橢圓內(nèi)接四邊形面積的計算

1、 橢圓內(nèi)接四邊形面積的計算及應(yīng)用 昭通市巧家縣第一中學(xué) 侯成順 云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 朱維宗(教授）摘要：本文通過類比圓錐曲線內(nèi)接焦點三角形面積的計算,利用代數(shù)方法來探討橢圓內(nèi)接四邊形面積的計算,主要討論了兩種橢圓內(nèi)接四邊形的面積計算,一種是橢圓內(nèi)接焦點四邊形,另外一種是橢圓內(nèi)接以焦點為頂點的四邊形.關(guān)鍵詞： 橢圓；焦點； 面積 1.橢圓內(nèi)接焦點四邊形（過一個焦點,以右焦點為例）1.1定義：在橢圓中,AB,CD為過橢圓一個焦點的兩條弦,故四邊形ACBD為橢圓內(nèi)接焦點四邊形.1.2性質(zhì)：(1)四邊形ACBD的面積（其中, ）.證明：如右圖所示,有,并且設(shè)AB,CD的斜率分別為,故有：AB: CD

2、：聯(lián)立方程：及 同理有：故 （為AB與CD的夾角）,令 就有： .（2）推論A: 當(dāng)時,.B:當(dāng)時,并且有,.推論證明A：當(dāng)時,說明AB, CD相互垂直,有,代入面積公式就有,再利用均值不等式有 .B : 當(dāng)時, 有,代入就有成立.以下證明,.證明：不妨把橢圓的方程化為(與不同是為零),已知有AB,CD與x軸的夾角相等,設(shè)A、B、C、D四個點的坐標(biāo)為,.直線AB、DC、AC、BD的斜率分別為,.又點A、C在曲線C上,（1）及（2）,用（2）帶入（1）有,同理可得.已知有AB,CD與x軸的夾角相等,（3）及（4）由這兩個式子得： （5） （6）由（5）及（6）得到：=0 （7） =0（8）同理有

3、： 將（8）代入有： （9）又 再將（8）代入得到： （10）用（9）-（10）得到：若=0 故有： 結(jié)合平行截割線定理有：AB與DC平行,并且都平行于x軸,它與AB,AC,DC,DB的斜率不為零矛盾, 說明直線AB,DC與x軸的夾角相等.同理可證明AD,BC與x軸的夾角也相等,有,.1.3實例應(yīng)用 已知橢圓的離心率為,過右焦點F的直線L與曲線相交于A、B兩點.當(dāng)L的斜率為1時,C(0,b)到AB的距離為,延長CF交橢圓于點B,求ACBD的面積.解：由于e= 并且 、F(c,0)故AB的方程為： 又C(0,b)所以C到AB 的距離為d= 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 又, 即AB與CD垂直,代入公式有

4、：=2橢圓內(nèi)接焦點四邊形（過兩個焦點）2.1定義：在橢圓中,AB,CD為過橢圓右左兩焦點的弦,并且交橢圓于四點A、B、C、D.則有四邊形ACBD為過橢圓兩個焦點的內(nèi)接焦點四邊形.2.2性質(zhì)(1)面積：四邊形面積 ,證明: 如右圖所示,有(-c,0),并且設(shè)AB,CD的斜率分別為,故有AB: CD： . 聯(lián)立方程：及 同理有： (為AB與CD的夾角),.（2）推論A: 當(dāng)時,.B: 當(dāng)時,并且有,.2.3實例應(yīng)用設(shè)橢圓的左右焦點分別為(-1,0),.右準(zhǔn)線交x軸于點A,.過,分別作兩條直線與橢圓相交于四個點D、E、M、N.并且DE與x軸的夾角為.MN與直線L交于點G,并且有.求：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

5、方程.(2)四邊形DMEN的面積.解：（1）由于(-1,0),.又有A,故有： 同理, 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(2)由于已知了DE與x軸的夾角為,故有,又, 所以有設(shè)AN與DE的夾角為, 代入公式有：3橢圓內(nèi)接以焦點為頂點的四邊形3.1定義在橢圓 中,為其左右焦點,A、B為橢圓上任意的兩點.則四邊形稱為雙曲線以焦點為頂點的內(nèi)接四邊形.3.2性質(zhì)（1）面積： 四邊形的面積為證明：由橢圓的定義可知道：（1）由余弦定理有： (2)由（1）與（2）同理有: （為與的夾角; 為BF1與BF2的夾角）.（2）推論：當(dāng)與互為補(bǔ)角時,有：.證明：當(dāng)與互為補(bǔ)角時,所以有： 將其代入面積公式中就有;,(當(dāng)時取到“=”).3.3實例應(yīng)用已知,為橢圓的兩個焦點,A、B為橢圓上任意的兩個焦點,并且與為補(bǔ)角,求：(1)當(dāng)時,求的值.(2)當(dāng)取得最小值時,與的度數(shù)分別為多少？此時面積的最小值為多少？解：（1）由已知a=8,b=5,又,并且與為補(bǔ)角,故有：所以有：(2)由推論可以知道: 參考資料：1董正洪圓錐曲線內(nèi)接四邊形面積的最值M數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三）,2009,(3).2陳宇對橢圓焦點弦四邊形面積最值探究J中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2009,(4).3邱繼勇圓錐曲線內(nèi)接四邊形的一個性質(zhì)J中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2005,(6).4王伯龍圓錐曲線中一類內(nèi)接四邊形性質(zhì)的探究J中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,201