建立彈簧_質(zhì)量_阻尼系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的數(shù)軸法

1、建立彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的數(shù)軸法白艷艷，張曉俊( 太原理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024 )摘 要：提出一種建立彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)其數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)單方法數(shù)軸建模法，即建立與系統(tǒng)平行方向的 數(shù)軸，把彈簧或阻尼器的實(shí)際位移值當(dāng)做有理數(shù)標(biāo)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)位置，然后按照有理數(shù)比較大小的結(jié)果確定相應(yīng)質(zhì)量 塊所受彈簧力或阻尼力的大小和方向，進(jìn)而求得系統(tǒng)的微分方程。分別以單自由度系統(tǒng)、兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)及多自由 度系統(tǒng)為例，闡述了數(shù)軸法在建立機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用。結(jié)果表明此方法在列寫彈簧質(zhì)量阻尼系 統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)非常有效。關(guān)鍵詞：振動(dòng)與波；機(jī)械振動(dòng)；彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)；數(shù)學(xué)模型；數(shù)軸；微分方程

2、中圖分類號(hào)：TB535；TH113.1；O321文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI 編碼：10.3969/j.issn.1006-1355.2012.03.014Numerical-axis Method for Establishing the Mathematical Model ofMass-spring-damper SystemBAI Yan-yan , ZHANG Xiao-jun（ College of Mechanical Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China ）Abstract : A si

3、mple method called Numerical-Axis-Method for establishing the mathematical models of the common mass-spring-damper systems was put forward. In establishing the mathematical model, a numerical-axis parallel to the sys- tem was built, and the displacements of the spring or the damper were translated t

4、o the rational numbers which were marked on the numerical-axis. Then the magnitude and the direction of spring force or damping force applied to the corresponding mass was determined by comparing the two rational numbers mutually. The application of this method on establishing the mathematical model

5、s of mechanical vibration systems was expatiated through a single degree-of-freedom (DOF) system, a double DOF system and a multi-DOF system. The results show that this method was very efficient in establishing the kine- matic differential equations of the mass-spring-damper systems.Key words : vibr

6、ation and wave ; mechanical vibration ; mass-spring-damper system ; mathematical model ; numeri-cal-axis ; differential equations數(shù)學(xué)模型是定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)特性之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá) 式 1。其中，微分方程是基本的數(shù)學(xué)模型 2。不論 是機(jī)械的、液壓的、電氣的或熱力學(xué)的系統(tǒng)等都可以 用微分方程來描述。微分方程的解就是系統(tǒng)在輸入 作用下的輸出響應(yīng)。所以，建立數(shù)學(xué)模型是研究系 統(tǒng)、預(yù)測(cè)其動(dòng)態(tài)響應(yīng)的前提 3。事實(shí)上，工程科學(xué)的 共性是對(duì)工程問題

7、引入假設(shè)或進(jìn)行簡(jiǎn)化，運(yùn)用基礎(chǔ) 科學(xué)的基本原理建立數(shù)學(xué)模型，揭示工程問題的本收稿日期：2011-05-07；修改日期：2011-08-08作者簡(jiǎn)介：白艷艷（1973- ），女，山西省保德縣人，講師，碩 士，博士研究生，目前從事高速切削方面的研究。質(zhì)，并用于指導(dǎo)工程實(shí)踐 4。通常情況下，列寫機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程都 是應(yīng)用力學(xué)中的牛頓定律、質(zhì)量守恒定律等。彈 簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)是最常見的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)。分 析這種系統(tǒng)時(shí)，首先要根據(jù)彈簧、阻尼器的物理意義 對(duì)與其固連的質(zhì)量塊進(jìn)行受力分析，然后用牛頓第 二定律列寫質(zhì)量塊對(duì)應(yīng)的合力方程，從而得到系統(tǒng) 的數(shù)學(xué)模型微分方程。在對(duì)質(zhì)量塊進(jìn)行受力分 析時(shí)一般遵循這樣的

8、原則(1) 彈簧受到外作用時(shí)，在線性范圍內(nèi)，彈簧力 的大小與彈簧的形變成正比，彈簧力的方向總是與 形變方向相反；(2) 阻尼器可以看作是一個(gè)活塞液壓缸系統(tǒng)，當(dāng)活塞和液壓缸之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，主動(dòng)一方總要 受到另一方的阻尼力。對(duì)于線性阻尼器，阻尼力的 大小與阻尼器端點(diǎn)的相對(duì)移動(dòng)速度成正比。外力作用下，當(dāng)彈簧或阻尼器的兩端點(diǎn)都產(chǎn)生 位移時(shí)，在確定彈簧形變方向和阻尼器端點(diǎn)相對(duì)移 動(dòng)速度時(shí)，情況相對(duì)有點(diǎn)復(fù)雜。針對(duì)這一問題，本文點(diǎn)有位移輸出，則阻尼器端點(diǎn)相對(duì)移動(dòng)速度為 xo ，阻尼器施加給 mA 的阻尼力的大小為 c xo ，方向朝上，是阻尼器端點(diǎn)實(shí)際位移方向的反方向，如圖 1(c)所示。此種情況下列寫

9、 mA 的受力方程，如式（1）所 示提出了一種利用數(shù)軸建立彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型微分方程的簡(jiǎn)單方法，稱之為數(shù)軸建 模法。-k(xo - xi) - c xo = mA x o（1）系統(tǒng)中 A 點(diǎn)處質(zhì)量 mA 很小，可以忽略，故令mA = 0 ，即可得到系統(tǒng)的微分方程為目前，利用數(shù)軸可以解決一些 化 學(xué) 方 面 的 問c xo+ kxo= kxi（2）題 5，6，也可解決一些數(shù)學(xué)中討論起來相對(duì)繁瑣的問題 7。本文將數(shù)軸用于彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)的如果建立的數(shù)軸正方向朝上，還是將彈簧和阻 尼器端點(diǎn)的位移順序地標(biāo)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)位 置，如圖數(shù)學(xué)建模中，收到了很好的效果。1(d)所示。根據(jù)數(shù)軸上 xi 、x

10、o的位置關(guān)系也可得到1數(shù)軸建模法彈簧、阻尼器、質(zhì)量塊是組成振動(dòng)系統(tǒng)的理想元 件。在對(duì)實(shí)際機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)分析時(shí)，有時(shí)可以 略去阻尼，系統(tǒng)簡(jiǎn)化為質(zhì)量彈簧系統(tǒng)。當(dāng)物理系 統(tǒng)的質(zhì)量很小時(shí)，系統(tǒng)就可近似成阻尼彈簧環(huán)對(duì)應(yīng)的質(zhì)量塊 mA 受到的彈簧力大小為 k(xi - xo) ，方 向朝下，與數(shù)軸正方向相反；mA 所受的阻尼力大小為 c xo ，方向朝上，是阻尼器端點(diǎn)實(shí)際位移方向的反方向。此時(shí)對(duì)應(yīng)的質(zhì)量塊 mA 的受力情況如圖 1(e)所示。按此分析列寫 mA 的受力方程，如式（3）所示節(jié)。圖 1(a)所示即為阻尼彈簧環(huán)節(jié)，已知彈簧的剛-k(x - x ) + c x= -m x（3）iooA o度為

11、k ，阻尼器的阻尼系數(shù)為 c ，輸入為位移 xi ，系統(tǒng)在輸入位移作用下的輸出設(shè)為 xo 。來看一下如圖 1 彈簧阻尼環(huán)節(jié)Fig. 1 Spring-damper section何用數(shù)軸法分析系統(tǒng)受力情況，進(jìn)而列寫系統(tǒng)的微 分方程。假設(shè)系統(tǒng)的 A 點(diǎn)處存在一個(gè)質(zhì)量塊 mA ，這樣 可以通過分析其受力情況求得系統(tǒng)的微分方程。由于彈簧和阻尼器都是垂直放置的，故建立一豎直數(shù)軸。先來看數(shù)軸的正方向朝下的情況。將彈 簧和阻尼器端點(diǎn)的位移順序地標(biāo)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)位 置，如圖 1(b)所示。彈簧在一端受到輸入位移 xi 作 用后，另一端點(diǎn)也有位移 xo 輸出，屬于兩端都產(chǎn)生 位移的情況，按照數(shù)軸上 xi 、xo

12、 的位置，質(zhì)量塊 mA 受到的彈簧力大小為 k(xo - xi) ，方向規(guī)定為與數(shù)軸 正方向的反方向，朝上；阻尼器一端固定，另一個(gè)端顯然，式（1）和式（3）是等價(jià)的。同樣可以求得 系統(tǒng)的微分方程為（2）式。因此，數(shù)軸正方向的任意 假設(shè)不影響結(jié)果的正確性。如果按照一般的物理方法來列寫系統(tǒng)微分方程，也需要取質(zhì)量塊 mA 為脫離體，對(duì)其進(jìn)行受力分 析。彈簧輸入位移為 xi ，輸出位移為 xo ，經(jīng)過能量 損耗后，輸出位移必定小于輸入位移，故彈簧受壓， mA 所受彈簧力向下；質(zhì)量塊受到彈簧壓力使得阻尼 器的活塞桿向下移動(dòng)，這樣活塞桿將受到缸體施加 的向上的阻尼力，此阻尼力傳到質(zhì)量塊 mA ，故 mA

13、的受力分析簡(jiǎn)圖如圖 1(e)所示?？梢姲凑諗?shù)軸法和 一般物理方法求得的系統(tǒng)微分方程是一致的。從上例可以看出，用數(shù)軸法分析系統(tǒng)受力，列寫 彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)微分方程時(shí)，我們無需考慮 彈簧的壓縮或拉伸情況，也不用分析阻尼器內(nèi)部活 塞和液壓缸的相互運(yùn)動(dòng)情況，只需建立一個(gè)數(shù)軸，規(guī) 定原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度，把彈簧或阻尼器的輸入 位移變量和輸出位移變量當(dāng)作有理數(shù)按照實(shí)際順序 標(biāo)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)位置，這樣彈簧力、阻尼力的大小分 別由以下公式計(jì)算：FK = k xk（4）FC = c xc （5）式中 k 彈簧剛度；c 阻尼系數(shù)；xk 彈簧兩端位移差的絕對(duì)值；xc 表示阻尼器端點(diǎn)的相對(duì)移動(dòng)速度。而彈簧力或阻尼力的

14、方向的確定遵循以下原 則：當(dāng)系統(tǒng)中彈簧兩端或阻尼器兩端都有位移時(shí)，彈 簧力或阻尼力的方向與所建立的數(shù)軸正方向相反； 當(dāng)彈簧或阻尼器只有一端有位移時(shí)，彈簧力或阻尼 力的方向與彈簧或阻尼器端點(diǎn)的實(shí)際位移方向相 反。這種通過建立與系統(tǒng)平行方向的數(shù)軸，借助數(shù)軸分析系統(tǒng)中質(zhì)量塊的受力情況，進(jìn)而根據(jù)牛頓第 二定律列寫系統(tǒng)微分方程的方法就稱之為數(shù)軸建模 法。在建立彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)，這 種方法非常有效。當(dāng)彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上 的質(zhì)量塊時(shí)，建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)需對(duì)每個(gè)質(zhì)量塊 進(jìn)行受力分析。由于相鄰質(zhì)量塊間存在負(fù)載效應(yīng)，xo ，試列寫系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。 步驟如下（1）建立一水平數(shù)軸，正方向可

15、以任意假設(shè)。如圖2(b)所示是正方向朝右的數(shù)軸。（2）把彈簧 k 的輸入、輸出位移變量 xi 、xo 看作 有理數(shù)標(biāo)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置，并以此為前提做質(zhì)量塊 m 的受力分析簡(jiǎn)圖。圖 2(b)所示數(shù)軸正方向朝 右，彈簧兩端都有位移，故質(zhì)量塊 m 所受彈簧力方 向向左，大小為 k(xo - xi) ；阻尼器只有一端有位移，故 m 承受的阻尼力大小 c xo ，阻尼力方向朝左，是阻尼器端點(diǎn)實(shí)際位移方向的反向。質(zhì)量塊 m 的受力 情況可以用圖2(c)描述。（3）根據(jù)受力分析簡(jiǎn)圖列寫微分方程。按照?qǐng)D 2(c)所示 m 的受力分析，參考圖 2(b)所 示數(shù)軸方向，列寫微分方程如（6）式用數(shù)軸法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行受

16、力分析時(shí)需考慮第一個(gè)進(jìn)行受力分析的質(zhì)量塊如何選取。一般來說，前一個(gè)質(zhì)-k(xo- xi) - c xo= m x o（6）從而求得系統(tǒng)的微分方程為量塊的受力分析總是從相鄰的后一個(gè)質(zhì)量塊受力分析開始。也就是說，第 n 個(gè)質(zhì)量塊的受力分析要先 考慮第 n +1 個(gè)質(zhì)量塊對(duì)其的作用。因此，可采取這 樣一個(gè)方法，即：沿著輸入量（力或位移）作用方向?qū)?找最后一個(gè)質(zhì)量塊，按照數(shù)軸法先分析其受力情況， 然后逆實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向依次分析其余質(zhì)量塊的受力情 況，進(jìn)而按照牛頓第二定律列出每個(gè)質(zhì)量塊的受力 方程，然后聯(lián)立即可得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。2數(shù)軸法在建立彈簧質(zhì)量阻尼系 統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用圖 2 單自由度系統(tǒng)Fi

17、g. 2 Single-degree-of-freedom system2.1 單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的建立m x o + c xo + kxo = kxi（7）2.2 兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的建立圖 3 兩自由度系統(tǒng)Fig. 3 Two-degree-of-freedom system需要用兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來描述其運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng) 成為兩自由度系統(tǒng)。兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分 方程可以用兩個(gè)聯(lián)立的二階常系數(shù)微分方程來描 述。系統(tǒng)如圖 3(a)所示，輸入為 xi ，輸入作用下的輸 出設(shè)為 xo ，試建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)在 A、B 兩點(diǎn)處有兩個(gè)質(zhì)量塊 mA 和 mB ，并 假設(shè)點(diǎn) B 的位

18、移為 x 。需要注意的是，在外力作用單自由度彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)是最簡(jiǎn)單的振下，mA的輸出受到后接 mB的影響，也就是說 mA 和動(dòng)系統(tǒng)，它可用一個(gè) 2 階常系數(shù)微分方程來描述。mB 之間存在負(fù)載效應(yīng)，這時(shí)，分析受力時(shí)需根據(jù)實(shí)圖 2(a)所示為一單自由度系統(tǒng)，外界對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的激勵(lì)是彈簧左端點(diǎn)的位移 xi ，設(shè) m 的輸出位移為際運(yùn)動(dòng)方向找到最后一個(gè)受力的質(zhì)量塊即 mB，先分析其受力情況，再返回來分析質(zhì)量塊 mA 的受力情 況。下面建立數(shù)軸分析系統(tǒng)受力，列寫系統(tǒng)的微分 方程。建立如圖 3(b)所示正方向朝下的數(shù)軸，將輸入、 輸出各位移值 xi 、xo 和 x 標(biāo)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)位置，則 相應(yīng)的 mA 和

19、 mB 的受力分析如圖 3(c)所示。 mB 是 第一個(gè)受力分析的質(zhì)量塊，它受到彈簧力和阻尼力 的作用。其中，彈簧力的大小為 k2 x ，方向朝上，是 彈簧實(shí)際位移方向的反方向；由于與 mB 相連的阻尼 器 c2 兩端點(diǎn)都有位移，阻尼器的相對(duì)移動(dòng)速度為三自由度系統(tǒng)如圖 4(a) 所示，f1(t) 、f2 (t) 、f3(t) 是分別施加到質(zhì)量塊 m1 、m2 、m3 的激勵(lì)，x1(t) 、 x2 (t) 、x3(t) 是相應(yīng)的輸出位移。試求系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué) 方程。我們來按照數(shù)軸法列寫系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。需要注意的是，由于質(zhì)量塊 m1 、m2 及 m2 、m3 之間存 在負(fù)載效應(yīng)，故需沿著受力方向?qū)ふ?/p>

20、第一個(gè)受力分 析的質(zhì)量塊 m3 ，先分析其受力情況，再返回來依次 分析 m2 、m1 的受力情況。建立如圖 4(b)所示的數(shù)軸，正方向朝右，把彈簧x - xo ，故 mB 所受阻尼力的大小為 c2 ( x - xo) ，方向朝上，指向相應(yīng)數(shù)軸正向的反方向。阻尼器 c2 對(duì) mA的作用力與其對(duì) mB 的作用力大小相等，方向相反。另外 mA 還受到彈簧 k1 和阻尼器 c1 作用。由圖 3(b)所 示 的 數(shù) 軸 可 知 彈 簧 k1 給 mA 的 彈 簧 力 大 小 為k1(xo - xi) ，阻 尼 器 c1 作 用 于 mA 的 阻 尼 力 大 小 為和阻尼器端點(diǎn)的位移值 x1(t) 、x2

21、 (t) 、x3(t) 順序標(biāo)在數(shù)軸上相應(yīng)位置，則質(zhì)量塊 m1 、m2 、m3 的受力情況如圖 4(c) 所示；最終得到的系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如式（9），是三個(gè)互相耦合的2 階常系數(shù)微分方程：ïìm1 x1(t)|(c1|c2 )x1(t) - c2 x2 (t)|(k1|k2 )x1(t) - k2 x2 (t) = f1(t)ím2 x2 (t) + (c2 + c3)x2 (t) - c2 x1(t) - c3 x3(t) + (k2 + k3)x2 (t) - k2 x1(t) - k3 x3(t) =ïîm3 x3(t) + c3 x3(t) - c3 x2 (t) + k3. x3(t) - k3 x2 (t) = f3(t)c1( xo - xi) ，彈簧力和阻尼力的方向均向上，指向數(shù)軸正方向的反向。由此得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為式（8）íì-k2 x - c2 (x - x