，曲面積分）多元函數(shù)積分學(xué)包括二重、三重積分，曲線積分與曲面積分.其重點(diǎn)內(nèi)容是 :1. 它們的概念和簡單性質(zhì) .2. 二重積分對直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的計算 ,即化為二重積分 ;三重積分對直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)的計算，即化為三次積分；畫出積分區(qū)域簡圖，選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序，以及曲線積分和曲面積計算 .3. 格林公式以及平面上曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件 ,并會利用它們計算曲線積分 .4. 高斯公式與斯托克斯公式 .5. 散度與旋度的概念及計算 .6. 重積分與曲線 ,曲面積分在幾何與物理上的應(yīng)用 .常見題型有 :1. 對各種坐標(biāo)計算二重、三重積分 .2. 二重

12、、三重積分在幾何和物理中的應(yīng)用 ,如求面積、體積、質(zhì)量、質(zhì)心坐標(biāo)、引力等 .3. 對弧長和對坐標(biāo)的曲線積分的計算 ,格林公式及其應(yīng)用 .4. 對面積和對坐標(biāo)的曲面積分的計算 ,高斯公式及其應(yīng)用 .5. 梯度、散度、旋度的綜合計算 .6. 曲線 、曲面積分在幾何和物理中的應(yīng)用 ,如質(zhì)心坐標(biāo) ,作功等 . 第九章 無窮級數(shù)（數(shù)一、數(shù)三）重點(diǎn)內(nèi)容與常見的典型題型級數(shù)無論在數(shù)學(xué)理論本身， 還是在其他科學(xué)技術(shù)的研究中都是極為有效的工具，它是一個函數(shù)或一個數(shù)的另一種表達(dá)形式 .本章包括常數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)兩部分內(nèi)容， 其中常數(shù)項級數(shù)又包括正項級數(shù)， 交錯級數(shù)和任意項級數(shù)， 函數(shù)項級數(shù)主要討論了冪級數(shù)和傅

13、里葉級數(shù)，其重點(diǎn)內(nèi)容是：1. 數(shù)項級數(shù)的判斂及求冪級數(shù)的收斂域 .2. 將函數(shù)展開為冪級數(shù) .3. 求某些數(shù)項級數(shù)的和或某些冪級數(shù)的和函數(shù) .4. 將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，收斂定理 .常見題型有：1. 收斂、發(fā)散、條件收斂、絕對收斂的判定；2. 冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域以及和函數(shù)的求法；3. 將函數(shù)展開成為冪級數(shù)（包括寫出收斂域） ;4. 求函數(shù)的傅里葉系數(shù)與傅里葉級數(shù)，寫出傅里葉級數(shù)的和；5. 求出某些數(shù)項級數(shù)的和；6. 綜合證明題 .第十章微分方程重點(diǎn)內(nèi)容與常見的典型題型本章主要有兩個問題， 一是根據(jù)實(shí)際問題和所給條件建立有自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程及相應(yīng)的初值條件 .二是求解方程，包括方程的通解和滿足初值條件的特解 .本章的主要內(nèi)容是求解一階、二階微分方程以及微分方程在實(shí)際中的應(yīng)用，對于一階微分方程，重點(diǎn)是：1. 掌握變量可分離的方程及一階線性微分方程的解法.2. 掌握齊次微分方程，伯努利微分方程，全微分方程，高階微分方程中可降價微分方程的類型及其解法 .3. 會用簡單的變量代換解某些微分方程 .對于二階微分方程，重點(diǎn)是：1. 掌握二