三角函數(shù)題型分類總結(jié)

1、專題 三角函數(shù)題型分類總結(jié)三角函數(shù)公式一覽表- 2 -一 求值問題- 6 -練習(xí)- 6 -二 最值問題- 8 -練習(xí)- 8 -三 單調(diào)性問題- 9 -練習(xí)- 9 -四.周期性問題- 10 -練習(xí)- 11 -五 對稱性問題- 11 -練習(xí)- 12 -六.圖象變換問題- 13 -練習(xí)- 13 -七識圖問題- 14 -練習(xí)- 14 -一 求值問題類型1 知一求二 即已知正余弦、正切中的一個，求另外兩個方法：根據(jù)三角函數(shù)的定義，注意角所在的范圍（象限），確定符號；例 ，是第二象限角，求解：，因為是第二象限角，所以取，于是類型2 給值求值例1 已知，求（1）；（2）的值.解：（1）； (2) 本題也可以

2、利用“知一求二”的方法，求出常見的幾個結(jié)構(gòu)：（1） 角的關(guān)系：等；（2） 式的關(guān)系：練習(xí)1、= = = 2、（1）是第四象限角，則 （2）若，則 .（3）已知ABC中，則 .(4) 是第三象限角，則= = 3、(1) 已知則= .(2)設(shè)，若，則= . （3）已知則= 4、下列各式中，值為的是( )（A）（B）（C）（D）5. (1)= (2)= 。6.(1) 若sincos，則sin 2= （2）已知，則的值為 (3) 若 ,則= 7. 若角的終邊經(jīng)過點，則= = 8已知，且，則tan9.若，則= 10.已知，則的值為 （ ）A B C D11已知sin=，（，0），則cos（）的值為 （

3、） ABCD二 最值問題相關(guān)公式兩角和差公式；二倍角公式；化一公式例 求函數(shù)的最大值與最小值例 求函數(shù)的最大值與最小值例求函數(shù)的值域。解：設(shè)，則原函數(shù)可化為，因為，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以，函數(shù)的值域為。練習(xí)1.函數(shù)最小值是 。2.函數(shù)，則的最大值為 3.函數(shù)的最小值為 最大值為 。4已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的最小值等于 5.設(shè)，則函數(shù)的最小值為 6動直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點，則的最大值為（ ） A1 B C D27.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 ( )A.1 B. C. D.1+三 單調(diào)性問題相關(guān)公式：（1） 正余弦函數(shù)的單調(diào)性；（2）化一公式例 已知函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間解：當(dāng)，即（）時

4、，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）練習(xí)1.函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是 （ ）.A. B. C. D. 2.函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是 （ ） ABCD3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 （ ）A B C D4 設(shè)函數(shù)，則 （ ）A在區(qū)間上是增函數(shù)B在區(qū)間上是減函數(shù)C在區(qū)間上是增函數(shù)D在區(qū)間上是減函數(shù)四.周期性問題相關(guān)公式：二倍角公式；化一公式；兩角和差公式公式：（1） 正（余）弦型函數(shù)的最小正周期，（2）正切型函數(shù)的最小正周期，例1 已知函數(shù)，求函數(shù)的最小正周期解：函數(shù)的最小正周期是；例2 函數(shù)的周期是 。解：畫出圖像，觀察可知周期為結(jié)論：一般情況，函數(shù)的周期將減半。方法總結(jié)：求函數(shù)的周期，必須將函數(shù)化為

5、的形式才可以練習(xí)1下列函數(shù)中，周期為的是 （ ）A B C D2.的最小正周期為，其中，則= 3.函數(shù)的最小正周期是 .4.（1）函數(shù)的最小正周期是 .（2）函數(shù)的最小正周期為 .5.（1）函數(shù)的最小正周期是 (2)函數(shù)的最小正周期為 (3). 函數(shù)的最小正周期是 (4)函數(shù)的最小正周期是 .6.函數(shù)是 ( ) A最小正周期為的奇函數(shù) B. 最小正周期為的偶函數(shù) C. 最小正周期為的奇函數(shù) D. 最小正周期為的偶函數(shù) 7.函數(shù)的最小正周期是 .五 對稱性問題以正弦型函數(shù)為例，說明對稱問題的解法：（1）求對稱中心，令，解得，寫為的形式，即對稱中心；（2）求對稱軸，令，解得，則直線即為對稱軸；（3

6、）若函數(shù)是奇函數(shù)，則必有，即，故；若函數(shù)是偶函數(shù)，則必有，即，故；例 的對稱中心是 ，對稱軸方程是 .練習(xí)1.函數(shù)圖像的對稱軸方程可能是 （ ）ABCD2下列函數(shù)中，圖象關(guān)于直線對稱的是 （ ）A B C D3函數(shù)的圖象 （） 關(guān)于點對稱關(guān)于直線對稱 關(guān)于點對稱關(guān)于直線對稱4. 如果函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，那么的最小值為 （ ） (A) (B) (C) (D) 5已知函數(shù)ysincos，則下列判斷正確的是 ()A此函數(shù)的最小正周期為2，其圖象的一個對稱中心是B此函數(shù)的最小正周期為，其圖象的一個對稱中心是C此函數(shù)的最小正周期為2，其圖象的一個對稱中心是D此函數(shù)的最小正周期為，其圖象的一個對稱中

7、心是六.圖象變換問題函數(shù)中，A叫振幅，周期，叫初相，它的圖象可以經(jīng)過函數(shù) 的圖象經(jīng)過平移，伸縮變形得到，具體方法是： (1)縱向伸縮：是由A的變化引起的A1,伸長；A1,縮短 (2)橫向伸縮：是由的變化引起的1，周期變小，故橫坐標(biāo)縮短；1,周期變大，故橫坐標(biāo)伸長 (3)橫向平移：是由的變化引起的j0,左移；j0，右移 （法則：左+右-）說明：上述3種變換的順序可以是任意的，特別注意，在進(jìn)行橫向平移時考慮x前的系數(shù)，比如向右平移個單位，應(yīng)得到的圖象例 描述如何由的圖像得到的圖像。解：例 將函數(shù)的圖象向左平移個單位, 再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式是( ).A. B. C. D.解析：

8、將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)即的圖象,再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式為,故選B.例 （2009天津理）已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù)的圖象，只要將的圖象 A 向左平移個單位長度 B 向右平移個單位長度 C 向左平移個單位長度 D 向右平移個單位長度 解析：由題知，所以，故選擇A例 若將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為A B. C. D. 解析：注意這種說法，“與函數(shù)的圖像重合”，也就是“得到函數(shù)的圖像”重合，則 ，即， 又.故選D練習(xí)1.函數(shù)y=cosx(xR)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(x)的解析式為 2.把

9、函數(shù)（）的圖象上所有點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是 3.將函數(shù)的圖象向左平移個單位, 再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式是 4.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向 平移 個單位5.已知函數(shù)的最小正周期為，將的圖像向左平移個單位長度，所得圖像關(guān)于y軸對稱，則的一個值是 （ ）A B C D6.將函數(shù)的圖象向左平移 m（m > 0）個單位，所得到的圖象關(guān)于 y 軸對稱，則 m 的最小正值是 （ ）A. B. C. D. 7.若函數(shù)的圖象向右平移個單位后，它的一條對稱軸是，則的一個可能的值是 A B C D七

10、識圖問題例 已知函數(shù)的圖像如圖所示，則 。 解： 由圖象知A=2，最小正周期T（），故3，又x時，f（x）0，即2）0，所以，因為，所以，于是，則20總結(jié)：對于根據(jù)圖像，求的表達(dá)式的題型，三個參數(shù)的確定方法：（1） 根據(jù)最大（小）值求A；（2） 根據(jù)周期求；（3） 根據(jù)圖中的一個點的坐標(biāo)求，根據(jù)已知的范圍確定值（4） 一般先求周期、振幅，最后求。例 （2010天津文）為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將的圖象上所有的點(A)向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變(B) 向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變(C) 向左平移個單位長度，再把所得

11、各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變(D) 向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變解：由圖像可知函數(shù)的周期為，振幅為1，所以函數(shù)的表達(dá)式是y=sin(2x+)，代入（-，0）可得的一個值為，故圖像中函數(shù)的一個表達(dá)式是y=sin(2x+)，即y=sin2(x+ )，所以只需將y=sinx（xR）的圖像上所有的點向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變。例 函數(shù)yxcosx的部分圖象是（ ）例 （2009浙江理）已知是實數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是 ( )【解析】對于振幅大于1時，三角函數(shù)的周期為，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于

12、了故選D練習(xí)1函數(shù)在區(qū)間的簡圖是 （）2、在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和直線的交點個數(shù)是A0 B1 C2 D43.已知函數(shù)y=2sin(x+)(>0)在區(qū)間0，2的圖像如下：那么= A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/34下列函數(shù)中，圖象的一部分如右圖所示的是 （ ）（A） （B） （C） （D）x-1y201-25已知函數(shù)f(x)=2sin(x+)的圖象如圖所示，則= 6已知函數(shù)f（x）=Asin（x+）（A>0，>0，xR）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，求直線y=與函數(shù)f（x）圖象的所有交點的坐標(biāo)。圖（A=2，T=（）=4，=，y=2sin（+），又由圖象可得