直線與圓的位置關(guān)系之切線長定理(共39頁).ppt

1、蓬萊大辛店中學(xué) 徐巖 2.2.與半徑垂直與半徑垂直1.1.經(jīng)過半徑的外端；經(jīng)過半徑的外端；OAOA是是OO的半徑的半徑OALOAL于于A AL L是是OO的切線的切線. .CABD練習(xí)練習(xí)1 1：ABAB是弦，是弦，ADAD是切線，判是切線，判斷斷DACDAC與圓周與圓周ABCABC之間的關(guān)系并之間的關(guān)系并證明證明. .E在經(jīng)過圓外在經(jīng)過圓外一點的切線一點的切線上，這一點上，這一點和切點之間和切點之間的線段的長的線段的長叫做叫做這點到這點到圓的切線長圓的切線長OPAB切線與切線長的區(qū)別切線與切線長的區(qū)別與聯(lián)系：與聯(lián)系：1 1切線是一條與圓相切的直線切線是一條與圓相切的直線, ,不可以度量；不可

2、以度量；2 2切線長是指切線上某一點與切點間的線段的長切線長是指切線上某一點與切點間的線段的長, ,可以度量?？梢远攘?。 假設(shè)從假設(shè)從OO外的一外的一點引兩條切線點引兩條切線PAPA，PBPB，切點分別是切點分別是A A、B B，連結(jié)，連結(jié)OAOA、OBOB、OPOP，你能發(fā)現(xiàn)，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？并證明你所什么結(jié)論？并證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。APO。BPA = PBPA = PBOPA=OPBOPA=OPB證明：證明：PAPA，PBPB與與OO相切，點相切，點A A，B B是切點是切點 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90OAP=OBP=90 OA=OB OA

3、=OB，OP=OPOP=OP Rt RtAOPRtAOPRtBOP(HL)BOP(HL) PA = PB OPA=OPBPA = PB OPA=OPB試用文字語言試用文字語言表達(dá)你所發(fā)現(xiàn)表達(dá)你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的結(jié)論PA、PB分別切分別切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB 從圓外一點引圓的兩條從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角線平分兩條切線的夾角。 切線長定理切線長定理APO。B幾何語言幾何語言: :反思反思：切線長定理為證明：切線長定理為證明線段相等線段相等、角相角相等等提提 供了新的方法供了新的方法我們

4、學(xué)過的切線，常有我們學(xué)過的切線，常有 五個五個 性質(zhì)：性質(zhì)：1 1、切線和圓只有一個公共點；、切線和圓只有一個公共點；2 2、切線和圓心的距離等于圓的半徑；、切線和圓心的距離等于圓的半徑；3 3、切線垂直于過切點的半徑；、切線垂直于過切點的半徑；4 4、經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；、經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；5 5、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心。、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心。6 6、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。六個六個APO。BM 假

5、設(shè)連結(jié)兩切點假設(shè)連結(jié)兩切點A A、B B，ABAB交交OPOP于點于點M.M.你你又能得出什么新的結(jié)又能得出什么新的結(jié)論論? ?并給出證明并給出證明. .OP垂直平分垂直平分AB證明：證明：PAPA，PBPB是是OO的切線的切線, ,點點A A，B B是切點是切點 PA = PB OPA=OPBPA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM為頂角的為頂角的平分線平分線 OPOP垂直平分垂直平分ABABAPO。B 假設(shè)延長假設(shè)延長POPO交交OO于點于點C C，連結(jié)，連結(jié)CACA、CBCB，你又能得出什，你又能得出什么新的結(jié)論么新的結(jié)論? ?并給出并給出證明證明

6、. .CA=CB證明：證明：PAPA，PBPB是是OO的切線的切線, ,點點A A，B B是切點是切點 PA = PB OPA=OPBPA = PB OPA=OPB PC=PC PC=PC PCA PCA PCB PCB AC=BCAC=BCC例例.PA.PA、PBPB是是OO的兩條切線，的兩條切線，A A、B B為切點，直線為切點，直線OPOP交于交于OO于點于點D D、E E，交，交ABAB于于C C。BAPOCED1 1寫出圖中所有的垂直關(guān)系寫出圖中所有的垂直關(guān)系OAPA，OB PB，AB OP3 3寫出圖中所有的全等三角形寫出圖中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， AC

7、P BCP4 4寫出圖中所有的等腰三角形寫出圖中所有的等腰三角形ABP AOB5假設(shè)假設(shè)PA=4、PD=2，求半徑，求半徑OA2 2寫出圖中與寫出圖中與OACOAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC。PBAO3 3連結(jié)圓心和圓外一點連結(jié)圓心和圓外一點2 2連結(jié)兩切點連結(jié)兩切點1 1分別連結(jié)圓心和切點分別連結(jié)圓心和切點反思：在解決有關(guān)反思：在解決有關(guān)圓的切線長問題時，圓的切線長問題時，往往需要我們構(gòu)建往往需要我們構(gòu)建根本圖形。根本圖形。1.1.切線長定理切線長定理 從從圓外一點引圓的兩圓外一點引圓的兩條切線，它們的切條切線，它們的切線長相等，圓心和線長相等，圓心和這一點的連線平分這一

8、點的連線平分兩條切線的夾角。兩條切線的夾角。 小小 結(jié)：結(jié)：APO。BECDPA、PB分別切分別切 O于于A、BPA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切線長定理為證明切線長定理為證明線段相等，角線段相等，角相等，弧相等，垂直關(guān)系相等，弧相等，垂直關(guān)系提供了理論提供了理論依據(jù)。必須掌握并能靈活應(yīng)用。依據(jù)。必須掌握并能靈活應(yīng)用。2.2.圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等例：例：如圖，如圖， ABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓 O與與BC、CA、AB分別相切于點分別相切于點D、E、F，且，且AB=8cm，BC=13cm，CA=12cm，求，求AF、BD、CE的長

9、。的長。x12xx12x8x8x例題選講例題選講ADCBOFE例例. .如圖，如圖，ABCABC中中,C =90,C =90 , ,它的它的內(nèi)切圓內(nèi)切圓O O分別與邊分別與邊ABAB、BCBC、CACA相切相切于點于點D D、E E、F F，且，且BD=12BD=12，AD=8AD=8，求求OO的半徑的半徑r.r.OEBDCAF 例例. .如下圖如下圖PAPA、PBPB分別切圓分別切圓O O于于A A、B B，并與圓并與圓O O的切線分別相交于的切線分別相交于C C、D D， PA=7cmPA=7cm，(1)(1)求求PCDPCD的周長的周長(2) (2) 如果如果P=46P=46, ,求求C

10、ODCOD的度數(shù)的度數(shù)C OPBDAE1 1、如圖，、如圖，ABCABC中中, ABC=50, ABC=50，ACB=75 ACB=75 , ,點點O O 是是ABCABC的內(nèi)心，求的內(nèi)心，求 BOC BOC的度數(shù)。的度數(shù)。AOCB隨堂訓(xùn)練隨堂訓(xùn)練變式：變式：ABCABC中中, A=40, A=40，點，點O O是是ABCABC的內(nèi)心，的內(nèi)心，求求 BOC BOC的度數(shù)。的度數(shù)。21 BOC= 90 BOC= 90+ A+ A2 2、ABCABC的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為 r , r , ABCABC的周長為的周長為 l ,l ,求求ABCABC的面積。提示：設(shè)內(nèi)心為的面積。提示：設(shè)內(nèi)心為O

11、 O，連接，連接OAOA、OBOB、OCOC。OACBrrr知識拓展知識拓展若若ABCABC的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為 r , r , 周長為周長為 l ,l ,則則S SABCABC= lr= lr21oooo外切圓圓心：外切圓圓心：三角形三邊三角形三邊垂直平分線的交點垂直平分線的交點。外切圓的半徑：外切圓的半徑：交點到三交點到三角形任意一個定點的距離角形任意一個定點的距離。三角形外接圓三角形外接圓三角形內(nèi)切圓三角形內(nèi)切圓內(nèi)切圓圓心：內(nèi)切圓圓心：三角形三個三角形三個內(nèi)角平分線的交點。內(nèi)角平分線的交點。內(nèi)切圓的半徑：內(nèi)切圓的半徑：交點到三交點到三角形任意一邊的垂直距離角形任意一邊的垂直距離。

12、A AB BC CoA AB BC C1.1.一個三角形有且只有一個內(nèi)切圓；一個三角形有且只有一個內(nèi)切圓；2.2.一個圓有無數(shù)個外切三角形；一個圓有無數(shù)個外切三角形；3.3.三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平 分線的交點；分線的交點；4. 4. 三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。1 1、如圖，四邊形、如圖，四邊形ABCDABCD的邊的邊ABAB、BCBC、CDCD、DADA和圓和圓OO分別相切于點分別相切于點L L、M M、N N、P P， 求證：求證： AD+BC=AB+CD AD+BC=AB+CDDLMNABCOP證明：由

13、切線長定理得證明：由切線長定理得AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC， DN=DPDN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即即 AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC補充：補充：圓的外切四邊形的兩組對邊的圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等和相等 OABCDEF OABCDE2 2、如圖，、如圖，ABAB是是OO的直徑，的直徑，ADAD、DCDC、BCBC是切線，點是切線，點A A、E E、B B為切點，假設(shè)為切點，假設(shè)BC=9BC=9，AD=4AD=4，求，求OEOE的長的長. .BDEFOCA1

14、 1、如圖，、如圖，ABCABC的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為r, r, ABCABC的周長為的周長為l,l,求求ABCABC的面積的面積S.S.解：解：設(shè)設(shè)ABCABC的內(nèi)切圓與三邊相切于的內(nèi)切圓與三邊相切于D D、E E、F F，連結(jié)連結(jié)OAOA、OBOB、OCOC、ODOD、OEOE、OFOF，那么那么ODABODAB，OEBCOEBC，OFAC.OFAC.S SABCABCS SAOBAOBS SBOC BOC S SAOCAOC ABODABOD BCOEBCOE ACOFACOF21212121 lrlr設(shè)設(shè)ABCABC的三邊為的三邊為a a、b b、c c，面積為，面積為S S

15、，那么那么ABCABC的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑 r r2Sabc有關(guān)圓的計算問題有關(guān)圓的計算問題ABCEDFO如圖，如圖，RtRtABCABC中，中，CC9090,BC,BCa,ACa,ACb, b, ABABc,c,O O為為RtRtABCABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓. . 求：求：RtRtABCABC的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑 r.r. 解：設(shè)解：設(shè)RtRtABCABC的內(nèi)切圓與三邊相切于的內(nèi)切圓與三邊相切于D D、E E、F F，連結(jié)連結(jié)ODOD、OEOE、OFOF那么那么OAACOAAC，OEBCOEBC，OFABOFAB。abc2設(shè)設(shè)RtRtABCABC的直角邊為的直角邊為a a、b

16、 b，斜邊為，斜邊為c c，則，則RtRtABCABC的的內(nèi)切圓的半徑內(nèi)切圓的半徑 r r 或或r rabc2ababcABCEDFO如圖，如圖，RtRtABCABC中，中，CC9090,BC,BC3,AC3,AC4, O4, O為為RtRtABCABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓. . 1 1求求RtRtABCABC的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑 . . 2 2假設(shè)移動點假設(shè)移動點O O的位置，使的位置，使OO保持與保持與ABCABC的邊的邊ACAC、BCBC都相切，求都相切，求OO的半徑的半徑r r的取值范圍。的取值范圍。 解：解：1設(shè)設(shè)RtABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓與三邊相切于與三邊相切于D、E、F，連結(jié)

17、，連結(jié)OD、OE、OF那么那么OAAC，OEBC，OFAB。 Rt RtABCABC的內(nèi)切圓的的內(nèi)切圓的半徑為半徑為1 1。2 2如下圖，設(shè)與如下圖，設(shè)與BCBC、ACAC相相切的最大圓與切的最大圓與BCBC、ACAC的切點的切點分別為分別為B B、D,D,連結(jié)連結(jié)OBOB、OD,OD,那那么四邊形么四邊形BODCBODC為正方形。為正方形。ABODCOBOBBCBC3 3半徑半徑r r的取值范圍為的取值范圍為0 0r3r3幾何問題代數(shù)化是幾何問題代數(shù)化是解決幾何問題的一解決幾何問題的一種重要方法。種重要方法。EF HG同學(xué)們要好好學(xué)習(xí)老師同學(xué)們要好好學(xué)習(xí)老師期盼你們快快進(jìn)步！期盼你們快快進(jìn)步

18、！切線長定理切線長定理拓展拓展回憶反思回憶反思1.1.切線長定理切線長定理OBPA從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長切線長相等，這一點和圓心的連線相等，這一點和圓心的連線平分平分兩條切線的兩條切線的夾角夾角?；貞浄此蓟貞浄此?.2.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、內(nèi)心的性質(zhì)COBADEF知識拓展知識拓展拓展一：拓展一：直角三角形的外接圓與內(nèi)切圓直角三角形的外接圓與內(nèi)切圓CBACOBA1.1.直角三角形外接圓的圓心直角三角形外接圓的圓心( (外心外心) )在在_，半徑為半徑為_._.2.2.直角三角形內(nèi)切圓的圓心直角三角形內(nèi)切圓的圓心( (內(nèi)心內(nèi)心) )在在_，半徑半徑r=_.r=_.abc斜邊中點斜邊中點斜邊的一半斜邊的一半三角形內(nèi)部三角形內(nèi)部a+b-c2知識拓展知識拓展3.3.：如圖：如圖,PA,PA、PBPB是是OO的切線，切點分別是的切線，切點分別是A A、B B，Q Q為為OO上一點，過上一點，過Q Q點作點作OO的切線，交的切線，交