二次函數(shù)解題技巧

1、龍文教育學科教師輔導講義二次函數(shù)知識點總匯教學內(nèi)容2y ax h k的形式，得到頂點為(h,k),對稱軸是直線x h.(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與 拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失9拋物線y ax2bx c中，a,b,c的作用2(1)a決定開口方向及開口大小，這與y ax中的a完全一樣.2(2)b和a共同決定拋物線對稱軸的位置 .由于拋物線y ax bx c的對稱軸是直線x，故：b 0時，對稱軸為y軸；一0(即a、b同號)時，對稱軸在y軸左側(cè)；一0(即a

2、、b2aaa異號)時，對稱軸在y軸右側(cè).(1) 一般式：2y axbx c.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.(2)頂點式：y ax h2k.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.(3)交點式： 已知圖像與x軸的交點坐標x2，通常選用交點式：y a x x1x x2.3 求拋物線的頂點、對稱軸的方法21)公式法：y axbx c a x2b2a4ac b24ab 4ac b2頂點是(,),2a 4a對稱軸是直線xb2a教學目標介紹一些些能加快速度的計算公式(2)配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為2(3)c的大小決定拋物線y axbx c與y軸交點的位置當x 0時，y

3、c，二拋物線yax2bx c與y軸有且只有一個交點0，c)：c 0，拋物線經(jīng)過原點；c0,與y軸交于正半軸；c 0,與y軸交于負半軸以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式如拋物線的對稱軸在by軸右側(cè)，則 一a0.12.直線與拋物線的交點2(1)y軸與拋物線y ax bxc得交點為(o,c).(2)與y軸平行的直線x h與拋物線y ax2bx c有且只有一個交點(h,ah2bh C).(3)拋物線與x軸的交點二次函數(shù)y ax2bx c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應一元二次方程ax2bx c 0的兩個實數(shù) 根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的

4、一元二次方程的根的判別式判定：1有兩個交點0拋物線與x軸相交；2有一個交點(頂點在x軸上)0拋物線與x軸相切；3沒有交點0拋物線與x軸相離.(4) 平行于x軸的直線與拋物線的交點同(3)一樣可能有 0 個交點、1 個交點、2 個交點.當有 2 個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k，則橫坐標是ax2bx c k的兩個實數(shù)根.2(5)一次函數(shù)y kx nk 0的圖像I與二次函數(shù)y ax bx c a 0的圖像G的交點，由方程組y kx n2的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時I與G有兩個交點：方程組只有一組解時I與Gy ax bx c只有一個交點；方程組無解時I與G沒有交點.(6)拋物線

5、與x軸兩交點之間的距離：若拋物線y ax bx c與x軸兩交點為A x1,0，Bx2,0，由于x1x2是方程6、點到坐標軸及原點的距離點 P(x,y)到坐標軸及原點的距離:5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義考點三、二次函數(shù)的最值2axbx c 0的兩個根,x-ix2b,x1ax2aABXix22x1x2x224x1x24c(1)點 P(x,y)到 x 軸的距離等(2)點 P(x,y)到 y 軸的距離等于(3)點P(x,y 倒原點的距離等于x2y2如下圖，過反比例函數(shù)s=PM?PN=|y|?|x| |xy|。ky (kxk yx0)圖像上任一點P 作 x 軸、xy k, S koy 軸的垂線P

6、M，PN，則所得的矩形PMON 的面積K如果自變量的取值范圍是x1xx2，那么，首先要看 是否在自變量取值范圍ab4 ac b2x= 時，y最值 -2a如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值)，即當xb4ac b22a時，y最值4aX1x X2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當4a2、函數(shù)平移規(guī)律（中考試題中，只占3 分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時間）4、直線方程：一般兩點斜截距一般直線方程ax+by+c=O2，兩點由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩點式5，截距 由直線在 x 軸和 y 軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式

7、：1a b記牢可大幅提高運算速度5、設兩條直線分別為，li:y kix biI2:y k?x b?a2b23、直線斜率:k tany2yiX2Xib 為直線在 y 軸上的截距yyiy2x2yixi-(xxi)3,點斜知道一點與斜率y yik(xXi)4，斜截斜截式方程，簡稱斜截式：y= kx+ b（k 工 0）-最最常用，記牢1，一般若li/ 12，則有Iil2ki若likik26、點 P（xo，yo）到直線 y=kx+b（即:kx-y+b=0) 的距離：dkxoyob2-k2( i)2|kx。y。b k2i對于點 P （X。，y）到直線滴一般式方程ax+by+c=0 滴距離有2、 如圖，已知

8、二次函數(shù)y ax24xc的圖象與坐標軸交于點A （-i，0）和點B （0, -5）.（i）求該二次函數(shù)的解析式;（2 ）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點P,使得 ABP 的周長最小.請求出點 P 的坐標.yAB3IdliliIIIIilllIIIIIi|iIIIIII解：(1)根據(jù)題意，得20 a ( 1)24a 0241) C,2 分c.1,5.二次函數(shù)的表達式為2x24x 5.4分(2 )令 y=0,得二次函數(shù)x24x5的圖象與 x 軸的另一個交點坐標 C (5, 0) .由于 P 是對稱軸X 2上一點,連結(jié) AB,由于AB、OA2OB2. 26要使 ABP 的周長最小，只要由于點 A 與

9、點 C 關(guān)于對稱軸x的最小值為 BC因而 BC 與對稱軸x 2的交點 P 就是所求的點.PA PB最小.6 分2對稱，連結(jié) BC 交對稱軸于點 P,則PA PB= BF+PC=BC，根據(jù)兩點之間，線段最短，可得PA PB設直線 BC 的解析式為ykx b，根據(jù)題意，可得b 5,解得k0 5k b. b所以直線 BC 的解析式為1,5.9 分因此直線 BC 與對稱軸X2的交點坐標是方程組所求的點 P 的坐標為(2, -3).壓軸題中求最值此種題多分類討論，求岀函數(shù)關(guān)系式，再求各種情況的最值,典型例題：x 2,的解，解得y x 510 分最后求出最值。2,3.1 女口圖，在梯形 ABCD 中，AD

10、/F 點移動速度是 E 點移動速度的( EFG 的邊長是_(用含有BC,/B=90 ,BC=6,AD=3,ZDCB- 302 倍，以 EF 為一邊在x 的代數(shù)式表示)，當CB 的上方作等邊 EFGx= 2 時，點 G 的位置在E、F 同時從 B 點出發(fā)，沿射線 BC 向右勻速移動.已知 設E 點移動距離為 x (x 0).占八、 、若 EFG與梯形 ABCD 重疊部分面積是 y,求1當 0vx2 時，y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；2當 2 x6 時，y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；探求中得到的函數(shù) y 在 x 取含何值時，存在最大值，并求出最大值ETFT15444解：x, D 點 當 0vx2

11、時， EFG 在梯形 ABCD 內(nèi)部，所以 y= _3x2；4分兩種情況：I.當 2vxv3 時，如圖 1,點 E、點 F 在線段 BC 上,EFG與梯形 ABCD 重疊部分為四邊形 EFNM,VZFNC=ZFCN= 30，二 FN=FC=6-2x.GN=3x-6. 由于在 RtANMG 中，/ G= 60,所以，此時 y= 3x2-、3(3x- 6)2=7 3x29 3X9 34 88 2 2 n.當 3x6 時，如圖 2,點 E 在線段 BC 上，點F 在射線 CH 上,EFG 與梯形 ABCD 重疊部分為 ECP/ EC= 6-x,3.y= (6 x)28圖 1323、3xx8 2當 0

12、vx0 時,43 ;73.x= 2 時,y最大當 2vxv3 時，丁 y=38v32當 3x6 時，丁 y= x8.x= 3 日寸,y最大=9818時，7綜上所述：當 x=y最大如圖，直線y點 E 從點932y 隨 x 增大而增大,C56分別與 x 軸、y 軸交于 A、B 兩點；直線y x與 AB 交于點 C,與過點 A 且平行于 y 軸的直線交于點 D.4A 出發(fā)，以每秒 1 個單位的速度沿 x 軸向左運動過點 E 作 x 軸的垂線，分別交直線 AB、OD 于 P、Q 兩點，以 PQ 為邊向3_x4（1）（2）右作正方形 PQMN 設正方形 PQMN 與厶 ACD 重疊部分（陰影部分）的面積為求點 C 的坐標.當(3)0t0 時，直接寫出點（4, 一）在正方形 PQMN 內(nèi)部時 t 的取值范圍.2【參考公式： 二次函數(shù)y=ax2+bx+c 圖象的頂點坐標為（2b 4ac b).】2a4a解：（i）由題意，得-C (3,15).3x45x.6, x解得3,154445(4)(2 )根據(jù)題意，得 AE=t, 0E=8-t.53.點 Q 的縱坐標為(8-t)，點 P 的縱坐標為t，44P