一道物理問題的數(shù)學模型

1、一道物理問題的數(shù)學模型     【摘要】通過一道物理問題的數(shù)學模型及其推廣，加強學生數(shù)學應用意識的培養(yǎng)，體驗數(shù)學活動。 【關鍵詞】最小場強；拉格朗日極值法；數(shù)學模型 Together with the mathematical model of the physical problem Li Yuewei Kong Linling 【Abstract】Together with the problem through the physical and mathematical models to promote awareness among stude

2、nts of mathematics applications of training, experience mathematical activities. 【Key Words】 minimum field strength; Lagrange extremum method; mathematical model 對于數(shù)學，特別是對于數(shù)學的應用，微分所具有的重大意義主要是在于：很多的物理問題與技術問題的研究可化歸為這類問題的求解。 數(shù)學研究發(fā)展在某種意義上可說是對數(shù)學模式個體做抽象過程的研究。盡管數(shù)學本身不是模式，但作為教學科目的數(shù)學卻日益用模式去研究，教學過程可用圖1表示： 1 創(chuàng)設

3、物理情境，引入課題 在物理學的電場中存在這樣一類問題:帶電量分別為q1q2的兩個異號點電荷相距為l，如圖2所示，則兩個點電荷連線上的最小場強E為多少？ 這是物理學之電場中常見的問題，不妨首先考慮兩個點電荷連線上任意一點處的電場Ep，根據(jù)點電荷激發(fā)的電場公式的E=kqr2得： Ep=E1+E2=kq1x2+kq2(l-x)2,x(0,l)（1） 如何由此公式根據(jù)x的變化確定Ep的最小值？這個問題看似簡單，其實并不那么容易。當然，運用微分的方法是可以解決的，但能不能有更為巧妙的初等方法解決此問題。我們可運用初等數(shù)學、微分或線性規(guī)劃等方法解決此問題。 2 物理問題數(shù)學化二維形式數(shù)學模型： 用數(shù)學方法

4、解決物理問題，體驗數(shù)學活動的過程。物理情境轉化數(shù)學問題。將物理量之間的關系抽象成為數(shù)學模型旨在培養(yǎng)學生在物理情境下學會數(shù)學的提出問題，明確探究方向。 若a,bR+,x1,x2R+,且x1+x2-l（2）f(x1,x2)=a3x21+b3x22，（3）求函數(shù)f（x1，x2）的最小值。 即minf（x1，x2，l）=x1+x2-l=0。 解：(2)、(3)為約束條件，則拉格朗日函數(shù)為L(x1,x2,)=a3x21+b3x22+(x1+x2-l) 由Lx1=2a3x31+=0，Lx2=-2b3x31+=0得=2q3x31,=2b3x32, 從而得到關系式：即ax2=bx1,ax1=bx2即x1=ax

5、2b, 又由于L=x1+x2-l=0 所以有x1=ala+b，x2=bla+b,只有唯一駐點。 故此駐點ala+b,bla+b就是最小值點，此時f(x1,x2)min=(a+b)3l2=(a+b)3(x1+x2)2（4） 根據(jù)（4）不難求出（1）的最小值為Emin=k(3q1+3q2)3l2 其中等式成立的條件為3q1x=(3q2)l-x。 由此可得x=3q13q1+3q2l，特別的，當q1=q2時，x=12l 3 維形式的數(shù)學模型 希爾伯特說：“數(shù)學問題的寶藏是無窮無盡的，一個問題一旦解決，無數(shù)新的問題就會取而代之。”這就叫做“你知道的越多，不知道的也越多”。于是，客觀情況需要我們?nèi)ニ伎迹航?/p>

6、決前一個問題的方法是否也能用來解決后繼問題？只有那些抓住問題實質(zhì)的方法才能提供深刻推廣途徑。 便于推廣的方法常常具有兩個特征： 第一，由于抓住了問題的實質(zhì)而顯得特別簡單、明了。 第二，由于顯示了問題的一般性，盡管步驟上不是最簡的，但對題目中特殊條件的依賴是最少的，常常是非實質(zhì)的。 若aiR+,ni=ixi=l（5），fn(xi)=ni=ia3ix2i(n2)（6）。 試求fn(xi)的最小值。 解：由約束條件（5）、（6），構造拉格朗日函數(shù)為： L(x1,x2,xn,)=a31x21+a32x22+a3nx2n(x1,x2+xn-l) Lx1=-2a31x31+=0=2a31x31 Lx2=-

7、2a32x31+=0=2a32x32 M Lxn=-2a3nx3n+=0=2a3nx3n a1x1=a2x2=anxn（7） L=x1+x2+xn-=0 xi0（i=1，2n） 所以x1=a1la1+22+an，x2a2la1+a2+an， xn= anla1+a2+an 故唯一駐點a1la1+a2+an,a2la1+a2+a2, anla1+a2+an也是最小值點。此時fmin（xi）= （ni=1ai）3（ni=1）2（8） 特別是q1=q2=qn,x1=x2=xn=1n。用數(shù)學歸納法可以進行證明。 本題也可以用著名的權方和不等式來實現(xiàn)物理情境向數(shù)學問題的轉化: xm+11ym1+xm+1

8、2ym2+xm+12ymn（x1+x2+xn）m+1（y1+y2+yn）m 其中x2R+，yiR+,i=1,2, n,mR+，當且僅當x1y1=x2y2=xnyn時，等號成立。 4 返璞歸真數(shù)學問題的物理模型 在一條直線上固定n+1個點電荷，其中最左端的帶正電的點電荷帶電量為q，右端所有點電荷均帶負電，其帶電量的大小分別為的q1,q2,L,qn-1,qn，且這些點電荷相距正電荷的距離分別為a1,a2,L,an-1,an，如圖3所示，則在的兩個點電荷連線上存在的最小場強為多少? 這一問題可以作為抽象的數(shù)學問題（三）的具體物理模型之一。      設在q,q

9、1的兩個點電荷連線上與q相距x處的電場為E，直接根據(jù)點電荷激發(fā)的電場公式的E=kqr2得： E=kqx2+kq1(a1-x)2+kq2(a2-x)2+ kqn(an-x)2,x(0,ai),i=1,2, n（9） 式（9）可根據(jù)結論（7）求的最小值，但需要對（7）進行變形： 設ui(0,u)，使得ni=1ui=1，于是將（9）式變形為 E=kqx2+ni=1u2iqi(uiai-uix)2， 變形的目的旨在使得滿足上式能夠取得最小值時的條件以及上式分母能夠滿足： x+ni=1(uiai-uix)=x(1-ni+1ui)+ni=1uiai=ni=1uiai（與變量x無關） 則應用（8）可得 E=

10、kqx2+ni=1u2iqi(uiai-uix)2=(3q)2x2+ni=1(3u2iqi)3(uiai-uix)2 下的根據(jù)（7）等式成立的條件確定出（9）式成立的條件為： 3qx=3u2iq1u1a1-u1x=3u2iq2u2a2-u2x=3u2iqnunan-unx（10） 將此上式變形并設比值為得： 3qx=3q1u2a1-x=3q2u2a2-x=3qnu2an-x=（11） 由此可推得：x3q，ui=qi（ai-3a）3，i=1，2， n ni=1u1=1，ni=1qi(ai-3a)3=1（12） 方程（12）正是確定的特征方程，即是（12）的一個有效地解。故場強 E=qx2+ni=1qi(ai-x)2 的最小值Emin為： Emin=minqx2+ni=1qi(ai-x)2= 3q+ni=13u2