中考數(shù)學(xué)圓的綜合-經(jīng)典壓軸題含答案

1、一、圓的綜合 真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為H，連結(jié)AC，過上一點E作EGAC交CD的延長線于點G，連結(jié)AE交CD于點F，且EG=FG，連結(jié)CE（1）求證：G=CEF；（2）求證：EG是O的切線；（3）延長AB交GE的延長線于點M，若tanG =，AH=3，求EM的值【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）. 【解析】試題分析：（1）由ACEG，推出G=ACG，由ABCD推出，推出CEF=ACD，推出G=CEF，由此即可證明；（2）欲證明EG是O的切線只要證明EGOE即可；（3）連接OC設(shè)O的半徑為r在RtOCH中，利用勾股定理求出r，證

2、明AHCMEO，可得，由此即可解決問題；試題解析：（1）證明：如圖1ACEG，G=ACG，ABCD，CEF=ACD，G=CEF，ECF=ECG，ECFGCE（2）證明：如圖2中，連接OEGF=GE，GFE=GEF=AFH，OA=OE，OAE=OEA，AFH+FAH=90°，GEF+AEO=90°，GEO=90°，GEOE，EG是O的切線（3）解：如圖3中，連接OC設(shè)O的半徑為r在RtAHC中，tanACH=tanG=，AH=，HC=，在RtHOC中，OC=r，OH=r，HC=，r=，GMAC，CAH=M，OEM=AHC，AHCMEO，EM=點睛：本題考查圓綜合題、

3、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運用所學(xué)知識解決問題，正確尋找相似三角形，構(gòu)建方程解決問題嗎，屬于中考壓軸題2已知的半徑為5，弦AB的長度為m，點C是弦AB所對優(yōu)弧上的一動點如圖，若，則的度數(shù)為_；如圖，若求的正切值；若為等腰三角形，求面積【答案】30；的正切值為；或.【解析】【分析】連接OA，OB，判斷出是等邊三角形，即可得出結(jié)論；先求出，再用勾股定理求出，進而求出，即可得出結(jié)論；分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和垂徑定理以及勾股定理即可得出結(jié)論【詳解】如圖1，連接OB，OA，是等邊三角形，故答案為30；如圖2，連接AO并延

4、長交于D，連接BD，為的直徑，在中，根據(jù)勾股定理得，的正切值為；、當(dāng)時，如圖3，連接CO并延長交AB于E，為AB的垂直平分線，在中，根據(jù)勾股定理得，；、當(dāng)時，如圖4，連接OA交BC于F，是BC的垂直平分線，過點O作于G，在中，在中，；、當(dāng)時，如圖5，由對稱性知，【點睛】圓的綜合題，主要圓的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵3如圖，已知RtABC中，C=90°，O在AC上，以O(shè)C為半徑作O，切AB于D點，且BC=BD（1）求證：AB為O的切線；（2）若BC=6，sinA=，求O的半徑；（3）在（2）的條件下，P點在O上

5、為一動點，求BP的最大值與最小值.【答案】（1）連OD，證明略；（2）半徑為3；（3）最大值3+3 ，3-3.【解析】分析：（1）連接OD，OB，證明ODBOCB即可.（2）由sinA=且BC=6可知，AB=10且cosA=，然后求出OD的長度即可.（3）由三角形的三邊關(guān)系，可知當(dāng)連接OB交O于點E、F，當(dāng)點P分別于點E、F重合時，BP分別取最小值和最大值.詳解：（1）如圖：連接OD、OB.在ODB和OCB中：OD=OC,OB=OB,BC=BD;ODBOCB（SSS）.ODB=C=90°.AB為O的切線.（2）如圖：sinA=，,BC=6，AB=10,BD=BC=6,AD=AB-BD

6、=4,sinA=，cosA=，OA=5，OD=3，即O的半徑為：3.（3）如圖：連接OB，交O為點E、F，由三角形的三邊關(guān)系可知：當(dāng)P點與E點重合時，PB取最小值.由（2）可知：OD=3，DB=6,OB=.PB=OB-OE=.當(dāng)P點與F點重合時，PB去最大值，PB=OP+OB=3+.點睛：本題屬于綜合類型題，主要考查了圓的綜合知識.關(guān)鍵是對三角函數(shù)值、勾股定理、全等三角形判定與性質(zhì)的理解.4某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑如圖，若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水最深的地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑【答案】10cm【解析

7、】分析：先過圓心O作半徑COAB，交AB于點D設(shè)半徑為r，得出AD、OD的長，在RtAOD中，根據(jù)勾股定理求出這個圓形截面的半徑詳解：解：過點O作OCAB于D，交O于C，連接OB，OCABBD=AB=×16=8cm由題意可知，CD=4cm設(shè)半徑為xcm，則OD=（x4）cm在RtBOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x4）2+82=x2解得：x=10答：這個圓形截面的半徑為10cm點睛：此題考查了垂經(jīng)定理和勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理進行求解5函數(shù)是描述客觀世界運動變化的重要模型，理解函數(shù)的本質(zhì)是重要的任務(wù)。（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A、B

8、的坐標(biāo)分別為A（6，0）、B（0，2），點C（x，y）在線段AB上，計算（x+y）的最大值。小明的想法是：這里有兩個變量x、y，若最大值存在，設(shè)最大值為m，則有函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+m，由一次函數(shù)的圖像可知，當(dāng)該直線與y軸交點最高時，就是m的最大值，（x+y）的最大值為 ；（2）請你用（1）中小明的想法解決下面問題：如圖2，以（1）中的AB為斜邊在右上方作RtABM.設(shè)點M坐標(biāo)為（x，y），求（x+y）的最大值是多少？【答案】（1）6（2）4+2 【解析】分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)以AB為斜邊在右上方作RtABC，可知點C在以AB為直徑的D上運動，根據(jù)點C坐標(biāo)為（x，

9、y），可構(gòu)造新的函數(shù)x+y=m，則函數(shù)與y軸交點最高處即為x+y的最大值，此時，直線y=x+m與D相切，再根據(jù)圓心點D的坐標(biāo)，可得C的坐標(biāo)為（3+，1+），代入直線y=x+m，可得m=4+2，即可得出x+y的最大值為4+2詳解：（1）6；（2）由題可得，點C在以AB為直徑的D上運動，點C坐標(biāo)為（x，y），可構(gòu)造新的函數(shù)x+y=m，則函數(shù)與y軸交點最高處即為x+y的最大值，此時，直線y=x+m與D相切，交x軸與E，如圖所示，連接OD，CDA（6，0）、B（0，2），D（3，1），OD=，CD=根據(jù)CDEF可得，C、D之間水平方向的距離為，鉛垂方向的距離為，C（3+，1+），代入直線y=x+m，可

10、得：1+=（3+）+m，解得：m=4+2，x+y的最大值為4+2故答案為：4+2 點睛：本題主要考查了切線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造一次函數(shù)圖象，根據(jù)圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑進行求解6問題發(fā)現(xiàn)(1)如圖，RtABC中，C90°，AC3，BC4，點D是AB邊上任意一點，則CD的最小值為_(2)如圖，矩形ABCD中，AB3，BC4，點M、點N分別在BD、BC上，求CM+MN的最小值(3)如圖，矩形ABCD中，AB3，BC4，點E是AB邊上一點，且AE2，點F是BC邊上的任意一點，把BEF沿EF翻折，點B的對應(yīng)點為G，連接

11、AG、CG，四邊形AGCD的面積是否存在最小值，若存在，求這個最小值及此時BF的長度若不存在，請說明理由【答案】(1) ;(2) 的最小值為.(3) 【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩種不同方法求面積公式求解；（2）作關(guān)于的對稱點，過作的垂線，垂足為，求的長即可;(3) 連接，則，則點的軌跡為以為圓心，為半徑的一段弧過作的垂線，與交于點，垂足為，由求得GM的值，再由 求解即可.試題解析：（）從到距離最小即為過作的垂線，垂足為，（）作關(guān)于的對稱點，過作的垂線，垂足為，且與交于，則的最小值為的長，設(shè)與交于，則，且，即的最小值為（）連接，則， ，點的軌跡為以為圓心，為半徑的一段弧過作的垂線，與交于點，垂

12、足為， ，【點睛】本題考查圓的綜合題、最短問題、勾股定理、面積法、兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是利用軸對稱解決最值問題，靈活運用兩點之間線段最短解決問題7在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（2，0），點B（0，23），點O（0，0）AOB繞著O順時針旋轉(zhuǎn)，得A'OB'，點A、B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為A'，B'，記旋轉(zhuǎn)角為（）如圖1，A'B'恰好經(jīng)過點A時，求此時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，并求出點B'的坐標(biāo)；（）如圖2，若0°90°，設(shè)直線AA'和直線BB'交于點P，求證：AA'BB'；（）若0°

13、360°，求（）中的點P縱坐標(biāo)的最小值（直接寫出結(jié)果即可）【答案】（）60°，B'（3，3）；（）見解析；（）點P縱坐標(biāo)的最小值為32【解析】【分析】（）作輔助線,先根據(jù)點A（2,0）,點B（0,23）,確定ABO30°,證明AOA'是等邊三角形,得旋轉(zhuǎn)角60°,證明COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐標(biāo);（）依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BOB'AOA',OBOB',OAOA',即可得出OBB'OA'A12（180°）,再根據(jù)BOA'90°+

14、,四邊形OBPA'的內(nèi)角和為360°,即可得到BPA'90°,即AA'BB'（）作AB的中點M（1,3）,連接MP,依據(jù)點P的軌跡為以點M為圓心,以MP12AB2為半徑的圓,即可得到當(dāng)PMy軸時,點P縱坐標(biāo)的最小值為32.【詳解】解：（）如圖1，過B'作B'Cx軸于C,OA2,OB23,AOB90°,ABO30°,BAO60°,由旋轉(zhuǎn)得：OAOA',A'BAO60°,OAA'是等邊三角形,AOA'60°,OBOB'23,COB'9

15、0°60°30°,B'C12OB3,OC3,B'（3,3）,（）證明：如圖2,BOB'AOA',OBOB',OAOA',OBB'OA'A12（180°）,BOA'90°+,四邊形OBPA'的內(nèi)角和為360°,BPA'360°（180°）（90°+）90°,即AA'BB'（）點P縱坐標(biāo)的最小值為3-2理由是：如圖，作AB的中點M（1,3）,連接MP,APB90°,點P的軌跡為以點M為圓

16、心,以MP12AB2為半徑的圓,除去點（2,23）,當(dāng)PMx軸時,點P縱坐標(biāo)的最小值為32【點睛】本題屬于幾何變換綜合題,主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),含30°角的直角三角形的性質(zhì),四邊形內(nèi)角和以及圓周角定理的綜合運用,解決問題的關(guān)鍵是判斷點P的軌跡為以點M為圓心,以MP為半徑的圓8已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC點E為CD邊上一點，AE與BE分別為DAB和CBA的平分線（1）請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件 ，使得四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）作線段AB的垂直平分線交AB于點O，并以AB為直徑作O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（3）在（2）的條件下，O交邊A

17、D于點F，連接BF，交AE于點G，若AE=4，sinAGF=，求O的半徑【答案】（1）當(dāng)AD=BC時，四邊形ABCD是平行四邊形，理由見解析；（2）作出相應(yīng)的圖形見解析；（3）圓O的半徑為2.5【解析】分析：（1）添加條件AD=BC，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形驗證即可；（2）作出相應(yīng)的圖形，如圖所示；（3）由平行四邊形的對邊平行得到AD與BC平行，可得同旁內(nèi)角互補，再由AE與BE為角平分線，可得出AE與BE垂直，利用直徑所對的圓周角為直角，得到AF與FB垂直，可得出兩銳角互余，根據(jù)角平分線性質(zhì)及等量代換得到AGF=AEB，根據(jù)sinAGF的值，確定出sinAEB的值，求出AB的

18、長，即可確定出圓的半徑詳解：（1）當(dāng)AD=BC時，四邊形ABCD是平行四邊形，理由為：證明：ADBC，AD=BC，四邊形ABCD為平行四邊形；故答案為：AD=BC；（2）作出相應(yīng)的圖形，如圖所示；（3）ADBC，DAB+CBA=180°，AE與BE分別為DAB與CBA的平分線，EAB+EBA=90°，AEB=90°，AB為圓O的直徑，點F在圓O上，AFB=90°，F(xiàn)AG+FGA=90°，AE平分DAB，F(xiàn)AG=EAB，AGF=ABE，sinABE=sinAGF=，AE=4，AB=5，則圓O的半徑為2.5點睛：此題屬于圓綜合題，涉及的知識有：圓周

19、角定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握各自的性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵9在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P和圖形W，如果以P為端點的任意一條射線與圖形W最多只有一個公共點，那么稱點P獨立于圖形W（1）如圖1，已知點A（-2，0），以原點O為圓心，OA長為半徑畫弧交x軸正半軸于點 B在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）這四個點中，獨立于的點是 ；（2）如圖2，已知點C（-3，0），D（0，3），E（3，0），點P是直線l：y=2x+8上的一個動點若點P獨立于折線CD-DE，求點P的橫坐標(biāo)xp的取值范圍；（3）如圖3，H是

20、以點H（0，4）為圓心，半徑為1的圓點T（0，t）在y軸上且t-3，以點T為中心的正方形KLMN的頂點K的坐標(biāo)為（0，t+3），將正方形KLMN在x軸及x軸上方的部分記為圖形W若H上的所有點都獨立于圖形W，直接寫出t的取值范圍【答案】（1）P2，P3；（2）xP-5或xP-（3）-3t1-或1+t7-【解析】【分析】（1）根據(jù)點P獨立于圖形W的定義即可判斷；（2）求出直線DE，直線CD與直線y=2x+8的交點坐標(biāo)即可判斷；（3）求出三種特殊位置時t的值，結(jié)合圖象即可解決問題.【詳解】（1）由題意可知：在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）這四個點中，獨立于的點是P2

21、，P3（2）C（-3，0），D（0，3），E（3，0），直線CD的解析式為y=x+3，直線DE的解析式為y=-x+3，由，解得，可得直線l與直線CD的交點的橫坐標(biāo)為-5，由，解得，可得直線l與直線DE的交點的橫坐標(biāo)為-，滿足條件的點P的橫坐標(biāo)xp的取值范圍為：xP-5或xP-（3）如圖3-1中，當(dāng)直線KN與H相切于點E時，連接EH，則EH=EK=1，HK=，OT=KT+HK-OH=3+-4=-1，T（0，1-），此時t=1-，當(dāng)-3t1-時，H上的所有點都獨立于圖形W如圖3-2中，當(dāng)線段KN與H相切于點E時，連接EHOT=OH+KH-KT=4+-3=1+，T（0，1+），此時t=1+，如圖3-

22、3中，當(dāng)線段MN與H相切于點E時，連接EHOT=OM+TM=4-+3=7-，T（0，7-），此時t=7-，當(dāng)1+t7-時，H上的所有點都獨立于圖形W綜上所述，滿足條件的t的值為-3t1-或1+t7-【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，點P獨立于圖形W的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用特殊位置解決實際問題.10如圖，已知ABC內(nèi)接于O，BC交直徑AD于點E，過點C作AD的垂線交AB的延長線于點G，垂足為F連接OC（1）若G=48°，求ACB的度數(shù)；（2）若AB=AE，求證：BAD=COF；（3）在（2）的條件下，連接OB，設(shè)AOB的面積為S1，ACF的面積為S2若tanCA