二次函數(shù)應(yīng)用(拱橋問題)

1、二次函數(shù)綜合應(yīng)用題（拱橋問題）適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中三年級(jí)適用區(qū)域全國(guó)課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）6060知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1 1 掌握二次函數(shù)解析式求法。2 2 學(xué)會(huì)用二次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題，掌握數(shù)學(xué)建模的思想，進(jìn)一步熟悉， 點(diǎn)坐標(biāo)和線段之間的轉(zhuǎn)化。3 3 進(jìn)一步體驗(yàn)應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活， 又服務(wù)于生活，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)1 1 從實(shí)際冋題中抽象出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并能理解坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)和線段之間關(guān)系；2.2.根據(jù)情景建立合適的直角坐標(biāo)系，并將有關(guān)線段轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)教學(xué)難點(diǎn)如何根據(jù)情景建立合適的直角坐標(biāo)系，并判斷

2、直角坐標(biāo)系建立的優(yōu)劣。教學(xué)過程一、 復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)平時(shí)的時(shí)候我們能夠看到小船可以從橋的下面通過，但是當(dāng)夏天雨季到來，水平面上升, 這時(shí)小船還能從橋的下面通過嗎對(duì)于這樣的問題我們可以利用我們所學(xué)的二次函數(shù)來解決。 這節(jié)我們就看二次函數(shù)解決拱橋問題。二、知識(shí)講解考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1：二次函數(shù)解析式的形式1 1、一般式：y=axy=ax2+bx+c+bx+c (a a豐豐0 0)2 2、頂點(diǎn)式：y=a(x-h)y=a(x-h)2+k+k (a a* 0 0)頂點(diǎn)坐標(biāo)( h h，k k)直線 x=hx=h 為對(duì)稱軸， k k 為頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，也是二次函數(shù)的最值3 3、雙根式：y=a(x-y=a(x-Xi)(x

3、-)(x-X2) ) (0 0)( (xX2是拋物線與 x x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)) )考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2：建立平面直角坐標(biāo)系1 1、在給定的直角坐標(biāo)系 , ,中會(huì)根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置2 2、能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系 , ,描述物體的位置。并不是什么時(shí)候都能用雙根式，當(dāng)拋物線與x x 軸有交點(diǎn)時(shí)才行4 4、頂點(diǎn)在原點(diǎn)：y2ax ( a0)5 5、過原點(diǎn)：y2axbx(a0)6 6、頂點(diǎn)在 y y 軸：y2axc(a0)二、例題精析【例題1】【題干】 有一座拋物線形拱橋，正常水位時(shí)，橋下水面寬度為20m20m,拱頂距離水面 4m4m .(1) 在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的表達(dá)式；(2)在正常水

4、位的基礎(chǔ)上，當(dāng)水位上升 h h (m m)時(shí)，橋下水面的寬度為 d d (m m),求出將 d d 表示為 h h 的函數(shù)表達(dá)式；(3)設(shè)正常水位時(shí)橋下的水深為2m2m,為保證過往船只順利航行，【答案】(1 1)設(shè)拋物線的解析式為且過點(diǎn)(1010, 4 4)橋下水面寬度不得小于 18m18m，求水深超過多少米時(shí)就會(huì)影響過往船只在橋下的順利航行.2【答案】解：以 ABAB 所在的直線為 x x 軸,AB,AB 中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的頂點(diǎn) E E 在 y y 軸上，且 B B、D D 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（5 5, 設(shè)拋物線為 y=ax2+k.y=ax2+k.由 B B、D D 兩點(diǎn)在

5、拋物線上，有解這個(gè)方程組，得2 ,50d = -rfC =-99所以，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0 0,50 50500則 OE=OE=- = = 1 1(h h)0762.當(dāng)水深超過時(shí)會(huì)影響過往船只在橋下順利航行?！窘馕觥宽旤c(diǎn)式：y=ay=a （x-hx-h）2+k+k（a a,h h,k k 是常數(shù)，0 0）,其中（h h,k k）為頂點(diǎn)坐標(biāo).【例題2】【題干】如圖，有一座拋物線形的拱橋，橋下面處在目前的水位時(shí)，水面寬AB=10mAB=10m,如果水位上升 2m2m,就將達(dá)到警戒線 CD,CD,這時(shí)水面的寬為 8m.8m.若洪水到來，水位以每小時(shí)速度上升，經(jīng)過多少小時(shí)會(huì)達(dá)到拱頂4 ax10,a1251

6、2y x故25(2)設(shè)水位上升h h m m 時(shí),d，h 4水面與拋物線(3)4X25當(dāng) d d= 1818 時(shí),d218d 10、4 h10.4 h,h 0.7627650所以，若洪水到來，水位以每小時(shí)速度上升，經(jīng)過-小時(shí)會(huì)達(dá)到拱頂【解析】 以 ABAB 所在的直線為 x x 軸,AB,AB 中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，求出解析式【例題3】【題干】如圖是拋物線拱橋，已知水位在 ABAB 位置時(shí)，水面寬，水位上升 3m3m，達(dá)到警戒 線 CD,CD,這時(shí)水面寬若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)的速度上升，求水過警戒線后幾小時(shí)淹 到拱橋頂1y y=二一 X X2+ 6 6 E E (0,(0, 6)6)

7、即 OEOE= 6 64EFEF= O OE E OFOF= 3 3t t = = = 1212 ( (小時(shí))0.25【解析】建立直角坐標(biāo)系，求出解析式【答案】解：根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為:又知 B B (2(2, 0)0), D D (2(2, 3)3)a (2.6)2a (2.3)20解得:y y= axax2+ h h答：水過警戒線后1212 小時(shí)淹到拱橋頂.四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1 1 心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力 y y 與提出概念所用的時(shí)間 數(shù)關(guān)系：丫=二_+ 4343 (O(Ow x xw 30)30). y y 值越大，表示接受能力越強(qiáng).(1) x x 在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的

8、接受能力逐步增加 x x 在什么范圍內(nèi)，(2) 第 1010 分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力是多少(3) 第幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)【鞏固】如果水位上升 3m3m 時(shí)，水面 CDCD 的寬是 10m10m.x ( (單位：分) )之間滿足函學(xué)生的接受能力逐步降彳1 1、有一座拋物線形拱橋，拋物線可用y=y=表示.在正常水位時(shí)水面 ABAB 的寬為 20m20m,25（1 1）在正常水位時(shí)，有一艘寬8m8m、高的小船，它能通過這座橋嗎（2 2）現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發(fā)需經(jīng)過此橋開往乙地，已知甲地距此橋280km280km（橋長(zhǎng)忽略不計(jì)）.貨車正以每小時(shí) 40km40km 的速度開往乙地，

9、當(dāng)行駛 1 1 小時(shí)時(shí)，忽然接 到緊急通過：前方連降暴雨，造成水位以每小時(shí)的速度持續(xù)上漲（貨車接到通知時(shí)水位在CDCD處，當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn) O O 時(shí)，禁止車輛通行）試問: :如果貨車按原來的速度行駛，能否 安全通過此橋若能，請(qǐng)說明理由.若不能，要使貨車安全通過此橋，速度應(yīng)超過每小時(shí)多少千米【拔高】1 1、一個(gè)涵洞成拋物線形，它的截面如圖 （3 3）所示，現(xiàn)測(cè)得，當(dāng)水面寬ABAB=時(shí)，涵洞頂點(diǎn)與水面的距離為。這時(shí)，離開水面處，涵洞寬EDED 是多少是否會(huì)超過 1m1mK3)五、課程小結(jié)（1 1）用函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)問題，從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題；（2 2）根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，建立數(shù)學(xué)模

10、型，解決實(shí)際問題；（3 3）找到兩個(gè)變量之間的關(guān)系；掌握數(shù)形結(jié)合思想；（4 4）從拱橋問題中體會(huì)到函數(shù)模型對(duì)解決實(shí)際問題的價(jià)值感受數(shù)學(xué)在生活實(shí)際中使用L0六、課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1 1、如圖，拋物線 y=xy=x2+bx+c+bx+c 經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，并與 x x 軸交于點(diǎn) A A (2 2, 0 0).求此拋物線的解析式?！眷柟獭? 1、如圖所示，有一座拱橋圓弧形，它的跨度為 6060 米，拱高為 1818 米，當(dāng)洪水泛濫到跨度只 有 3030 米時(shí)，就要采取緊急措施，若拱頂離水面只有 4 4 米，即 PN=4PN=4 米時(shí)，是否采取緊急措 施【拔高】1 1、有一座拋物線型拱橋，其水面寬ABAB 為 1818 米，拱頂 0 0 離水面 ABAB 的距離 0M0M 為 8 8 米，貨船在水面上的部分的