五種方法法求二面角及限時(shí)練習(xí)

1、五種方法求二面角及練習(xí)題一、 定義法： 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角SAMB中半平面ABM上的一已知點(diǎn)（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）；在另一半平面ASM內(nèi)過(guò)該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF），這兩條垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個(gè)可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1（2009全國(guó)卷理）如圖，四棱錐中，底面為矩形

2、，底面，點(diǎn)M在側(cè)棱上，=60°（I）證明：M在側(cè)棱的中點(diǎn)（II）求二面角的大小。證（I）略 FG解（II）：利用二面角的定義。在等邊三角形中過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)在平面ASM內(nèi)作，GF交AS于G，連結(jié)AC，ADCADS，AS-AC，且M是SC的中點(diǎn)，AMSC， GFAM，GFAS，又為AM的中點(diǎn)，GF是AMS的中位線，點(diǎn)G是AS的中點(diǎn)。則即為所求二面角. ，則，又，是等邊三角形，在中，F(xiàn)G二面角的大小為練習(xí)1（2008山東）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點(diǎn).（）證明：AEPD; （）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)

3、，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角EAFC的余弦值.分析：第1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過(guò)證AEAD后推出AE平面APD，使命題獲證，而第2題，則首先必須在找到最大角正切值有關(guān)的線段計(jì)算出各線段的長(zhǎng)度之后，考慮到運(yùn)用在二面角的棱AF上找到可計(jì)算二面角的平面角的頂點(diǎn)S，和兩邊SE與SC，進(jìn)而計(jì)算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值為）二、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（

4、例2）過(guò)二面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知點(diǎn)B作另一半平面FC1C的垂線，得垂足O；再過(guò)該垂足O作棱FC1的垂線，得垂足P，連結(jié)起點(diǎn)與終點(diǎn)得斜線段PB，便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖（斜線PB、垂線BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度數(shù)。例2(2009山東卷理) 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點(diǎn)。（1） 證明：直線EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 證（1）略解E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P （2）因

5、為AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點(diǎn),所以BF=BC=CF,BCF為正三角形,取CF的中點(diǎn)O,則OBCF,又因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以O(shè)B平面CC1F,過(guò)O在平面CC1F內(nèi)作OPC1F,垂足為P,連接BP,則OPB為二面角B-FC-C的一個(gè)平面角, 在BCF為正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值為.練習(xí)2（2008天津）如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知（）證明平面；（）求異面直線與所成的角的大?。唬ǎ┣蠖娼堑拇笮》治觯罕绢}是一道典型的利用三垂線定理求二面角問(wèn)題，在證明AD

6、平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB平面ABCD，點(diǎn)P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一個(gè)點(diǎn)，于是可過(guò)點(diǎn)P作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。（答案：二面角的大小為）ABCEDP三補(bǔ)棱法本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒(méi)有明確交線的求二面角題目時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒(méi)有明確的交線時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決 例3（2008湖南）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，BCD60°，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA2. （

7、）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.分析：本題的平面PAD和平面PBE沒(méi)有明確的交線，依本法顯然要補(bǔ)充完整（延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.）再在完整圖形中的PF.上找一個(gè)適合的點(diǎn)形成二面角的平面角解之。（）證略解: （）延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.ABCEDPFGH過(guò)點(diǎn)A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因?yàn)锽AF60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中，取PF的中點(diǎn)G，連接AG.則AGPF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和

8、平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰RtPAF中， 在RtPAB中， 所以，在RtAHG中， ACBB1C1A1L故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是練習(xí)3已知斜三棱柱ABCA1B1C1的棱長(zhǎng)都是a，側(cè)棱與底面成600的角，側(cè)面BCC1B1底面ABC。（1）求證：AC1BC；（2）求平面AB1C1與平面 ABC所成的二面角（銳角）的大小。提示：本題需要補(bǔ)棱，可過(guò)A點(diǎn)作CB的平行線L（答案：所成的二面角為45O）四、射影面積法（）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。ACBP例4（2008北

9、京理）如圖，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大??；分析：本題要求二面角BAPC的大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面ABP與平面ACP中建立一對(duì)原圖形與射影圖形并分別求出S原與S射于是得到下面解法。解：（）證略（），ACBEP又，又，即，且，平面取中點(diǎn)連結(jié)，是在平面內(nèi)的射影，ACE是ABE在平面ACP內(nèi)的射影，于是可求得：，則，A1D1B1C1EDBCA圖5設(shè)二面角的大小為，則二面角的大小為練習(xí)4： 如圖5，E為正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成銳角的余弦值.分析 平面AB1E與底面A1B1C1D1交線即二面角的棱沒(méi)有給出，要

10、找到二面角的平面角，則必須先作兩個(gè)平面的交線，這給解題帶來(lái)一定的難度?？紤]到三角形AB1E在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，從而求得兩個(gè)三角形的面積即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值為cos=）.五、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡(jiǎn)捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說(shuō)所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時(shí)，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算解題。例4：（2009天津卷理）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC

11、=FE=AD (I) 求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II) 證明平面AMD平面CDE；求二面角A-CD-E的余弦值。 現(xiàn)在我們用向量法解答：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得 （I） 所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明： ， （III） 又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為練習(xí)5、（2008湖北）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?（）求證：；（）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明.分析：由已知條件可知：平面ABB1 A1平面BCC1 B1平面ABC于是很容易想到以B 點(diǎn)為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，并將相關(guān)線段寫成用坐標(biāo)表示的向量，先

12、求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量，再利用兩向量夾角公式求解。（答案：，且）總之，上述五種二面角求法中，前三種方法可以說(shuō)是三種增添輔助線的一般規(guī)律，后兩種是兩種不同的解題技巧，考生可選擇使用。1. 如圖, 已知在三棱柱中，三個(gè)側(cè)棱都是矩形，點(diǎn)為的中點(diǎn) ， () 求證;() 求證;() 求異面直線與所成角的余弦值2如圖，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成600的二面角，求直線BD與平面ABEF所成角的正弦值。AFEBDCABCDA1D1C1B13如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1與面ABCD所成角的大??；（2）二面角C1BDC的正切值（3）二面角4.過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作，設(shè)PA=AB=a，(1)求二面角的大小;(2)求二面角C-PD-A5. 如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，BCD60°，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA.(1) 證明： BE平面PAB；(2) 求二面角ABEP的大小（3）PB與面PAC的角6 如圖,在底面為直角梯形