勾股定理的九種證明方法附圖

1、勾股定理的證明方法 一、傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法（圖1） 左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式，化簡得。 二、美國第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法（圖3） 這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為 的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。三、相似三角形的證法：DBAC4.相似三角形的方法：在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，我們

2、知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個三直角角形與原三角形相似。如圖，RtABC中，ACB=90°。作CDAB，垂足為D。則 BCDBAC，CADBAC。 由BCDBAC可得BC2=BD × BA， 由CADBAC可得AC2=AD × AB。 我們發(fā)現(xiàn)，把、兩式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，這就是 a2+b2=c2。 這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。 四、古人的證法： 如圖，將圖中的四個直角三角形涂上深紅色，把中間小正方形涂上白色，以弦

3、為邊的正方形稱為弦實，然后經(jīng)過拼補搭配，“令出入相補，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實，開方除之，即弦也”。 趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數(shù)學(xué)家高超的證題思想，較為簡明、直觀。 五、項明達(dá)證法： 作兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.過點Q作QPBC，交AC于點P.過點B作BMPQ，垂足為M；再過點F作FNPQ，垂足為N. BCA = 90°，QPBC， MPC = 90°， BMPQ，

4、 BMP = 90°， BCPM是一個矩形，即MBC = 90°. QBM + MBA = QBA =90 °，ABC + MBA = MBC = 90°， QBM = ABC，又 BMP = 90°，BCA = 90°，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA.同理可證RtQNF RtAEF.即a2+b2=c2 六、歐幾里德射影定理證法： 如圖，RtABC中，ABC=90°，AD是斜邊BC上的高，通過證明三角形相似則有射影定理如下：1）（BD）2;=AD·DC， （2）（AB）2;=AD·AC

5、， （3）（BC）2;=CD·AC 。由公式（2）+（3）得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）2;，即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2 七、楊作玫證法：做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R. 過B作BPAF，垂足為P. 過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF于H. BAD = 90º，PAC = 90º， DA

6、H = BAC.又 DHA = 90º，BCA = 90º，AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一個矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b，AP= a，從而PH = ba. RtDGT RtBCA ,RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90º，DHF = 90º，GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90º， DGFH是一個邊長為a

7、的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB是一個直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）.用數(shù)字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為 = ， = . 把代入，得= = . .8、 陳杰證法：設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做兩個邊長分別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號（如圖）.在EH = b上截取ED = a，連結(jié)DA、DC，則 AD = c. EM = EH + HM = b + a ,

8、ED = a， DM = EMED = a = b.又 CMD = 90º，CM = a，AED = 90º， AE = b， RtAED RtDMC. EAD = MDC，DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180º，ADE + MDC = ADE + EAD = 90º， ADC = 90º. 作ABDC，CBDA，則ABCD是一個邊長為c的正方形. BAF + FAD = DAE + FAD = 90º， BAF=DAE.連結(jié)FB，在ABF和ADE中， AB =AD = c，AE = AF = b，BAF=DAE， ABF ADE. AFB = AED = 90º，BF = DE = a. 點B、F、G、H在一條直線上.在RtABF和RtBCG中， AB = BC = c，BF = CG = a， RtABF RtBCG. ， ， ， ， = .9、 辛卜松證法：