參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)練習(xí)題精

1、第5章 參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)練習(xí)題1、設(shè)隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望為 m ，方差為 s2 ，（X1 ，X2 ，···，Xn ）為X的一個(gè)樣本，試比較 與 的大小。（ 前者大于后者 ）2、設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立，已知 EX = 3，EY = 4，DX = DY = s2 ，試問：k 取何值時(shí)，Z = k ( X 2 - Y 2 ) + Y 2 是 s2 的無偏估計(jì) 。（ 16 / 7 ）3、設(shè)正態(tài)總體 X N ( m , s2 ) ，參數(shù) m ，s2 均未知，（ X1 ，X2 ， ，Xn ）（ n ³ 2 ）為簡單隨機(jī)樣本，試確定 C，使得 為 s2 的無

2、偏估計(jì)。（ ）4、假設(shè)總體 X 的數(shù)學(xué)期望為 m ，方差為 s 2 ， 為來自總體 X 的一個(gè)樣本，、S2 分別為樣本均值和樣本方差，試確定常數(shù) c ，使得 為 m 2 的無偏估計(jì)量.（ 1 / n ）5、設(shè) X1 ，X2 是取自總體 N ( m , s2 ) （ m 未知）的一個(gè)樣本，試說明下列三個(gè)統(tǒng)計(jì)量 ， ， 中哪個(gè)最有效。（ ）6、設(shè)某總體 X 的密度函數(shù)為： ，（ X1 ，X2 ， ，Xn ）為該總體的樣本， Yn = max ( X1 , X2 , , Xn ) ，試比較未知參數(shù) q 的估計(jì)量 與 哪個(gè)更有效？（ n > 1 時(shí)， 更有效 ）7、從某正態(tài)總體取出容量為10的樣

3、本，計(jì)算出 ， 。求總體期望與方差的矩估計(jì) 和 。（ 15 ；47 ）8、設(shè)總體 X 具有密度 ，其中參數(shù) 0 < J < 1，C 為已知常數(shù)，且C > 0，從中抽得一樣本 X1 ，X2 ， ，Xn ，求參數(shù) J 的矩估計(jì)量。（ 1 - C /X ，其中 ）9、設(shè)總體 X 服從（ 0，J ）上的均勻分布，其中 J > 0 是未知參數(shù)，（ X1 ，X2 ， ，Xn ）為簡單隨機(jī)樣本，求出 J 的矩估計(jì)量 ，并判斷 是否為 J 的無偏估計(jì)量。（ 2X ，其中 ；是 ）10、設(shè)（ X1 ，X2 ， ，Xn ）為總體 X 的一組樣本，總體 X 密度函數(shù)為： ， 其中 J >

4、; 1 且未知。試求該總體未知參數(shù) J 的極大似然估計(jì)量。（ ）11、設(shè)總體 X 的概率密度為 ，其中 q > 0 是未知參數(shù)，（X1 ，X2 ， ，X n ）是取自總體的一個(gè)樣本，試求：總體期望 EX 的最大似然估計(jì)量值和最大似然估計(jì)量。（ ； ）12、設(shè)樣本 X1 ，X2 ， ，Xn 為取自分布密度為 f ( x ) 的總體，其中 （ r 已知），J > 0，求參數(shù) J 的極大似然估計(jì)。（ ，其中 ； ，其中 ）13、已知某地區(qū)各月因交通事故死亡的人數(shù)為 3，4，3，0，2，5，1，0，7，2，0，3 。若死亡人數(shù)X服從參數(shù)為 l 的Poisson 分布，求：（1）l 的極大似

5、然估計(jì)值；（2）利用（1）的結(jié)果求 P ( X > 2 ) 。（ （1） ； （2）0.4562 ）14、設(shè)（ X1 ，X2 ， ，Xn ）為總體 X 的一組樣本，總體 X 密度函數(shù)為： （ 參數(shù) s 未知，且 s > 0 ），（1）試求未知參數(shù) s 的極大似然估計(jì)量；（2）檢驗(yàn)其無偏性。 （ （1） ；（2）無偏估計(jì)量 ）15、設(shè)總體 X 密度函數(shù)為：， （參數(shù) J > 0 且未知）， 取樣本（X1 ，X2 ， ，Xn ） ，求總體未知參數(shù) J 的最大似然估計(jì)量和矩估計(jì)量。（ ； ，其中 ）16、設(shè)總體 X 具有密度函數(shù) （ 其中 J 為未知參數(shù)，且J > 0 ） ，

6、取自總體 X 的一組樣本（ X1 ，X2 ， ，Xn ），求 J 的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量。（ ， 其中 ； ）17、設(shè)隨機(jī)變量X （ 未知參數(shù) l > 0 ），且 EX = m 。取樣本（ X1 ，X2 ， ，Xn ），求總體期望 m 的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量，并檢驗(yàn)其無偏性。（ ，其中 ，無偏； ，其中 ，有偏 ）18、作 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，觀察到事件A 發(fā)生了m 次，試證明 P ( A ) = p 的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)均為 m / n 。19、方差 s 2 已知，置信度為 1 - a ，為使正態(tài)總體均值 m 的置信區(qū)間長度不大于 L ，樣本容量至少為多少？（ 不小于 的最小

7、正整數(shù) ）20、設(shè)總體 X N ( m , 102 ) （ m 未知），若要使 m 的置信度為 0.95 的雙側(cè)置信區(qū)間的長度為4，求樣本容量n 最小應(yīng)為多少？（ 97 ）21、由總體 X N ( m , s2 ) （ s2 未知）取得一個(gè)樣本 X1 ，X2 ， ，X9 ，計(jì)算出x = 10， ，試求 m 的雙側(cè)置信區(qū)間（ a = 0.05 ）。（ （ 8.847 , 11.153 ） ）22、從一批釘子中隨機(jī)抽取16枚，測(cè)得平均長度為 2.125 cm ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 0.01713 cm ，假設(shè)釘子的長度X服從方差為 0.012 的正態(tài)分布，求總體X 的均值 m 的置信度為90% 的置信區(qū)

8、間（計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位有效數(shù)字）。（ （ 2.121 , 2.129 ） ）23、從一大批電子元件中隨機(jī)抽取100只，測(cè)得元件的平均壽命為 1000小時(shí)，如果電子元件的壽命服從正態(tài)分布，且均方差 s = 40 小時(shí)，求 a = 0.05時(shí)，電子元件平均壽命的置信區(qū)間。（ （ 992.16 , 1007.84 ） ）24、設(shè)總體X容量為4的樣本為 0.5，1.25，0.8，2.0，已知 Y = lnX 服從正態(tài)分布 N ( m , 1 )，（1）求總體X的數(shù)學(xué)期望；（2）求 m 的置信度為95%的置信區(qū)間。（ （1） ； （2）（ - 0.98 , 0.98 ） ）25、假設(shè)鋼珠的直徑服從

9、正態(tài)分布，現(xiàn)從鋼珠的生產(chǎn)線中抽取容量為9的樣本（單位：mm），測(cè)的直徑的平均值x = 31.05，s2 = 0.252 ，試求：總體 m 和 s2 的雙側(cè)置信區(qū)間（a = 0.05；t 0. 025 ( 8 ) = 2.306，t 0. 05 ( 9 ) = 1.8333，）。（ （ 30.858 , 31.242 ） ； （ 0.0285 , 0.2294 ） ）26、設(shè)總體 X N ( m , s2 ) ，參數(shù) m ，s2 均未知，（X1 ，X2 ，···，Xn ）為簡單隨機(jī)樣本，若假設(shè) H0 ：m = 0，H1 ：m ¹ 0。試寫出假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)使用的

10、統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式。（ ，其中 ， ）27、設(shè)某批產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，并且方差根為150，從該批產(chǎn)品中抽取容量為25的一組樣本，并測(cè)得該項(xiàng)指標(biāo)的平均值為1645（單位），問是否可以認(rèn)為這批產(chǎn)品得該項(xiàng)指標(biāo)值為1600（單位）？（ a = 0.05 ； t a / 2 ( 24 ) = 2.064 ，F(xiàn) 0 ( 1.96 ) = 0.975 ，t a ( 25 ) = 1.708 ）（ U - 檢驗(yàn)法，雙側(cè)，接受 H0 ，可以 ）28、某燈泡廠所生產(chǎn)的燈泡的使用壽命 x N ( m , s2 ) ，如果生產(chǎn)正常時(shí)，m = 2000（小時(shí)），現(xiàn)在抽檢25個(gè)燈泡后，得x = 1832，s =

11、498，試問生產(chǎn)是否正常（ a = 0.05 ）？（ t - 檢驗(yàn)法，雙側(cè)，接受 H0 ，正常 ）29、某食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)裝罐頭食品，規(guī)定當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)重量為250克，標(biāo)準(zhǔn)差不超過3克時(shí)，機(jī)器工作正常。每天定時(shí)檢查機(jī)器情況?，F(xiàn)抽取16罐，測(cè)的平均重量為252克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為4克，假定罐頭重量服從正態(tài)分布，試問該機(jī)工作是否正常（ a = 0.05 ）？（ 不正常 ）30、設(shè)某次考試的考生成績服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)地抽取25位考生的成績，算得平均成績?yōu)?1.5分，標(biāo)準(zhǔn)差為15分。試問：在顯著水平0.05下，是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?5分？并寫出檢驗(yàn)過程。（ t - 檢驗(yàn)法，雙側(cè)，接受 H

12、0 ，可以 ）31、設(shè)某校高中二年級(jí)的數(shù)學(xué)考試成績服從正態(tài)分布，第一學(xué)期全年級(jí)數(shù)學(xué)考試平均分為80分，第二學(xué)期進(jìn)行了教改，隨機(jī)抽取25名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，算得平均分為85分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分。問：教改是否有效果（ a = 0.05 ）？（ t - 檢驗(yàn)法，右側(cè)，否定H0 ，接受 H1 ，有效果 ）32、某工廠生產(chǎn)一種金屬線，抗拉強(qiáng)度的測(cè)量值 X N ( m , s2 ) ，且知 m = 105.6 kg / mm2 ，現(xiàn)經(jīng)過改進(jìn)生產(chǎn)了一批新的金屬線，從中隨機(jī)地取10根作實(shí)驗(yàn)，測(cè)出抗拉強(qiáng)度值，并計(jì)算得均值x = 106.3 kg / mm2 ，標(biāo)準(zhǔn)差 s = 0.8 kg / mm2 ，問這批新線的

13、抗拉強(qiáng)度是否比原來金屬線的抗拉強(qiáng)度高（ a = 0.05 ）？（ t - 檢驗(yàn)法，右側(cè)，否定H0 ，接受 H1 ，是 ）33、某工廠采用一種新的方法處理廢水。對(duì)處理后的水測(cè)量所含某種有毒物質(zhì)的濃度X （ N ( m , s2 ) ），測(cè)量10個(gè)水樣，得到以下數(shù)據(jù)：x = 17.10 ，s2 = 2.902 。而以往用老方法處理廢水后，該種有毒物質(zhì)的平均濃度為19。問新方法是否比老方法好（ a = 0.05 ，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位有效數(shù)字即可）？（ t - 檢驗(yàn)法，左側(cè)，否定H0 ，接受 H1 ，是 ）34、某廠生產(chǎn)的電子元件壽命服從方差為 s02 =10 000 ( 小時(shí)2 ) 的正態(tài)分布?，F(xiàn)采用一種能提高元件效率的新工