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1、1-5多項式的因式分解定理引入課題初等數(shù)學(xué)中的因式分解,何為不能再分?多項式在有理數(shù)域、實數(shù)域、復(fù)數(shù)域上的因式分解 在不同的系數(shù)域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多項式（不等于零的常數(shù)）、多項式自身、前兩個的乘積Definition8：（不可約多項式）令的一個次數(shù)大于零的多項式，如果中只有平凡因式，就稱f(x)為數(shù)域P上（或在Px中）的不可約多項式.（p(x)在數(shù)域P上不能表示成兩個次數(shù)低的多項式的乘積） 若除平凡因式外，在Px中還有其它因式，f(x)就說是在數(shù)域P上（或在Px中）是可約的.如果，都小于的次數(shù).反之，若能寫成兩個這樣多項式的乘積，那么有非平凡因式；如果Px

2、的一個n次多項式能夠分解成Px中兩個次數(shù)都 小于n的多項式 即 那么在P上可約.由不可約多項式的定義可知：任何一次多項式都是不可約多項式的.不可約多項式的重要性質(zhì)：一個多項式是否不可約是依賴于系數(shù)域；1.如果多項式不可約，那么P中任意不為零的元素c與的乘積c都不可約.2.設(shè)是一個不可約多項式而P(x)是一個任意多項式，那么或者與P(x)互素，或者整除P(x).3.如果多項式與的乘積能被不可約多項式P(x)整除，那么至少有一個因式被P(x)整除.Theorem5.如果是一個不可約多項式,P(x)整除一些多項式的乘積,那么一定整除這些多項式之中的一個.證明:對被除多項式的個數(shù)s用數(shù)學(xué)歸納法當s=1

3、時,顯然成立;假設(shè)s=n-1 時,結(jié)論成立;當s=n時,令,如果命題成立,如果,從而,即 n-1 多項式的乘積,由歸納法假設(shè)整除其中一個多項式,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理,命題得證.證明因式分解定理因式分解及唯一性定理：多項式環(huán)Px的每一個次多項式都可以唯一分解成Px的不可約多項式的乘積； 所謂唯一性是說，如果有兩個分解式那么，必有s=t ，并且適當?shù)嘏帕幸蚴降捻樞蚝笥袠藴史纸馐剑ǖ湫头纸馐剑浩渲衏是f(x)的首項系數(shù)，是不同的、首項系數(shù)為1的不可約多項式，而正整數(shù).例1：在有理數(shù)域上分解多項式， .例2：求 .例3.求 分解式. 例4：分別在有理數(shù)域、實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上分解多項式 突出不同數(shù)域上不同多項式的因式

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