歐拉方程求解線性非齊次高階方程的特解待定系數法

1、4.3 歐拉方程、非齊次高階線性方程特解的待定系數方法(How to Solve Euler equation, Use the method of undetermined coefficients to find particular solution to nonhomogeneous higher order Linear ODE)教學內容 1. 介紹歐拉方程及其解法. 2. 介紹非齊次線性方程特解的待定系數求法. 3. 介紹非齊次線性方程特解的常數變易法.教學重難點 重點是知道歐拉方程的特征方程，并能獲得原歐拉方程的基本解組；如何運用待定系數法或常數變易法求解非齊次線性方程的特解；

2、難點是如何由非齊次線性方程中的形式合適選擇特解的形式. 教學方法 預習1、2、3；講授1、2、3考核目標 1. 能寫出歐拉方程的特征方程的形式 2. 能由歐拉方程的特征方程的特征根寫出原微分方程基本解組; 3. 知道待定系數法求解非齊次線性方程的特解；4. 知道運用常數變易法求解非齊次線性方程的特解. 1. 認識歐拉方程.(1) 稱形如為歐拉等量綱方程（Eulers equi-dimensional equation），其中p和q都是常數. (2) 解法：令自變量替換將原方程化為常系數方程：； ；因此，原方程化為，這是一個常系數線性微分方程. 令代入方程得到，方程為（或），稱為歐拉方程的特征方

3、程. 由此得到新方程的基本解組為或，或. 返回原變量得到歐拉方程的基本解組為或，或. 1 / 7例52. 求解微分方程. 解：注意到這是一個歐拉等量綱方程，令，得到歐拉方程的特征方程為，解得. 于是為二重根. 于是得到歐拉方程的基本解組為，返回原變量為，因此原歐拉方程的通解為. 例53 Find the general solution of the following equation: (1) ;Solution (1) Let ，then the associated characteristic equation of Euler equation is . By solving th

4、e algebraic equation, we get . Then two dependent solutions to the new equation is , and fundamental solutions to Euler equation is . Therefore, the general solution is given by , are two independent variables. 作業(yè)47. Find the general solution of each of the following equation: (1) ; (2) ; (3) . 2. 非

5、齊次線性微分方程特解待定系數方法求解（undetermined coefficients method)（1） 非齊次線性微分方程通解結構：考察二階非齊次線性微分方程. 若為的基本解組且為原非齊次方程的一個特解，則原 非齊次線性方程的通解為其中. (一般地結論參見教材P127定理7)（2） 待定系數方法求解非齊次方程的特解例54. 求解二階非齊次方程(1) ; (2)的一個特解. 解：(1) 方程的特征方程為，得到. 猜想：原方程具有如下形式特解：（原因是經過兩次求導最高次數為0，一次求導后最高次數為1，方程兩邊比較得到C=0），代入方程得到，比較系數得到，得到。因此所求原方程的一個特解為.

6、(2) 由題意可設特解形式為，（原因是經過兩次求導是常數，不可能等于2t），代入原方程并比較t的系數得到，得到. 因此，所求特解為. 小結：考察，（1）若不是相應齊次方程特征方程的特征根，則可設特解形式為；(2)若是微分方程的特征方程的k重特征根，則可設特解形式為 . 作業(yè)48 求方程的通解. 例55. 求解二階非齊次方程(1) ; (2)的通解. 解：(1) 方程的特征方程為，特征根為. 令，則原方程可化為. 由上例分析知，新方程具有如下形式特解，于是原方程具有形式特解，代入原方程得到，得到. 所求特解為. 因此，原方程的通解為，. (2) 方程的特征方程為，特征根為. 令，則原方程可化為.

7、 由前面齊次線性方程知識和上例分析知，新方程的特征方程具有零特征根且重數為k=1，于是新方程具有如下形式特解，于是原方程具有形式特解，代入原方程得到，得到. 所求特解為. 作業(yè)49 求方程(1) ; (2) 的通解. 例55. 求解二階非齊次方程(1) ; (2) 的通解. 解：(1) 方程的特征方程為，得到二重根，于是相應的齊次方程的基本解組為. 改寫. 考察新方程，注意到不是相應齊次方程特征方程的特征根，因此，由上例可設新方程的形式特解為，于是，代入方程得到，于是，因此特解為. 注意到為方程的解，因此，所求方程的一個特解為. 因此，原方程的通解為，. (2) 方程的特征方程為，得到二重根，于是相應的齊次方程的基本解組為. 改寫. 考察新方程，注意到不是相應齊次方程特征方程的特征根，因此，由上例可設新方程的形式特解為，于是，代入方程得到，于是