初二數(shù)學特殊四邊形中的動點問題教師版

1、特殊 四邊形中 的動問題及解題方法1、如圖，在直角梯形 ABC前，AD/ BC, /B=90° , AD=24cmAB=8cm BC=26cm動點P從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動；動點Q從點C開始沿CB邊向B以3cm/s的速度運動.P、Q分別從點A C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為ts .(1)當t為何值時，四邊形PQCCfe平行四邊形？(2)當t為何值時，四邊形 PQCCfe等腰梯形？(3)當t為何值時，四邊形PQCCfe直角梯形？分析：(1)四邊形PQC的平行四邊形時PD=CQ(2)四邊形PQC的等腰梯形時QC-PD=2CE(3)

2、四邊形PQC的直角梯形時QC-PD=EC所有的關(guān)系式都可用含有t的方程來表示，即此題只要解三個方程即可.解答：解：(1) :四邊形PQCDP行為四邊形PD=CQ24-t=3t解得：t=6 即當t=6時，四邊形PQCDF行為四邊形.(2)過 D作 DE! BC于 E則四邊形ABEM矩形，BE=AD=24cm，EC=BC-BE=2cm四邊形PQC的等腰梯形，QC-PD=2CE即 3t- (24-t ) =4解得：t=7 (s)即當t=7 (s)時，四邊形PQC時等腰梯形.(3)由題意知：QC-PD=ECf,四邊形PQCDJ直角梯形即3t- (24-t) =2解得：t=6.5 (s)即當t=6.5

3、(s)時，四邊形PQC為直角梯形.點評：此題主要考查了平行四邊形、等腰梯形，直角梯形的判定，難易程度適中.2、如圖， ABC中，點。為AC邊上的一個動點，過點 O作直線MN/ BC,設(shè) M聯(lián)/ BCA的外角平分線 CF于點F,交/ ACB內(nèi)角平分線CE于E.( 1)試說明EO=FO；(2)當點。運動到何處時，四邊形 AEC晦矩形并證明你的結(jié)論；(3)若AC邊上存在點O,使四邊形AECF是正方形，猜想 ABC的形狀并證 明你的結(jié)論分析：(1)根據(jù)CE平分/ ACB MN BG找到相等白角，即/ OEC=ECB再根據(jù)等邊 對等角得OE=OC同理OC=OF可得EO=FO( 2)利用矩形的判定解答，即

4、有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形( 3)利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答解答：解：(1) ; CE平分/ ACR，/ ACE=! BCEV MIN/ BC, . / OEC= ECB / OECM OCE . OE=O C同理，OC=O，F(xiàn)OE=O F(2)當點O運動到AC中點處時，四邊形 AEC晦矩形.如圖 AO=CO， EO=FO，四邊形AECF為平行四邊形，V CE平分 / ACB1 ./ ACE= 3/ACB1同理，/ ACF= ：/ACG1 1，/ECF之 ACE吆 ACF= 2 （/ACB它 ACG = 2X180° =90° ,四邊形AECF是矩形.（3） A

5、BC是直角三角形 四邊形AECF是正方形，ACLEN,故/AOM=90, MIN/ BC, . / BCA=/ AOM ./BCA=90 ,.ABC是直角三角形.點評：本題主要考查利用平行線的性質(zhì)“等角對等邊”證明出結(jié)論（1）,再利用結(jié)論（1）和矩形的判定證明結(jié)論（2）,再對（3）進行判斷.解答時不僅要注意用到前一問 題的結(jié)論，更要注意前一問題為下一問題提供思路，有相似的思考方法.是矩形 的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運用.3、如圖，直角梯形 ABC前,AD/ BC, / ABC=90 ,已知 AD=AB=3 BC=4 動 點P從B點出發(fā)，沿線段BC向點C作勻速運動；動點 Q從點D出發(fā)，沿線 段

6、DA向點A作勻速運動.過Q點垂直于AD的射線交AC于點M,交BC于點 N. P、Q兩點同時出發(fā)，速度都為每秒 1個單位長度.當Q點運動到A點，P、Q兩點同時停止運動.設(shè)點 Q運動的時間為t秒.(1)求NG MC的長(用t的代數(shù)式表示)；(2)當t為何值時，四邊形PCDQ勾成平行四邊形；(3)是否存在某一時刻，使射線 QN恰好將 ABC的面積和周長同時平分?若存在，求出此時t 的值；若不存在，請說明理由；(4)探究：t為何值時， PM等腰三角形.分析：1) 依據(jù)題意易知四邊形ABN時矩形，NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DBQ口 AD已知,DQ就是 t,即解；V AB/ QN .CMN

7、bACAECM CA=CN CB, (2) CR CN已知，根據(jù)勾股定理可求 CA=5即可表示CM四邊形PCDQ勾成平行四邊形就是 PC=DQ列方程4-t=t即解；(3)可先根據(jù)QN平分 ABC的周長，得出MN+NC=AM+BN十AB匕來求出t的值.然 后根據(jù)得出的t的值，求出 MNC勺面積，即可判斷出 MNC勺面積是否為 ABC 面積的一半，由此可得出是否存在符合條件的 t 值( 4)由于等腰三角形的兩腰不確定，因此分三種情況進行討論：當MP=MCf,那么PC=2NC據(jù)此可求出t的值.當CM=C時，可根據(jù)CMff口 CP的表達式以及題設(shè)的等量關(guān)系來求出t的值.當MP=PCCt,在直角三角形

8、MN時，先用t表示出三邊的長，然后根據(jù)勾股定理即可得出 t 的值綜上所述可得出符合條件的 t 的值解答 :解：（1） V AQ=3-t. CN=4- (3-t ) =1+t在 RtMBC中,AC2=AB2+BC2=32+42，AC=5NG 45+5t在 RtMN計,cosZ NCM=MC= 5, CM=IT(2)由于四邊形PCDQ勾成平行四邊形. PC=QD 即 4-t=t解得t=2 .(3)如果射線QNB ABC的周長平分，則有:MN+NC=AM+BN+AB51即：M (1+t) +1+t= 2 (3+4+5)解得：t= 3 (5分)33而 MN=4NC= 4 (1+t)35X3(1+t)

9、2= 8 (1+t) 258當 t= Z時，SA MNC=(1+t) 2= 31-21-2X4X3.二不存在某一時刻t,使射線QN恰好將 ABC的面積和周長同時平分.(4)當 MP=MCJ (如圖1)貝好：NP=NC 即 PC=2NC- 4-t=2 (1+t)當CM=CPf (如圖2)則有：54 (1+t) =4-t11解得：t=:當PM=PC寸(如圖3)則有：在 RtMN沖，PM2=MN2+PN233而 MN=4NC= 4 (1+t)PN=NC-PC =1+t) - (4-t ) =2t-33耳(1+t) 2+ (2t-3 ) 2= (4-t ) 2103解得：t1= 57, t2=-1 (

10、舍去)23仁當用一 點111039，t= 57時，PM等腰三角形此題繁雜，難度中等，考查平行四邊形性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì).考查學生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.4、直線y=- 34x+6與坐標軸分別交于 A、B兩點，動點P、Q同時從。點出發(fā)，同 時到達A點，運動停止.點Q沿線段OA運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿 路線O?B?A運動.(1)直接寫出 A B兩點的坐標;（2）設(shè)點Q的運動時間為t （秒），OPQ勺面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān) 系式；（ 3）當 S= 485 時，求出點 P 的坐標，并直接寫出以點O、 P、 Q 為頂點的平行四邊形的第四個頂點 M的坐標.分析：（1）分別令

11、y=0, x=0,即可求出 A B的坐標；（2）因為OA=8 OB=6利用勾股定理可得 AB=1Q進而可求出點 Q由。到A的時間是 8 秒，點 P 的速度是2，從而可求出，當P在線段 OB上運動（或0&t03）時，OQ=t, OP=2t, S=t2,當P在線段BA上 運動（或 3<t<8）時，OQ=t AP=6+10-2t=16-2t ,作 PD）±OA于點 D,由相似三 角形的性質(zhì)，得PD=48-6t5 ,利用S= 120cx PR即可求出答案；（3）令S= 485,求出t的值，進而求出 OD PD,即可求出P的坐標，利用平行四邊形的對邊平行且相等，結(jié)合簡單的計

12、算即可寫出M的坐標.解答：解：（1） y=0, x=0,求得 A （8, 0） B （0, 6）,（2） v 0A=8 0B=6 AB=10.點Q由。到A的時間是81=8 （秒），點P的速度是6+108=2 （單位長度/秒）.當P在線段0B上運動（或 0ct<3）時，OQ=t， OP=2t， S=t2 當P在線段BA上運動（或3<t<8）時，如圖，做PD)± OA于點D,由 PDBO=APAB 得 PD= 48-6t5 .，S= 12OQ?PD=- 35t2+245t .(3)當 S= 485 時，: 485 >12X3X6,點 P 在 AB 上當 S= 48

13、5 時，-35t2+245t= 485，t=4PD= 48-6X45= 245, AD=16-2X4=8AD= 82-(245)2= 325OD=8- 325= 85P ( 85 , 245 )M1 ( 285 , 245 ), M2 (- 125 , 245 ) , M3 ( 125 , - 245 )點評：本題主要考查梯形的性質(zhì)及勾股定理.在解題(2)時，應(yīng)注意分情況進行討論,防止在解題過程中出現(xiàn)漏解現(xiàn)象.5.已知：如圖，在直角梯形 COAB中，OC / AB,以。為原點建立平面直角坐標系，A, B, C三點的坐標分別為 A(8,0) B(810), C(0,4),點D為線段BC的中點，動

14、點P從點O出發(fā)，以每秒1 個單位的速度，沿折線 OABD的路線移動，移動的時間為 t秒.(1)求直線BC的解析式；一一 _ _ 2(2)若動點P在線段OA上移動，當t為何值時，四邊形 OPDC的面積是梯形 COAB面積的-?7(3)動點P從點O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動過程中，設(shè) AOPD的面積為S,請直接寫出S 與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量 t的取值范圍；6.如圖，已知ZXABC (1)如果點P在線yrA點運動.若點Q的運動速他上中，ABBCHT3厘不的運動速度相等，經(jīng)過C 10厘米，:/秒的速度由BC 8厘米，點D為AB的中點.B點向C點運動，同時，點 Q在線段CA上由C點向1秒后，

15、4BPD與4CQP是否全等，請說明理由；若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q勺運動速度為多少時，能夠使4BPD與4CQP 全等？A明：不論E、F怎樣移動，三角形 BEF總是正三角形.3、在平行四邊形ABCD中,E為BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F.(1)求證：AB CF ;(2)當BC與AF滿足什么數(shù)量關(guān)系時,四邊形ABFC是矩形，并說明理由.4、如圖l 480,已知正方形 ABCM對角線AC BD相交于點 O, E霍.AC ±點/點A作AGJ± EB, 垂足為 G, AG交 BD于 F,則 OE=OFA_/(1)請證明 0E=OF/ :一C7 C(

16、2)解答(1)題后，某同學產(chǎn)生了如下猜測：對上述命蟹三若近一£E在,A。的延長線上，AGL EB, AG 交EB的延長線于G, AG的延長線交DB的延長線于點F,其他條件不變，一而仍有 OE=OF問：猜測所 得結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.5、如圖，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD 3, DC 5, AB4J2, Z B 45 .動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點 C運動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段 CD以每秒1個單位長度的速度向終點 D運動.設(shè)運動的時間為t秒.(1)求BC的長.(2)當MN / AB時，求t的值.(3)試探究:6.如圖所示,t為何值時， 4MNC為等腰三角形.有四個動點 P、Q E、F分別從正方形 ABCD勺四個貝位出發(fā)，沿著DAR BC CD DA以同樣的速度向B、C、D A各點移動。(1)試判斷四邊形 PQE亂正方形并證明。(2) PE是否總過某一定點，并說明理由。(3)四邊形PQEF的頂點位于何處時，其面積最小，最大？各是多少？7、已知：如圖， ABC是邊長3cm的等邊三角形，動點 P、Q同時從A、B兩點出線:，分另沿EB