極限經(jīng)典例題集

1、例題1在數(shù)列an中，a1=1，當(dāng)n2時，an，Sn，成等比數(shù)列。（1）求a2，a3，a4；（2）猜想an的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）求；（4）（思考題）不使用猜想an的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法直接求an。1.解析：an，Sn，成等比數(shù)列，（n2）（*）（1）把a1=1，S2=a1+a2=1+a2代入（*）式得： 把a1=1，代入（*）得：。 同理可得： 由此可以推出：（2）（i）當(dāng)n=1，2，3，4時，由（*）知猜想成立。 （ii）假設(shè)n=k（k2）時，成立。 故 或（舍去） 由得 即n=k+1時，命題也成立。 由（i）（ii）可知，對一切nN成立。（3）由（2）得數(shù)列前n項的和，

2、所有項和（4）對于an的通項還可以這樣來求： ， ，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列 故 ，注：對于含有an，Sn的關(guān)系式中，常將an用SnSn1（n2）代（或Sn+1Sn用an+1代），化成Sn，Sn+1（或an，an+1）的遞歸關(guān)系式。例1.數(shù)列an滿足下列條件，求其通項公式an。(1)a1=1， (2)a1=2， (3)a1=2，an的前n項和Sn滿足 解：(1) 將以上各式疊加，得 又n=1時， (2) 將以上各式疊乘，得 an=n(n+1)(n2)當(dāng)n=1時，1×(1+1)=2 = a1 an=n(n+1)(nN*)(3) 2Sn-1Sn=Sn-1-Sn(n2)在上式兩邊同除

3、以SnSn-1，得 數(shù)列 為首項，公差為2的等差數(shù)列。 例2、在等差數(shù)列an中(1)若ap=q，aq=p(p、qN*且qp)，求ap+q；(2)an共有n項，其前四項之和為124，其最后四項之和為156，其所有項之和為210，求項數(shù)n；(3)若an前n項和記為Sn，且有 ，求Sm+n的范圍解：(1)aq=ap+(q-p)d ap+q=ap+(q+p-p)d=q+q×(-1)=0(2)a1+a2+a3+a4=124an+an-1+an-2+an-3=156(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a4+an-3)=2804(a1+an)=280a1+an=70 n=6(

4、3)設(shè) 前n項和 將以上兩式相減得： 兩邊同除以m-n，得 例3、在數(shù)列an中，Sn是其前n項和，a1=1，Sn+1=4an+2(nN*)(1)設(shè)bn=an+1-2an，求證數(shù)列bn為等比數(shù)列并求其通項公式；(2)設(shè) ，求證數(shù)列Cn是等差數(shù)列并求其通項解：(1)Sn+1=4an+2Sn+2=4an+1+2將以上兩式相減，得an+2=4an+1-4anan+2-2an+1=2(an+1-2an) 又s2=4a1+2=a1 +a2 a2 =5數(shù)列bn是以b1=a2-2a1=5-2=3為首項，q=2為公比的等比數(shù)列。bn=3×2n-1(2) 數(shù)列Cn是以 為首項， 為公差的等差數(shù)列。 例4

5、、在等差數(shù)列an中，公差d0，a2是a1與a4的等比中項，已知數(shù)列 成等比數(shù)列，求數(shù)列kn的通項kn解：a2是a1與a4的等比中項 d0 a1=d 是等差數(shù)列中的第kn項，是等比數(shù)列中的第n+2項 且 =a1+(kn-1)d=d+(kn-1)d=knd 2.數(shù)列的極限應(yīng)用恒等變換和極限的四項運算法則，將數(shù)列的極限轉(zhuǎn)化為三個基本極限 來求解。3.數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法有兩個基本步驟：第一步，驗證n=n0時，命題成立；第二步，假設(shè)n=k時，命題成立，然后利用歸納假設(shè)證明n=k+1時成立。用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時特別要求證明的邏輯嚴(yán)密性。數(shù)學(xué)歸納法通常用來證明有關(guān)等式，不等式，整除，幾何命題等。例5.數(shù)

6、列an滿足 ，a1=2(1)求數(shù)列an的通項；(2)令 ，求出n(1，10000)內(nèi)使b1b2b3bn為整數(shù)的n的所有值的和。解：(1)由a1=2得： 由a2=3得： 由a3=4得： 猜測：an=n+1(nN*)下用數(shù)學(xué)歸納法證明該猜測1°當(dāng)n=1時，a1=1+1=2，命題成立2°假設(shè)n=k(kN*)時，命題成立，即有ak=k+1，則 =(k+1)+1即n=k+1時，命題也成立。綜合1°，2°知，an=n+1(nN*)(2) 將an=n+1代入得 =log2(n+2)欲使b1b2b3bn為整數(shù)，須使n+2為2的整數(shù)冪n(1,10000)n+2可是以22，

7、23，24，213所求和為(22-2)+(23-2)+(24-2)+(213-2)=22+23+24+213-24 =214-28=16356例6.無窮數(shù)列an的前n項和為bn，無窮數(shù)列bn的前n項和Cn，對nN*，恒有bn+cn=n，(1)證明：數(shù)列1-bn是等比數(shù)列；(2)求 (3)比較 的大小關(guān)系解：(1)首先b1+C1=1而C1=b1，得 由已知：bn+Cn=n，有bn+1+Cn+1=n+1將兩式相減，有bn+1-bn+bn+1=1 數(shù)列1-bn是以 的等比數(shù)列。(2)由(1)知： (3)n=1時， n2時， 綜上， 當(dāng)n=1或2時，顯然有 當(dāng)n3時， 這時 例7.設(shè) ，不論、為何實數(shù)

8、，恒有f(cos)0，f(2-sin)0，正數(shù)數(shù)列an的前n項和Sn=f(an)，nN*(1)求b值；(2)求an的通項公式；(3)令 ，cn的前n項和為Tn，比較Tn與 的大小。解：(1)當(dāng)cos=1時，有f(1)0當(dāng)sin=1時，有f(2-sin)=f(1)0f(1)=0 (2) 令n=1，有 解得a1=3或a1=-1(舍) 將以上兩式相減， an為正數(shù)數(shù)列，an，an-1>0，an+an-1>0an-an-1=2(n2)an是以a1=3為首項，公差為2的等差數(shù)列an=3+(n-1)×2=2n+1(3) Tn=C1+C2+Cn 課后練習(xí)1.數(shù)列an的通項公式是an=n

9、2-kn，若數(shù)列an是遞增的，則實數(shù)k的取值范圍是( )(A)k<3 (B)k3 (C)k<2 (D)k22.數(shù)列an的通項公式是 ，當(dāng)an取最大值時，n等于( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)73.數(shù)列an滿足a1=0， ，則a20等于( )(A)0 (B) (C) (D) 4.等比數(shù)列an中，an>0，a5a6=16，則log4a1+log4a2+log4a10=_5.在等比數(shù)列an中，a5，a9是方程7x2-18x+7=0的兩個根，則 6.數(shù)列an的前n項和Sn滿足an+2SnSn-1=0(n2)， (1)求證： 是等差數(shù)列；(2)求an；(3)若bn=2(1-n

10、)an(n2)，求證： 7.已知數(shù)列an的首項a1=5，前n項和為Sn，且Sn+1=2Sn+n+5(nN*)(1)證明數(shù)列an+1是等比數(shù)列；(2)令f(x)=a1x+a2x2+anxn，求函數(shù)f(x)在點x=1處的導(dǎo)數(shù)f(1)參考答案1.選Aan+1-an=(n+1)2-k(n+1)-(n2-kn)=2n+1-k>0(nN*)k<2n+1對任意nN*成立而2n+1最小值為3，k<32.選A an圖象可看作是函數(shù) 個單位，再上移 個單位而得到(an圖象是一些孤立點)畫草圖可知，a4最大3.選B 可知an的各項數(shù)值以3為周期重復(fù)出現(xiàn) 4. 5. 又a5，a7，a9符號相同，a7

11、=16.(1)由an+2SnSn-1=0 (n2)Sn-Sn-1+2SnSn-1=0 (n2) 為首項，公差為2的等差數(shù)列。(2) (3) 7.(1)Sn+1=2Sn+n+5Sn=2Sn-1+(n-1)+5(n2)Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1(n2)即an+1=2an+1(n2)an+1+1=2(an+1)(n2)an+1從第2項起，是公比為2的等比數(shù)列又a1=5，由Sn+1=2Sn+n+5令n=1有S2=2S1+6a1+a2=2a1+6a2=11 an+1是以a1+1=6為首項，公比為2的等比數(shù)列(2)f(x)=a1+2a2x+3a3x2+nanxn-1f(1)=a1+2a2+3a3+nan由(1)知an+1=6×2n-1an=6×2n-1-1 令Tn=6×20+2×6×21+3×6&