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文檔簡介

1、A thesis submitted toXXXin partial fulfillment of the requirementfor the degree ofMaster of Engineering邏輯圖從其古典形式走向形式化的發(fā)展歷程(中國社會科學(xué)院哲學(xué)研究所, 北京 100732)摘要: 本文考察邏輯圖從其古典形式走向形式化的發(fā)展歷程。關(guān)鍵詞: 邏輯圖;圖式邏輯;完全性中圖分類號:B81 文獻標識碼:A圖形在人類推理中扮演著非常重要的角色,是哲學(xué)、認知科學(xué)、心理學(xué)、計算機科學(xué)、人工智能、邏輯和數(shù)學(xué)等學(xué)科所共同研究的對象。邏輯圖首先是為理解亞里士多德的范疇命題和三段論推理而發(fā)展起來的

2、,其開端一般追溯到歐拉圈。在長期的歷史發(fā)展過程中,經(jīng)過萊布尼茨、歐拉、布爾、漢密爾頓、文恩和皮爾士等人的努力,邏輯圖從最初的設(shè)想變成了現(xiàn)實、從最初的簡單表述三段論發(fā)展成了關(guān)系邏輯和模態(tài)邏輯等的圖式表示,而關(guān)系理論的建立是傳統(tǒng)邏輯向現(xiàn)代邏輯轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵。當代的邏輯學(xué)家們更是在現(xiàn)代邏輯的基礎(chǔ)上、運用現(xiàn)代邏輯的工具和技術(shù)形式化了邏輯圖并把它運用到哲學(xué)、計算機科學(xué)和人工智能等領(lǐng)域,深刻地改變了許多重要的邏輯哲學(xué)概念,并提出了“圖式邏輯(Diagrammatic Logic)”的新概念,為哲學(xué)邏輯增添了一個新的分支。1 歐拉圈至少在中世紀就有人用圓圈或封閉的曲線來表示古典三段論。1761年,瑞士數(shù)學(xué)家歐拉

3、(Leonhard Euler,1707-1783)引入被后人稱為“歐拉圈”的圖形來表述三段論推理。在這一著作中歐拉用類似幾何的方法通俗化了萊布尼茨圖解邏輯關(guān)系的方案。這種方法對一般陳述句的外延(或類)解釋特別注意,它既可以表示非空非全的類之間的關(guān)系,也可以解說三段論和表示直接推理。歐拉圈的基本形式以圓表示非空非全的類,即用圓表示三段論中詞項的外延;圓中的點是類中的元素。歐拉圈是用兩個圓的包含、排斥和交叉等拓撲性質(zhì)來表示集合之間的包含、相異和相交關(guān)系的一種圖解。也就是說,全稱肯定命題(A)用一個圓包含另一個圓表示,全稱否定命題(E)用兩個互不相交的圓表示,而特稱肯定命題(I)和特稱否定命題(O

4、)則用兩個交叉的圓表示前者把表示主詞的字母寫在交叉的區(qū)域,而后者把交叉區(qū)域留空,以此表示主詞外延與謂詞外延的交為空集。亞里士多德的四個范疇命題A、E、I、O的歐拉圖解分別如下: 歐拉圈直觀上相當清楚:圓之間的包含、相離表示全稱,相交表示特稱。在后面兩個表示特稱命題的圖中,圓中寫有字母(比如S)之處表示有某物屬于S。但是,歐拉圈不能表示全類和空類、不能表示補運算,這給表示涉及換質(zhì)的直接推理帶來困難。另外,歐拉圈的一個廣為人知的缺陷在于,這一系統(tǒng)無法窮盡兩個詞項之間一切可能的關(guān)系:比如,所有事物或是S或是P,等等。不過,在涅爾夫婦看來,窮盡一切可能關(guān)系倒不是歐拉的原意:“在歐拉的邏輯學(xué)說

5、中,空間圖形的主要作用是使三段論原理從直觀上看來一目了然,并沒有想概括一切可能的外延關(guān)系?!?2按照這一解釋,上述缺陷也就消失了。但是,如果有需要,我們也想把這個系統(tǒng)擴張成一個表達一切可能關(guān)系的系統(tǒng);從這一點上來看,歐拉圈系統(tǒng)還是有問題的:(1)在表示否定的特稱命題的歐拉圈中,我們無法區(qū)分“有的S不是P”和“有的P不是S”;歧義性為邏輯學(xué)家所深惡痛絕。(2)與歧義性相關(guān),矛盾命題的歐拉圈表示也出現(xiàn)了問題。在布爾代數(shù)中互相矛盾的命題以一種明顯的方式表現(xiàn)出來,而在歐拉圈中,與肯定的全稱命題和否定的全稱命題相矛盾的兩個命題都用一樣的圖表示出來。(3)我們可以通過處置歐拉圈來幫助我們解決有關(guān)于三段論推

6、理的問題,但難于表示更復(fù)雜的推理關(guān)系。困難的根本在于,我們不能把多個圖組合成一個圖,并且有時還無法確定一個圖應(yīng)當如何轉(zhuǎn)換。如我們無法把表示“所有M是S”和“有的M是P”的兩個歐拉圈組合成一個從而檢驗“有的S是P”是否是其結(jié)論。這個問題不僅出現(xiàn)在特稱命題中,對于兩個全稱命題也有同樣的情況。如果說第一個問題可以通過表示主詞和謂詞的字母在圖中出現(xiàn)的位置的不同而得到解決,而矛盾命題不必明顯地表示出來,那么第三個問題可不那么容易。如果我們不能隨意地把兩個或更多的圖結(jié)合在一起也不知道如何轉(zhuǎn)換一個圖,那么這樣的系統(tǒng)在處理三段論演繹推理時就極其有限。歐拉圈的一部分困難將在文恩圖中得到解決。2 文恩圖1881年

7、,英國邏輯學(xué)家約翰·文恩(John Venn,18341923)在符號邏輯一書中使用了相交區(qū)域的圖解(史稱“文恩圖”)來解釋類之間或命題的真值之間的關(guān)系。文恩圖的基本形式以矩形表示論域,矩形中的圓表示非空類;每一個圓把矩形分成兩個類:任意一個類及其補類。文恩認為歐拉圈不能提供一種一般的方法在同一個圖中表示兩個類之間的更多關(guān)系。歐拉圈中的圓表示非全非空的類,圓之間的關(guān)系直接表示相應(yīng)的類之間的實際關(guān)系,因而不能表示論域,也不能表示相應(yīng)的類之間潛在的關(guān)系。為了克服歐拉圈這些表達方面的困難,文恩采用了一種“初始圖”的辦法。初始圖表明了所涉及的類之間所有可能的關(guān)系,并且也不假定這些類一定都是非

8、空的。下面左圖就是涉及兩個類S和P的初始圖,表示了S和P之間所有可能的關(guān)系,其中把平面所劃分成的四個區(qū)域表示了類S、P、非S(用S¢表示)和非P(用P¢表示)相互之間四種可能的組合。能否表示出類之間所有可能的關(guān)系,正是兩種圖解之差異所在,也是造成多個歐拉圈難以組合成一個圖的根本原因。除了初始圖外,文恩還利用在圖的區(qū)域中加上陰影的語形辦法來表示相應(yīng)的類為空類。有了初始圖和陰影這兩種語形方面的準備,文恩圖就可以用來驗證換質(zhì)推理和三段論的有效性。例如,上面右圖就是第一格AAA的圖解,其中S、M兩圓連同深色陰影表示命題“所有S是M”,M、P兩圓連同淺色陰影表示命題“所有M是P”,把

9、相應(yīng)于這兩個命題的陰影加到關(guān)于S、M、P的初始圖中就得到AAA的圖解。文恩圖不同于歐拉圈的地方在于前者第一次用不同的區(qū)域表示所有可能的組合,并在各種區(qū)域中用記號表示:為使給定的命題成立,哪些組合必是空的,哪些組合不是。令人遺憾的是,文恩圖跟歐拉圈一樣也不能表示特稱命題。后來的學(xué)者再給它添加其它的語形裝置彌補了這一缺陷。3 皮爾士-文恩圖1903年,美國邏輯學(xué)家、哲學(xué)家皮爾士(C.S. Peirce,18391914)接受文恩對歐拉圖的改進,并作了進一步的發(fā)揮,使得圖的表達能力得到了提高,不僅可以表示特稱命題而且可以進一步地表示選言的和聯(lián)言的復(fù)合命題。經(jīng)過皮爾士改進的圖稱為“皮爾士-文恩圖”;所

10、有的文恩圖都是“皮爾士-文恩圖”。在皮爾士-文恩圖中,皮爾士在一個區(qū)域中畫上符號“x”來表示該區(qū)域不空,并且用符號“o”代替文恩圖中的陰影來斷定一個區(qū)域為空區(qū)域。符號“x”和“o”可以用短線連接起來表示析取。單獨一個“x”或者“o”也表示一條鏈。而在同一個皮爾士-文恩圖中,由“x”和“o”組成的不同的鏈表示各條鏈的合取。例如,下圖中左邊的皮爾士-文恩圖與句子“SP¢¹fÚSP¢=f”的意思相同,斷定“或者有S是非P或者所有的P都是S”。類似地,下圖中右邊的圖形與句子(SP¢Q¢¹fÚSPQ¢¹f

11、ÚS¢PQ¢¹f)Ù(SP¢Q¹fÚS¢PQ=f)Ù(S¢P¢Q¢=fÚS¢P¢Q=f)具有相同的意思;在這個合取式中第一個合取支由最下的一條鏈表示,第二個和第三個合取支分別由中間的和最上面的鏈表示。一個圖的某一個區(qū)域中如果同時出現(xiàn)沒有用短線連接的“x”和“o”則該圖斷定了一個假命題,如下面左邊的圖形等于SP¢=f ÙSP¢¹f;另一方面,如果其中的“x”和“o”被用短線連接了起來則斷定了一個有效

12、命題,如下面右邊的圖形斷定了S¢P=fÚS¢P¹f。這樣,所有的皮爾士-文恩圖都可以找到一個與其等價的布爾公式;另一方面,所有的布爾公式也都可以用以上的皮爾士-文恩圖表示出來。也就是說,在表達能力上皮爾士-文恩圖等價于標準一階邏輯的一元部分。當然,作為皮爾士-文恩圖的一個對偶解釋,“x”、“o”之間的連線也可以視為合取關(guān)系,而同一圖中的各條鏈則被視為析取關(guān)系。這兩種解釋在語義上是等價的。另外,皮爾士還引進了圖形的變形規(guī)則,這些圖形變形規(guī)則的使用完全像代數(shù)中的規(guī)則一樣。皮爾士對邏輯圖研究的一個重要貢獻是他第一個討論了圖形的變形規(guī)則。這些規(guī)則為六條:1.“任

13、何完整的斷定指號(即一個叉、零或者叉和零的連接體)都可以被刪除?!?.“對任何斷定指號都可以為其添加新的指號?!?.“如果沒有其它斷定,任何許可的斷定都可以分開寫成。”4.“一個指號在同一個區(qū)域中的不同出現(xiàn),不管它們是否被聯(lián)結(jié)在一起,都等價于一個出現(xiàn);兩個不同的指號在同一個區(qū)域中出現(xiàn)時,如果它們已經(jīng)聯(lián)結(jié)在一起,那么等價于沒有任何指號出現(xiàn),可以任意添加或刪除它們,而如果它們各自分離則它們構(gòu)成一個假命題;如果兩個對立的指號在同一個區(qū)域中出現(xiàn)且一個與某個其它的指號如P聯(lián)結(jié)在一起而另一個也與其它另外一個聯(lián)結(jié)在一起,那么把其它兩個指號聯(lián)結(jié)起來,同時刪除這兩個對立者?!?.“任何表示詞項的一條封閉曲線都可

14、以被刪除,只要滿足以下條件:如果這樣一來兩個合并一起的區(qū)域包含有獨立的零,那么可以聯(lián)結(jié)這些零;如果被刪除曲線的一邊有一個零而由兩個區(qū)域合并而成的區(qū)域不再包含其它獨立的零,那么刪除該零連同其所在的整個鏈?!?.“任何表示詞項的一條封閉曲線都可以被添加到原來的圖中;如果該曲線穿過的區(qū)域包含有一個叉那么應(yīng)該添加一個新的叉使得添加的曲線位于這兩個叉之間,不管原來的叉是不是位于其它鏈上。如果新的曲線穿過的區(qū)域包含有一個零,那么應(yīng)該復(fù)制一個包含該零的整個鏈不與原來的鏈聯(lián)結(jié),而且使得兩個零分別位于新添曲線兩邊?!?4實際上,皮爾士的這些規(guī)則在運用時相當于經(jīng)典命題邏輯的消解(Resolution)證明程序。當

15、然,它們還不是完善的。4 圖式邏輯20世紀90年代以前,皮爾士-文恩圖并沒有得到研究,歐拉圈由于其明顯的缺陷也一直很少得到重視,而對文恩圖的使用和研究卻一直在進行。我們在前面已經(jīng)看到,文恩圖中所有表示詞項的封閉曲線都必須兩兩相交。當討論的詞項的數(shù)量少于5時,其文恩圖一般都很容易就能夠畫出;但是,當討論的詞項的數(shù)量為5或更多時是否可以畫出其文恩圖?對于這一問題文恩本人只從直觀上作了肯定回答。241959年摩爾在符號邏輯雜志上給出了對任意多個兩兩相交的文恩圖的一個拓撲構(gòu)造方法;1965年安德森和克里夫爾在同一雜志上給出了更直觀的構(gòu)造方法。這兩個數(shù)學(xué)歸納證明為文恩圖在后來的發(fā)展起了重要的作用。與此同

16、時,20世紀60年代,人們開始重新發(fā)現(xiàn)皮爾士的“存在圖(Existential Graphs)”。存在圖是皮爾士對關(guān)系邏輯的圖式表示。邏輯圖與其表示的對象之間有某種一致性。在皮爾士看來,邏輯的目的不是發(fā)展一種有效的演算使得結(jié)論可以迅速而容易地從前提得出,邏輯的準確任務(wù)是盡可能逼真地、以一種“鏡像(icon)”的方式來清楚地把推理的最基本的、元素性的構(gòu)成成分分析并展示出來。文恩圖既不能表示存在命題,也不能表示析取信息,更不能表示關(guān)系詞的邏輯。因此,在改造文恩圖的同時,皮爾士費十年(1886-1896)之功,運用自己在拓撲和圖論中的研究發(fā)展出了自己的邏輯圖式系統(tǒng)存在圖。存在圖系統(tǒng)是可以在其上進行邏

17、輯轉(zhuǎn)換運算的一類圖,每一個基本的運算都是在一個表示論域的任意平面上畫上圖的一個部分或擦掉圖的一個部分。這是一個包羅廣泛的系統(tǒng),在這個系統(tǒng)中皮爾士相信任何可以想象得到的斷言或邏輯論證都可以給出其幾何表達式,“存在”一詞即是指這種圖在描述任何可能論域中的任何方面的任何存在狀態(tài)的力量。存在圖系統(tǒng)由Alpha圖、Beta圖和Gamma圖三個部分組成,各個部分都有自己初始的構(gòu)圖符號以及操作這些圖的保真的圖形轉(zhuǎn)換規(guī)則,從而各自形成了一個證明系統(tǒng),具有與經(jīng)典命題演算、帶等詞的一階謂詞演算以及模態(tài)邏輯和高階邏輯相同的表達能力。存在圖的初始指號只有三個:一條表示否定的封閉曲線、一條既表示個體變元又表示存在量詞的

18、恒等線和一條表示“可能不”的封閉虛線。兩個圖的并置表示兩者的合取。與那些公認的邏輯成就相比,皮爾士認為邏輯的圖式化研究才是自己對于邏輯的最重要的工作,在自己最后的二十年中,貫注了他在邏輯方面的主要精力,1903年他更是把這一圖式系統(tǒng)稱為“我的杰作(My Chef D¢oeuvre)”。14齊曼(J. Zeman)1964年的博士論文皮爾士圖的邏輯和1973年羅伯茨(D.D. Roberts)在1963年博士論文基礎(chǔ)上出版的皮爾士的存在圖是從現(xiàn)代邏輯角度對存在圖進行的開拓性研究。1626但是,存在圖的重要性直到計算機表示的圖示推理得到發(fā)展后才得以確認。1984年,索瓦(J.F. Sow

19、a)在存在圖的基礎(chǔ)上創(chuàng)造出作為知識表示的概念圖(Conceptual Graphs)系統(tǒng),這一系統(tǒng)現(xiàn)在被全世界的計算機科學(xué)家作為一種知識表示模式應(yīng)用于人工智能領(lǐng)域。21222720世紀90年代,對圖的邏輯研究取得了長足進展。1990年,美國邏輯學(xué)家巴威思(J. Barwise,1942-2000)在印第安那大學(xué)建立跨學(xué)科研究的“可視推理實驗室(VIL)”,認為可視表示信息(圖式信息)一樣可以從事弗雷格及其追隨者們使用語言信息進行的有效推理。41994年,英國邏輯學(xué)家多夫·蓋貝(Dov M. Gabbay)主編的什么是一個邏輯系統(tǒng)?一書出版。書中提到了15個關(guān)于“邏輯系統(tǒng)”的定義,其中

20、巴威思和哈默(E.R. Hammer)認為:現(xiàn)在我們要定義的邏輯系統(tǒng)不僅應(yīng)該包括大多數(shù)現(xiàn)有的系統(tǒng),而且還要包括將要建立的系統(tǒng)。所以他們采取了一種盡可能寬泛的定義:“一個邏輯系統(tǒng)是非形式推理活動以及支持這些活動的已有的(或者可能的)直觀推理后承關(guān)系的一個數(shù)學(xué)模型?!边@種數(shù)學(xué)模型是對非形式推理活動的一種理想化,可以是語義的,也可以是語形的,具有多樣性。對同一種推理活動,可以有不同的刻畫。例如,不同的一階邏輯系統(tǒng)有公理化系統(tǒng)、自然推演系統(tǒng)、表列系統(tǒng)、矢列系統(tǒng)等。巴威思和哈默還認為,形式刻畫的系統(tǒng)還可以包括圖式系統(tǒng)和異質(zhì)系統(tǒng)(heterogeneous systems)。圖式系統(tǒng)包括文恩圖系統(tǒng)、歐拉圈

21、系統(tǒng)、存在圖系統(tǒng)等,異質(zhì)系統(tǒng)既包括像公式那樣的語言元素,也包括像圖、表、列那樣的非語言元素,如超證明系統(tǒng)(heyperproof systems)、圖形系統(tǒng)(chart systems)和語句與文恩圖混合的系統(tǒng)。37在巴威思這些思想的指導(dǎo)下,同一年,S.J.辛(Sun-Joo Shin)用現(xiàn)代邏輯的方法建立起了可靠而完全的文恩圖系統(tǒng)。文恩圖的這一新理論把文恩圖構(gòu)造成一個現(xiàn)代的形式系統(tǒng),給出了嚴格的合式圖定義、嚴格的塔爾斯基語義以及適用于文恩圖的變形規(guī)則,并且證明了關(guān)于有限圖集的完全性結(jié)果。18這一完全性結(jié)果隨即得到了進一步的完善,被推廣到一般的情形。1 1995年哈默嚴格按照現(xiàn)代邏輯的工具和技

22、術(shù)建立了歐拉圈系統(tǒng)的一個形式化,包括句法、語義和元邏輯研究,給出了歐拉圈的一個形式系統(tǒng)及其完全性證明。11同時,皮爾士為改造文恩圖而提出的推演規(guī)則也得到了完善,現(xiàn)代形式的皮爾士-文恩圖理論在文恩圖的新理論上建立起來。8與此同時,存在圖也得到了廣泛的研究。192227邏輯研究有效推理。一個推理是有效的是因為結(jié)論所傳達的信息與前提所傳達的信息之間的必然關(guān)系,而傳達這些信息的媒介不一定就是語言。日常推理是運用語句、圖形甚至聲音、氣味等多種信息進行的多模態(tài)(multi-modal)推理,對這些多模態(tài)表示系統(tǒng)和推理的研究已經(jīng)成為心靈哲學(xué)、認知科學(xué)、邏輯和計算機科學(xué)等領(lǐng)域的交叉地帶,而關(guān)于邏輯圖的這些工作

23、把“圖式邏輯”納入哲學(xué)邏輯做了理論上的鋪墊。2001年,由多夫·蓋貝和岡瑟納(F. Guenthner)主編的、計劃18卷的哲學(xué)邏輯手冊第二版(Handbook of Philosophical Logic, 2nd Edition)開始出版,“圖式邏輯”作為專門的一章出現(xiàn)在2002年出版的第四卷中。圖式邏輯是刻畫圖形系統(tǒng)的語法、語義和證明論等的一個邏輯,其中的圖形系統(tǒng)在目前主要包括歐拉圈、文恩圖、皮爾士-文恩圖、存在圖、流程控制圖、線圖、電路圖、范疇論圖、哈斯(Hasse)圖、概念圖和幾何圖等。圖型(type)在語法上具有二維特征,而它們的意義則可以通過模型論或代數(shù)得以刻畫。圖式邏

24、輯系統(tǒng)主要以圖形為對象,除此之外,它們與一般的邏輯系統(tǒng)并無根本的區(qū)別:兩者都要對一類需要研究的表達式、表達式的意義以及表達式的運用和目的進行充分的刻畫。至此,邏輯圖最終完成了它向形式化的轉(zhuǎn)變,成為現(xiàn)代邏輯的一個分支。5 結(jié)束語在數(shù)學(xué)和邏輯領(lǐng)域,由來已久的觀點是,圖形僅僅是一種直觀的教學(xué)輔助工具,精確的數(shù)學(xué)推理和邏輯演算根本就無法用圖形來模擬。皮爾士的革命性思想不僅克服了邏輯圖的重大缺陷,而且為邏輯圖打開了一個新的天地:存在圖是在現(xiàn)代意義上可靠的和完全的圖式邏輯系統(tǒng)。換句話說,在現(xiàn)代邏輯草創(chuàng)時期,邏輯圖就已經(jīng)具備了與符號系統(tǒng)同樣的表達能力,應(yīng)該具有與符號系統(tǒng)同樣的邏輯地位。不過,在其歷史發(fā)展過程

25、之中,隨著表達能力的逐步提高,特別是由于對否定的表示,邏輯圖的直觀性程度也在逐步降低,用弗雷格在思想中的話說,“科學(xué)越是嚴格,就越是枯燥”。28參考文獻1 Allwein, G. & J. Barwise, eds. Logic Reasoning with Diagrams N , Oxford University Press, 1996.2 Anderson, D.E. & F. L. Cleaver. Venn-type diagrams for arguments of n terms J . Journal of Symbolic Logic 30, 1965.3

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