對(duì)數(shù)函數(shù)總結(jié)

1、二、新授內(nèi)容：定義：一般地，如果 的b次冪等于N, 就是 ，那么數(shù) b叫做 以a為底 N的對(duì)數(shù)，記作 ，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)例如： ; ; 探究：負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù)（在指數(shù)式中 N > 0 ），對(duì)任意 且 , 都有 同樣易知： 對(duì)數(shù)恒等式如果把 中的 b寫(xiě)成 , 則有 常用對(duì)數(shù)：我們通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)為了簡(jiǎn)便,N的常用對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記作lgN例如：簡(jiǎn)記作lg5 ; 簡(jiǎn)記作lg3.5.自然對(duì)數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無(wú)理數(shù)e=2.71828為底的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)，為了簡(jiǎn)便，N的自然對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記作lnN例如：簡(jiǎn)記作ln3 ; 簡(jiǎn)記作ln10（6）底數(shù)的取值范圍；真數(shù)的

2、取值范圍三、講解范例：咯log例1將下列指數(shù)式寫(xiě)成對(duì)數(shù)式：（課本第87頁(yè)）（1）=625 （2）= （3）=27 (4) =5.73例2 將下列對(duì)數(shù)式寫(xiě)成指數(shù)式：（1）； （2）128=7；（3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303例3計(jì)算： ，二、新授內(nèi)容：積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：如果 a > 0，a ¹ 1，M > 0， N > 0 有：三、講授范例：例1 計(jì)算（1）25， （2）1， （3）（×）， （4）lg例2 用，表示下列各式：例3計(jì)算：(1)lg14-2lg+lg7-lg18 (2) (3) 四、課堂練習(xí)：1.求下列各式的值：（

3、） （）lglg（） （） 2. 用lg，lg，lg表示下列各式：(1) lg（xyz）； （）lg； （）； （）二、新授內(nèi)容：1.對(duì)數(shù)換底公式： ( a > 0 ,a ¹ 1 ，m > 0 ,m ¹ 1,N>0) 證明：設(shè) N = x , 則 = N 兩邊取以m 為底的對(duì)數(shù)： 從而得： 2.兩個(gè)常用的推論:， （ a, b > 0且均不為1）三、講解范例：例1 已知 3 = a， 7 = b, 用 a, b 表示 56例2計(jì)算： 例3設(shè) 且 1° 求證 ； 2° 比較的大小 例4已知x=c+b，求x四、課堂練習(xí)：已知 9 =

4、a , = 5 , 用 a, b 表示45 若3 = p , 5 = q , 求 lg 5 1證明： 2已知 求證：二、新授內(nèi)容：1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)；它是指數(shù)函數(shù) 的反函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù) 的定義域?yàn)?，值域?yàn)?對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象由于對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，所以的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱因此，我們只要畫(huà)出和的圖象關(guān)于對(duì)稱的曲線，就可以得到的圖象，然后根據(jù)圖象特征得出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，觀察得出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)見(jiàn)P87 表 a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：（0，+）值域：R過(guò)點(diǎn)（1，0），即當(dāng)x=1時(shí)，y=0 時(shí) 時(shí) 時(shí) 時(shí)在（0，+）上是增函

5、數(shù)在（0，+）上是減函數(shù)三、講解范例：例1（課本第94頁(yè)）求下列函數(shù)的定義域：（1）； （2）； （3）例2求下列函數(shù)的反函數(shù) 四、練習(xí)：1.畫(huà)出函數(shù)y=x及y=的圖象，并且說(shuō)明這兩個(gè)函數(shù)的相同性質(zhì)和不同性質(zhì).2.求下列函數(shù)的定義域：（1）y=(1-x) (2)y=(3)y= 二、新授內(nèi)容：例1比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大?。?； ；例3比較下列各組中兩個(gè)值的大?。海?例4 求下列函數(shù)的定義域、值域： 1比較0.7與0.8兩值大小2已知下列不等式，比較正數(shù)m、n的大?。海?）mn (2) mn (3) mn(0a1) (4) mn(a1) 二、新授內(nèi)容：例1 證明函數(shù)在上是增函數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)還

6、是增函數(shù)？例2 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明三、練習(xí)：1.求y=(-2x)的單調(diào)遞減區(qū)間2.求函數(shù)y=(-4x)的單調(diào)遞增區(qū)間3.已知y=(2-)在0，1上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍.練習(xí)（1）證明函數(shù)y= (+1)在（0，+）上是減函數(shù)；（2）判斷函數(shù)y=（+1)在（-,0）上是增減性.概念是數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)、概念性強(qiáng)是中學(xué)數(shù)學(xué)中函數(shù)理論的一個(gè)顯著特征，集合，函數(shù)三要素（對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域）；反函數(shù)；函數(shù)的單調(diào)性，最大（小）值等是函數(shù)有關(guān)概念的重要內(nèi)容.本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容中數(shù)學(xué)概念較多，正確地理解數(shù)學(xué)概念在于準(zhǔn)確把握概念的本質(zhì)特征.1.映射的定義，就明確如下幾點(diǎn)（1）映射f:AB說(shuō)

7、的是兩個(gè)集合A與B間的一種對(duì)應(yīng)，兩個(gè)集合是有序.（2）映射必須是“多對(duì)一”或“一對(duì)一”的對(duì)應(yīng)，即允許集合A中不同元素在集合B中有相同的象，但不要求B中的元素在A中都有原象，有原象也不要求惟一，象集可以是B的真子集.（3）映射所涉及兩個(gè)集合A、B(均非空)，可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其他類(lèi)元素構(gòu)成的集合.2.函數(shù)的概念在映射的基礎(chǔ)上理解函數(shù)概念，應(yīng)明確：（1）函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)，它要求是兩個(gè)集合必須是非空數(shù)集；函數(shù)y=f(x)是“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學(xué)表示，其中x是自變量，y是自變量x的函數(shù)，f是表示對(duì)應(yīng)法則，它可以是一個(gè)解析式，也可以是表格或圖象，也有的只能用文字語(yǔ)言敘述.（2）函數(shù)三要

8、素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定作用的要素，因?yàn)檫@二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).（3）確定函數(shù)定義域是函數(shù)這部分所涉及的重要問(wèn)題之一，應(yīng)會(huì)求各種函數(shù)的定義域，若為實(shí)際問(wèn)題還應(yīng)注意實(shí)際問(wèn)題有意義.3.函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)重要概念之一，應(yīng)明確：（1）它是一個(gè)區(qū)間概念，即函數(shù)的單調(diào)性是針對(duì)定義域內(nèi)的區(qū)間而言的，談到函數(shù)的單調(diào)性必須指明區(qū)間（可以是定義域，也可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間），例如函數(shù)y=在（-,0）上是減函數(shù)，在（0，+）上也是減函數(shù)，但決不能講函數(shù)y=是減函數(shù).（2）用函數(shù)單調(diào)性定義來(lái)確定函數(shù)在某區(qū)間

9、是增函數(shù)還是減函數(shù)的一般方法步驟是：取值作差化積定號(hào).（3）由函數(shù)單調(diào)性的定義知，當(dāng)自變量由小到大，函數(shù)值也由小到大，則為增函數(shù)，反之，為減函數(shù)；由函數(shù)圖象的走向十分直觀反映函數(shù)變化趨勢(shì)，當(dāng)函數(shù)的圖象（曲線）從左到右是逐漸上升的，它是增函數(shù)，反之為減函數(shù).4.反函數(shù)反函數(shù)是函數(shù)部分重要概念之一，應(yīng)明確：（1）對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)y=f(x)不一定有反函數(shù)，如果有反函數(shù)，那么原函數(shù)y=f(x)與它的反函數(shù)是互為反函數(shù).（2）原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域，在求反函數(shù)時(shí)，應(yīng)先確定原函數(shù)的值域.（3）求反函數(shù)的步驟是“一解”“二換”.所謂一解，即是首先由給出原函數(shù)的解析式y(tǒng)=

10、f(x)，反解出用y表示x的式子x=f(y)；二換，即是將x=f(y)中的x,y兩個(gè)字母互換，解到y(tǒng)=f(x)即為所求的反函數(shù)（即先解后換）.當(dāng)然，在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f(x)與x=f(y)是表示同一圖象，y=f(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.（4）一般的偶函數(shù)不存在反函數(shù)，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù).（5）原函數(shù)與其反函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性是一致的.5方法總結(jié).相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同.函數(shù)表達(dá)式的求法：定義法；換元法；待定系數(shù)法.反函數(shù)的求法：遞解x,互換x、y，注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不

11、等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)的定義域.常涉及到的依據(jù)為分母不為0；偶次根式中被開(kāi)方數(shù)不小于0；對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于零且不等于1；零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零；實(shí)際問(wèn)題要考慮實(shí)際意義等.函數(shù)值域的求法：配方法(二次或四次)；判別式法；反函數(shù)法；換元法；不等式法；函數(shù)的單調(diào)性法.單調(diào)性的判定法：設(shè)x,x是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且xx；判定f(x)與f(x)的大??；作差比較或作商比較.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f(-x)與f(x)之間的關(guān)系：f(-x)=f(x)為偶函數(shù)；f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)；f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；f(-x

12、)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1為奇函數(shù).圖象的作法與平移：據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；利用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱性描繪函數(shù)圖象.函數(shù)的應(yīng)用舉例(實(shí)際問(wèn)題的解法).解決應(yīng)用問(wèn)題的一般程序是：審題：弄清題意、分清條件和結(jié)論、理順數(shù)量關(guān)系；建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)模型.求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論.還原：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論，還原為實(shí)際問(wèn)題的意義.四、二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)及運(yùn)用：二次函數(shù)雖然是初中內(nèi)容，但由于應(yīng)用廣泛性，且是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)，在高考中屬于重點(diǎn)考查的內(nèi)容.在高考試題中常有直接

13、考查二次函數(shù)的題目，而且還有一定的難度.題型有選擇題、填空題，也有解答題，近幾年解答題常圍繞二次函數(shù)并結(jié)合二次方程、二次不等式（簡(jiǎn)稱：“三個(gè)二”）來(lái)設(shè)置，而且往往是壓軸題，因此，作為重點(diǎn)知識(shí)，有必要再次研究二次函數(shù)，以掌握并加深對(duì)這一部分知識(shí)理解，對(duì)于二次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)及二次函數(shù)的最值，在理解的基礎(chǔ)上，并加強(qiáng)記憶和運(yùn)用.高考對(duì)二次函數(shù)的考查主要從以下幾方面：1.二次函數(shù)解析式的三種表示方法：（1）y=ax+bx+c(a0)叫做標(biāo)準(zhǔn)式；（2）y=a(x+)+,叫做頂點(diǎn)式；（3）y=a(x-x)(x-x),叫做二根式；（這里指的是：當(dāng)0時(shí)，即拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（x,0）和(x,0)時(shí)的

14、解析式形式）.注意：以上三種形式突出了解析式的特點(diǎn)，運(yùn)用時(shí)要有選擇性.2.二次函數(shù)的定義、二次函數(shù)y=ax+bx+c(a0)的圖象與性質(zhì)：(1)頂點(diǎn)是（-,），對(duì)稱軸是x=-.(2)當(dāng)a0時(shí)圖象開(kāi)口方向向上，分別在單調(diào)區(qū)間（-,- 上是減函數(shù)；在-,+上是增函數(shù)，其最小值為ymin=.當(dāng)a0時(shí)，圖象開(kāi)口方向向下，分別在單調(diào)區(qū)間（-,- 上是增函數(shù)；在-,+)上是減函數(shù)，其最大值為ymax=.(3)拋物線與x軸的關(guān)系：（即ax+bx+c=0(a0)的解）.當(dāng)0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（x,0）和(x,0)其中橫坐標(biāo)為x、 =;.當(dāng)=0時(shí)，拋物線與x軸切于一點(diǎn)，坐標(biāo)為（-,0）;.當(dāng)0時(shí)，拋物線

15、與x軸沒(méi)有交點(diǎn).（4）函數(shù)值的正負(fù)號(hào)當(dāng)0時(shí)，xR時(shí)，y與a同號(hào).當(dāng)=0時(shí)，xR且x-時(shí)，y與a同號(hào).當(dāng)0時(shí)，設(shè)x<x,則（）當(dāng)xx或xx時(shí)，y與a同號(hào)；（）當(dāng)xxx時(shí)，y與a異號(hào).以上涉及的是二次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，特別是對(duì)函數(shù)值的符號(hào)，奇偶性，在指定區(qū)間上的最值等進(jìn)行了引伸，應(yīng)結(jié)合圖象理解和運(yùn)用.3.二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值；4.運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.五、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：R（2）值域：（0，+）（3）過(guò)點(diǎn)（0，1），即x=0時(shí)，y=1（4）在 R上是增函數(shù)

16、（4）在R上是減函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：（0，+）值域：R過(guò)點(diǎn)（1，0），即當(dāng)時(shí)，時(shí) 時(shí) 時(shí) 時(shí)在（0，+）上是增函數(shù)在（0，+）上是減函數(shù)六、把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法本章函數(shù)中，重點(diǎn)討論的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，都是以定義、性質(zhì)、圖象作為主要的內(nèi)容，性質(zhì)和圖象相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的很多結(jié)論是在觀察圖象的基礎(chǔ)上，通過(guò)概括，歸納得出的，并借助于函數(shù)圖象所具有的直觀性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)形成記憶，在分析和解決與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題中，也常常是函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，相互為用.函數(shù)圖象可直觀、生動(dòng)地反映函數(shù)的某些性質(zhì)，因此在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，

17、應(yīng)密切結(jié)合函數(shù)圖象的特征，對(duì)應(yīng)研究函數(shù)的性質(zhì).七、認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)函數(shù)是用以描述客觀世界中量的存在關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是用聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系、解決各種問(wèn)題.縱觀近幾年的高考試題，考查函數(shù)的思想方法已放在一個(gè)突出的位置上，特別是近三年加大了應(yīng)用題的考查力度，選用的題目都要應(yīng)用函數(shù)的思想、知識(shí)、方法才能解答的，因此在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，一定要認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，一定要強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí).八、講解范例：例1已知函數(shù)的定義域是0，1，則函數(shù)的定義域是_.例2已知函數(shù)= (-1x0),則=_.九、課堂練習(xí)：1.已知映射f:MN,使集合N中的元素y=x與

18、集合M中的元素x對(duì)應(yīng)，要使映射f:MN是一一映射，那么M，N可以是（ ）A.M=R，N=R B.M=R,N=y|y0C.M=x|x0,N=R D.M=x|x0,N=y|y02.求下列函數(shù)的定義域：（1）y=; （2）y=;(3)y=； (4)y=3.設(shè)f(x)=,求證（1）f(-x)=f(x);(2)f()=-f(x).1.指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并說(shuō)明在單調(diào)區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)：（1）f(x)=-x+x-6; (2)f(x)=-;(3)f(x)=; (4)f(x)=-x+1二、例題分析：例1若函數(shù)f(x)=x+bx+c對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(2+x)=f(2-x)，那么（ ）A.f(2)f(1)f(4) B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1) D.f(4)f(2)f(1) （1）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，則x=a是函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，則x=是f(x)的對(duì)稱軸.