數(shù)學(xué)分支巡禮之十四：實(shí)變函數(shù)論

1、.數(shù)學(xué)分支巡禮之十四：實(shí)變函數(shù)論數(shù)學(xué)分支巡禮之十四實(shí)變函數(shù)論的產(chǎn)生微積分產(chǎn)生于十七世紀(jì)，到了十八世紀(jì)末十九世紀(jì)初，微積分學(xué)已經(jīng)根本上成熟了。數(shù)學(xué)家廣泛地研究并建立起它的許多分支，是它很快就形成了數(shù)學(xué)中的一大部門，也就是數(shù)學(xué)分析。也正是在那個(gè)時(shí)候，數(shù)學(xué)家逐漸發(fā)現(xiàn)分析根底本身還存在著學(xué)多問題。比方，什么是函數(shù)這個(gè)看上去簡單而且非常重要的問題，數(shù)學(xué)界并沒有形成一致的見解。以致長期爭論者問題的這樣和那樣的解答，這樣和那樣的數(shù)學(xué)結(jié)果，弄不清終究誰是正確的。又如，對于什么是連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)是什么，數(shù)學(xué)界也沒有足夠明晰的理解。十九世紀(jì)初，曾經(jīng)有人試圖證明任何連續(xù)函數(shù)除個(gè)別點(diǎn)外總是可微的。后來，德國數(shù)學(xué)

2、家維爾斯特拉斯提出了一個(gè)由級數(shù)定義的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，但是維爾斯特拉斯證明了這個(gè)函數(shù)在任何點(diǎn)上都沒有導(dǎo)數(shù)。這個(gè)證明使許多數(shù)學(xué)家大為吃驚。由于發(fā)現(xiàn)了某些函數(shù)的奇特性質(zhì)，數(shù)學(xué)家對函數(shù)的研究更加深化了。人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了有些函數(shù)是連續(xù)的但處處不可微，有的函數(shù)的有限導(dǎo)數(shù)并不黎曼可積；還發(fā)現(xiàn)了連續(xù)但是不分段單調(diào)的函數(shù)等等。這些都促使數(shù)學(xué)家考慮，我們要處理的函數(shù)，僅僅依靠直觀觀察和猜測是不行的，必須深化研究各種函數(shù)的性質(zhì)。比方，連續(xù)函數(shù)必定可積，但是具有什么性質(zhì)的不連續(xù)函數(shù)也可積呢？假如改變積分的定義，可積分條件又是什么樣的？連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)，那么可導(dǎo)的充分必要條件由是什么樣的？上面這些函數(shù)性質(zhì)問

3、題的研究，逐漸產(chǎn)生了新的理論，并形成了一門新的學(xué)科，這就是實(shí)變函數(shù)。實(shí)變函數(shù)的內(nèi)容以實(shí)數(shù)作為自變量的函數(shù)就做實(shí)變函數(shù)，以實(shí)變函數(shù)作為研究對象的數(shù)學(xué)分支就叫做實(shí)變函數(shù)論。它是微積分學(xué)的進(jìn)一步開展，它的根底是點(diǎn)集論。什么是點(diǎn)集論呢？點(diǎn)集論是專門研究點(diǎn)所成的集合的性質(zhì)的理論。也可以說實(shí)變函數(shù)論是在點(diǎn)集論的根底上研究分析數(shù)學(xué)中的一些最根本的概念和性質(zhì)的。比方，點(diǎn)集函數(shù)、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等。實(shí)變函數(shù)論還要研究實(shí)變函數(shù)的分類問題、構(gòu)造問題。實(shí)變函數(shù)論的內(nèi)容包括實(shí)值函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)、微分理論、積分理論和測度論等。這里我們只對它的一些重要的根本概念作簡要的介紹。實(shí)變函數(shù)論的積分理論研究各種積分的

4、推廣方法和它們的運(yùn)算規(guī)那么。由于積分歸根到底是數(shù)的運(yùn)算，所以在進(jìn)展積分的時(shí)候，必須給各種點(diǎn)集以一個(gè)數(shù)量的概念，這個(gè)概念叫做測度。什么實(shí)測度呢？簡單地說，一條線段的長度就是它的測度。測度的概念對于實(shí)變函數(shù)論非常重要。集合的測度這個(gè)概念實(shí)由法國數(shù)學(xué)家勒貝格提出來的。為了推廣積分概念，1893年，約當(dāng)在他所寫的?分析教程?中，提出了“約當(dāng)容度的概念并用來討論積分。1898年，法國數(shù)學(xué)家波萊爾把容度的概念作了改進(jìn)，并把它叫做測度。波萊爾的學(xué)生勒貝格后來發(fā)表?積分、長度、面積?的論文，提出了“勒貝格測度、“勒貝格積分的概念。勒貝格還在他的論文?積分和圓函數(shù)的研究?中，證明了有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件

5、是不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)零測度集，這就完全解決了黎曼可積性的問題。勒貝格積分可以推廣到無界函數(shù)的情形，這個(gè)時(shí)候所得積分是絕對收斂的，后來由推廣到積分可以不是絕對收斂的。從這些就可以看出，勒貝格積分比起由柯西給出后來又由黎曼發(fā)揚(yáng)的老積分定義廣闊多了。也可以看出，實(shí)變函數(shù)論所研究的是更為廣泛的函數(shù)類。自從維爾斯特拉斯證明連續(xù)函數(shù)必定可以表示成一致收斂的多項(xiàng)式級數(shù)，人們就認(rèn)清連續(xù)函數(shù)必定可以解析地表達(dá)出來，連續(xù)函數(shù)也必定可以用多項(xiàng)式來逼近。這樣，在實(shí)變函數(shù)論的領(lǐng)域里又出現(xiàn)了逼近論的理論。什么是逼近理論呢？舉例來說，假如能把 A類函數(shù)表示成 B類函數(shù)的極限，就說 A類函數(shù)能以 B類函數(shù)來逼近。假如已經(jīng)掌握了

6、 B類函數(shù)的某些性質(zhì)，那么往往可以由此推出 A類函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)。逼近論就是研究那一類函數(shù)可以用另一類函數(shù)來逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出現(xiàn)的各種情況。老師范讀的是閱讀教學(xué)中不可缺少的部分，我常采用范讀，讓幼兒學(xué)習(xí)、模擬。如領(lǐng)讀，我讀一句，讓幼兒讀一句，邊讀邊記；第二通讀，我大聲讀，我大聲讀，幼兒小聲讀，邊學(xué)邊仿；第三賞讀，我借用錄好配朗讀磁帶，一邊放錄音，一邊幼兒反復(fù)傾聽，在反復(fù)傾聽中體驗(yàn)、品味。和逼近理論親密相關(guān)的有正交級數(shù)理論，三角級數(shù)就是一種正交級數(shù)。和逼近理論相關(guān)的還有一種理論，就是從某一類函數(shù)出發(fā)構(gòu)造出新的函數(shù)類型的理論，這種理論叫做函數(shù)構(gòu)造論?？傊?，實(shí)變函數(shù)論和古典數(shù)學(xué)分

7、析不同，它是一種比較高深精細(xì)的理論，是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它的應(yīng)用廣泛，它在數(shù)學(xué)各個(gè)分支的應(yīng)用是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征。要練說，得練聽。聽是說的前提，聽得準(zhǔn)確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級程度的語言。我在教學(xué)中，注意聽說結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽的才能，課堂上，我特別重視老師的語言，我對幼兒說話，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚(yáng)有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專心聽別人發(fā)言時(shí)，就隨時(shí)表揚(yáng)那些靜聽的幼兒，或是讓他重復(fù)別人說過的內(nèi)容，抓住教育時(shí)機(jī)，要求他們專心聽，用心記。平時(shí)我還通過各種興趣活動(dòng)，培養(yǎng)幼兒邊聽邊記，邊聽邊想，邊聽邊說的才能，如聽詞對詞，聽詞句說意思，聽句子辯正誤，聽故事講述故事，聽謎語猜謎底，聽智力故事，動(dòng)腦筋，出主意，聽兒歌上句，接兒歌下句等，這樣幼兒學(xué)得生動(dòng)活潑，輕松愉快，既訓(xùn)練了聽的才能，強(qiáng)化了記憶，又開展了思維，為說打下了根底。實(shí)變函數(shù)論不僅應(yīng)用廣泛，是某些數(shù)學(xué)分支的根本工具，而且它的觀念和方法以及它在各個(gè)數(shù)學(xué)分支的應(yīng)用，對形成近代數(shù)學(xué)的一般拓?fù)鋵W(xué)和泛涵分析兩個(gè)重要分支有著極為重要的影響。單靠“死記還不行,還得“活用,姑且稱之為“先死后活吧。讓學(xué)生把一周看到或聽到的新穎事記下來,摒棄那些