Hermit插值法(1)

1、.1數(shù)值分析第二章 插值法Hermite 插值插值.2.3,)(1010nnyyybxxxaxf處的函數(shù)值為在節(jié)點設(shè)值函數(shù)上的具有一階導(dǎo)數(shù)的插的在區(qū)間為設(shè),)()(baxfxP處必須滿足在節(jié)點顯然nxxxxP,)(10)(,)()1(一階光滑度上具有一階導(dǎo)數(shù)在若要求baxPiiiyxfxP)()(iiiyxfxP)()(ni, 1 , 0ni, 1 , 0-(1)個待定的系數(shù)可以解出22 n次的多項式可以是最高次數(shù)為因此12)(nxP次多項式作為插值函數(shù)兩個節(jié)點就可以用311222n共個方程兩點三次兩點三次HermiteHermite插值插值FF.4例：例：設(shè)設(shè) x0 x1 x2, 已知已知

2、f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和和 f (x1), 求多項求多項式式 P(x) 滿足滿足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且，且 P(x1) = f (x1), 并估計誤差。并估計誤差。模仿模仿 Newton 多項式的思想，設(shè)多項式的思想，設(shè)解：解：首先，首先，P 的階數(shù)的階數(shù) = 3),()()()()()(221033xxxxxxxKxPxfxR!4)()()4(xfxK )()( )(,)(,)()(210102100100 xxxxxxAxxxxxxxfxxxxfxfxPA為待定系數(shù)，可由為待定系數(shù)，可由P(x1) = f (x1)確定確定)(,)(,)

3、(210121001101xxxxxxxfxxxxfxfA與與 Lagrange 分析分析完全類似完全類似.5應(yīng)滿足插值條件)(3xH003)(yxH113)(yxH003)(yxH113)(yxH.6 求求Hermite多項式的基本步驟：多項式的基本步驟： 寫出相應(yīng)于條件的、寫出相應(yīng)于條件的、 的組合形式；的組合形式；ii)()()()()(110011003xyxyxyxyxH 對每一個對每一個 找出盡可能多的條件給出的根；找出盡可能多的條件給出的根；ii,其中其中1)(00 x0)(00 x1)(00 x0)(10 x0)(01x1)(11x0)(10 x0)(01x0)(11x0)(0

4、0 x0)(10 x0)(01 x0)(11 x0)(10 x0)(01 x1)(11 x 根據(jù)多項式的總階數(shù)和根的個數(shù)寫出表達式；根據(jù)多項式的總階數(shù)和根的個數(shù)寫出表達式；)()()(210baxxxx 根據(jù)尚未利用的條件解出表達式中的待定系數(shù)；根據(jù)尚未利用的條件解出表達式中的待定系數(shù)；1)(00 x0)(00 x由由可得可得310)(2xxa3100210)(2)(1xxxxxb.7)()()(210baxxxx21)(xx 310)(2xxx3100210)(2)(1xxxxx21021)()(xxxx102xxx10021xxx01021xxxx2101xxxx)()(21(201xlx

5、l.8 最后完整寫出最后完整寫出H(x)。)()()()()(110011003xyxyxyxyxH101121xxxxy2010 xxxx00 xxy2101xxxx2010 xxxx11xxy010021xxxxy2101xxxx.9.10兩點三次兩點三次HermiteHermite插值的誤差為插值的誤差為)()()(33xHxfxR0)()()(33iiixHxfxR0)()()(33iiixHxfxR1 , 0i因此可設(shè)的二重零點均為,)(,310 xRxx21203)()()(xxxxxKxR待定其中)(xK.1121203)()()()()(xtxtxKtHtft構(gòu)造輔助函數(shù)0)(

6、)()()()(21203xxxxxKxHxfxiiiii0)()()()()(21203xxxxxKxHxfx均是二重根個零點至少有因此5)(t連續(xù)使用4次Rolle定理，可得，,10 xx至少存在一點使得0)()4(1 , 0i.120)(! 4)()()4()4(xKf即! 4)()()4(fxK所以,兩點三次Hermite插值的余項為2120)4(3)()(! 4)()(xxxxfxR10 xx以上分析都能成立嗎？上述余項公式成立上存在且連續(xù)時在當(dāng),)(10)4(xxxf.13一般的，總認為次數(shù)越高，一般的，總認為次數(shù)越高，逼近逼近f(x)f(x)的精度就越好，的精度就越好，但實際上并

7、非如此。但實際上并非如此。.142.6 分段低次插值分段低次插值 /* piecewise polynomial approximation */Remember what I have said? Increasing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result, since high-degree polynomials are oscillating.例：例：在在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取211)(xxf),., 0(105niinxi -5 -4 -3 -2 -1 0

8、 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端點附近抖動端點附近抖動越大，稱為越大，稱為Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象Ln(x) f (x) 分段分段低次低次插值插值.15-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次數(shù)的Lagrange插值多項式的比較圖Runge現(xiàn)象現(xiàn)象從上圖可以看出，隨著從上圖可以看出，隨著n n的增加，的增加，L Ln n(x)(x)的計算結(jié)果和的計算結(jié)果和誤差的絕對值幾乎成倍的增加，這說明當(dāng)誤差的絕對值幾乎成倍的增加，這說明當(dāng)n n趨于無窮大趨于無窮大

9、時，時， L Ln n(x)(x)在在-5-5，55上不收斂；上不收斂；.16.17-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81的圖象分段線性插值)(1xLy 的一條折線實際上是連接點niyxk

10、k, 1 , 0,),(也稱折線插值也稱折線插值, ,如右圖如右圖曲線的光滑性較差曲線的光滑性較差在節(jié)點處有尖點在節(jié)點處有尖點 但如果增加節(jié)點的數(shù)量但如果增加節(jié)點的數(shù)量減小步長減小步長, ,會改善插值效果會改善插值效果上連續(xù)在若,)(baxf因此因此)(lim10 xLh)(xf則則.18 分段線性插值分段線性插值 /* piecewise linear interpolation */在每個區(qū)間在每個區(qū)間 上，用上，用1階多項式階多項式 (直線直線) 逼近逼近 f (x):,1 iixx11111)()( iiiiiiiiyxxxxyxxxxxPxf,for 1 iixxx記記 ，易證：當(dāng)，易證：當(dāng) 時，時，|max1iixxh 0h)()(1xfxPh一致一致失去了原函數(shù)的光滑性。失去了原函數(shù)的光滑性。 分段分段Hermite插值插值 /* Hermite piecewise polynomials */給定給定nnnyy