知識講解_余弦定理_基礎(chǔ)

1、余弦定理編稿：李霞審稿：張林娟【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握余弦定理的內(nèi)容及證明余弦定理的向量方法； 2.熟記余弦定理及其變形形式，會用余弦定理解決兩類基本解三角形問題； 3.通過三角函數(shù)，余弦定理，向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系，理解事件之間的聯(lián)系與辨證統(tǒng)一的關(guān)系. 【要點梳理】要點一：學(xué)過的三角形知識1.中（1）一般約定：中角A、B、C所對的邊分別為、；（2）；（3）大邊對大角，大角對大邊，即； 等邊對等角，等角對等邊，即；（4）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即，.2.中，（1），（2）（3），；，要點詮釋：初中討論的三角形的邊角關(guān)系是解三角形的基本依據(jù)要點二：余弦定理及其證明三角形任意一邊的

2、平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即：余弦定理的推導(dǎo)已知：中，及角，求角的對應(yīng)邊.證明：方法一：向量法（1）銳角中（如圖）， ，即： (*)同理可得：,要點詮釋：（1）推導(dǎo)（*）中，與的夾角應(yīng)通過平移后得到，即向量的起點應(yīng)重合，因此與的夾角應(yīng)為，而不是.（2）鈍角三角形情況與銳角三角形相同。（3）對于直角三角形中時，, ，也滿足余弦定理。方法二：解析幾何方法利用兩點間距離公式這里我們只討論銳角三角形的情形，對于直角三角形和鈍角三角形的情形的討論相同。如圖所示建立坐標(biāo)系.則點，由、兩點間的距離可知，即整理得到.余弦定理的變形公式：要點三：利用余弦定理解三角形1.利用余

3、弦定理可以解決下列兩類三角形的問題： 已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個角； 已知三角形的三條邊，求其三個角。要點詮釋：在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點，可以知三求一.2.解斜三角形的基本問題：已知條件解法解的情況一邊和兩角（例如a,B,C)1利用A+B+C=180°，求A2應(yīng)用正弦定理求b,c唯一解兩邊和夾角（例如a,b,C）1應(yīng)用余弦定理求邊c2應(yīng)用正弦定理求a,b中較短的邊所對的角（該角一定是銳角）3利用A+B+C=180°，求第三個角.唯一解三邊（例如a,b,c)法一:1、應(yīng)用余弦定理先求任意兩個角2用A+B+C=180°，

4、求第三個角法二:1、應(yīng)用余弦定理求a,b,c中最長邊所對的角2、應(yīng)用正弦定理求余下兩個角中的任意一個（該角一定是銳角）3、利用A+B+C=180°，求第三個角唯一解兩邊及其中一邊的對角（例如a,b,A)此類問題首先要討論解的情況1應(yīng)用正弦定理，求另一邊的對角（即角B）2、利用A+B+C=180°，求第三個角3、應(yīng)用正弦或余弦定理求第三邊兩解、一解或無解要點詮釋：對于求解三角形的題目，一般都可有兩種思路。但要注意方法的選擇，同時要注意對解的討論，從而舍掉不合理的解。比如下面例2兩種方法不同，因此從不同角度來對解進行討論。此外，有的時候還要對邊角關(guān)系（例如，大邊對大角）進行討論

5、從而舍掉不合理的解。要點三：利用正、余弦定理判斷三角形的形狀余弦定理、正弦定理與三角形中的三角變換結(jié)合在一起，運用三角函數(shù)的變換公式進行三角函數(shù)式的變形轉(zhuǎn)化，在三角形中，解決有關(guān)含有邊角關(guān)系的問題時，可以運用余弦定理完成邊角互化，通過變形轉(zhuǎn)化成三角形三邊之間的關(guān)系，判斷三角形的形狀.判斷三角形形狀有兩條思考路線：其一是化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三個角之間的關(guān)系式；其二是化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系式，兩種轉(zhuǎn)化主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理.【典型例題】類型一：余弦定理的簡單應(yīng)用例1已知中，、，求中的最大角?！舅悸伏c撥】首先依據(jù)大邊對大角確定要求的角，然后用余弦定理求解

6、.【解析】三邊中最大，其所對角最大，根據(jù)余弦定理：， ， 故中的最大角是.【總結(jié)升華】 1.中，若知道三邊的長度或三邊的關(guān)系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理時，要注意公式中的邊角位置關(guān)系.舉一反三：【變式1】已知中, , , 求角.【答案】根據(jù)余弦定理：， 【變式2】在中，角所對的三邊長分別為，若，求的各角的大小【答案】設(shè)，根據(jù)余弦定理得：，；同理可得；【高清課堂：余弦定理376695 題一】【變式3】在中，若，則角等于（ ）.A. B. C. D. 或【答案】， ， 類型二：利用余弦定理判斷三角形的形狀例2在ABC中， ，判斷這個三角形的形狀.【思路點撥】判斷一個三角形的形狀，

7、可由三個內(nèi)角的關(guān)系確定，亦可由三邊的關(guān)系確定.采用后一種方法解答本題，就必須“化角為邊”.【解析】應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得，所以,化簡得a2=b2+c2. 所以ABC是直角三角形.【總結(jié)升華】恒等變形是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功，變形的方向是關(guān)鍵. 若考慮三內(nèi)角的關(guān)系，本題可以從已知條件推出cosA=0.舉一反三：【變式1】在ABC中，若2cos Bsin Asin C，則ABC的形狀是_【答案】等腰三角形由題設(shè)和正、余弦定理得2×，化簡得a2b20，即ab.【高清課堂：余弦定理376695題六】【變式2】 三角形ABC中滿足下列條件 ；試判斷三角形的形狀。【答案】利用余弦定理得，化簡得，

8、所以三角形為等腰三角形類型三：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用例3在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值.【思路點撥】因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求A，需找A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理.由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值.【解析】a、b、c成等比數(shù)列，b2=ac.又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在ABC中，由余弦定理得cosA=，A=60°.解法一：在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60°，=sin60°=.解法二：在ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB.b2=ac，A=60°，bcsinA=b2sinB.=sinA=.【總結(jié)升華】解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理.舉一