反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則定理1：設(shè)為的反函數(shù)，若在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)，且，則在（即點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)），且。證明： 所以 。注1：，因?yàn)樵邳c(diǎn)附近連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)； 2：若視為任意，并用代替，使得或，其中均為整體記號，各代表不同的意義； 3：和的“”均表示求導(dǎo)，但意義不同； 4：定理1即說：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)； 5：注意區(qū)別反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與商的導(dǎo)數(shù)公式?！纠?】 求的導(dǎo)數(shù)，解：由于，是的反函數(shù)，由定理1得：。注1：同理可證：； 2：?！纠?】 求的導(dǎo)數(shù)。解：利用指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，自己做。三、初等函數(shù)的求導(dǎo)公式1、 常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）

2、（8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）（17） （18）（19）（20）（21）（22）四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題是最最常見的問題，對一復(fù)合函數(shù)往往有這二個(gè)問題：1.是否可導(dǎo)？2.即使可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)如何求？復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式解決的就是這個(gè)問題。定理2（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）：如果在點(diǎn)可導(dǎo)，且在 點(diǎn)也可導(dǎo)，那么，以為外函數(shù)，以為內(nèi)函數(shù)，所復(fù)合的復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且，或證明： = 所以。注 1：若視為任意，并用代替，便得導(dǎo)函數(shù)： ，或 或。 2：與不同，前者是對變量求導(dǎo)，后者是對變量求導(dǎo)，注意區(qū)別。 3：注意區(qū)別復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與函數(shù)乘積的求導(dǎo)。 4：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可推廣到有限個(gè)函數(shù)復(fù)合的復(fù)合函數(shù)上去，如： 等?！纠?】 求的導(dǎo)數(shù)。解：可看成與復(fù)合而成， ?！纠?】 求（為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。解：是，復(fù)合而成的。所以。這就驗(yàn)證了前面§2、1的例4。由此可見，初等函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)必須熟悉(i)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)；(ii)復(fù)合函數(shù)的分解；(iii)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式；只有這樣才能做到準(zhǔn)確。在解題時(shí)，若對復(fù)合函數(shù)的分解非常熟悉，可不必寫出中間變量，而直接寫出結(jié)果?！纠?】，求。解：?！纠?】，求。解： ?！纠?】，求。解： = =?！纠?】，求。解： ?！纠?】 ， 即。同理，?！纠?0】，求。解： 。同理： 。 小結(jié)： 1 、函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法