第1講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)

1、第1講任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)【2013年高考會(huì)這樣考】1考查三角函數(shù)的定義及應(yīng)用2考查三角函數(shù)值符號(hào)的確定【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】從近幾年的高考試題看，這部分的高考試題大多為教材例題或習(xí)題的變形與創(chuàng)新，因此學(xué)習(xí)中要立足基礎(chǔ)，抓好對(duì)部分概念的理解基礎(chǔ)梳理1任意角(1)角的概念的推廣按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角按終邊位置不同分為象限角和軸線角(2)終邊相同的角終邊與角相同的角可寫成k·360°(kZ)(3)弧度制1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|，l是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長，r為

2、半徑用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制，比值與所取的r的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)弧度與角度的換算：360°2弧度；180°弧度弧長公式：l|r，扇形面積公式：S扇形lr|r2.2任意角的三角函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)任意角，角的終邊上任意一點(diǎn)P(x，y)，它與原點(diǎn)的距離為r(r0)，那么角的正弦、余弦、正切分別是：sin ，cos ，tan ，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)3三角函數(shù)線設(shè)角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，過P作PM垂直于x軸于M，則點(diǎn)M是點(diǎn)P在x軸上的正射影由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos_，sin_)，即

3、P(cos_，sin_)，其中cos OM，sin MP，單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，單位圓在A點(diǎn)的切線與的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T，則tan AT.我們把有向線段OM、MP、AT叫做的余弦線、正弦線、正切線三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線一條規(guī)律三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦(2) 終邊落在x軸上的角的集合|k，kZ；終邊落在y軸上的角的集合；終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合可以表示為.兩個(gè)技巧(1)在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)，|OP|r一定是正值(2)在解簡(jiǎn)單的三角不等

4、式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧三個(gè)注意(1)注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角(2)角度制與弧度制可利用180° rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用(3)注意熟記0°360°間特殊角的弧度表示，以方便解題雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A2k45°(kZ) Bk·360°(kZ)Ck·360°315°(kZ) Dk(kZ)解析與的終邊相同

5、的角可以寫成2k(kZ)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確答案C2若k·180°45°(kZ)，則在()A第一或第三象限 B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限解析當(dāng)k2m1(mZ)時(shí)，2m·180°225°m·360°225°，故為第三象限角；當(dāng)k2m(mZ)時(shí)，m·360°45°，故為第一象限角答案A3若sin 0且tan 0，則是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析由sin 0知是第三、四象限或y軸非正半軸上的角，由ta

6、n 0知是第一、三象限角是第三象限角答案C4已知角的終邊過點(diǎn)(1,2)，則cos 的值為()A B. C D解析由三角函數(shù)的定義可知，r，cos .答案A5(2011·江西)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸非負(fù)半軸，若P(4，y)是角終邊上一點(diǎn)，且sin ，則y_.解析根據(jù)正弦值為負(fù)數(shù)且不為1，判斷角在第三、四象限，再加上橫坐標(biāo)為正，斷定該角為第四象限角，y0，sin y8.答案8考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】(1)寫出終邊在直線yx上的角的集合；(2)若角的終邊與角的終邊相同，求在0,2)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角；(3)已知角是第二象限角，試確定2、所在的象限審題視點(diǎn)

7、利用終邊相同的角進(jìn)行表示及判斷解(1)在(0，)內(nèi)終邊在直線yx上的角是，終邊在直線yx上的角的集合為.(2)2k(kZ)，(kZ)依題意02k，kZ.k0,1,2，即在0,2)內(nèi)終邊與相同的角為，.(3)是第二象限角，k·360°90°k·360°180°，kZ.2k·360°180°22k·360°360°，kZ.2是第三、第四象限角或角的終邊在y軸非正半軸上k·180°45°k·180°90°，kZ，當(dāng)k2m(

8、mZ)時(shí)，m·360°45°m·360°90°；當(dāng)k2m1(mZ)時(shí)，m·360°225°m·360°270°；為第一或第三象限角 (1)相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角卻不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們之間相差360°的整數(shù)倍(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：終邊在y軸非正半軸上的角的集合可以表示為，也可以表示為.【訓(xùn)練1】 角與角的終邊互為反向延長線，則()AB180°Ck·360°(kZ)Dk·360&#

9、176;±180°(kZ)解析對(duì)于角與角的終邊互為反向延長線，則k·360°±180°(kZ)k·360°±180°(kZ)答案D考向二三角函數(shù)的定義【例2】已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(，m)(m0)且sin m，試判斷角所在的象限，并求cos 和tan 的值審題視點(diǎn) 根據(jù)三角函數(shù)定義求m，再求cos 和tan .解由題意得，r，m，m0，m±，故角是第二或第三象限角當(dāng)m時(shí)，r2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，角是第二象限角，cos ，tan .當(dāng)m時(shí)，r2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，角是第三象限角cos

10、，tan. 任意角的三角函數(shù)值僅與角的終邊位置有關(guān)，而與角終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)若角已經(jīng)給出，則無論點(diǎn)P選擇在終邊上的什么位置，角的三角函數(shù)值都是確定的【訓(xùn)練2】 (2011·課標(biāo)全國)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2()A B C. D.解析取終邊上一點(diǎn)(a,2a)，a0，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cos ±，故cos 22cos21.答案B考向三弧度制的應(yīng)用【例3】已知半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.(1)求弦AB所對(duì)的圓心角的大小；(2)求所在的扇形的弧長l及弧所在的弓形的面積S.審題視點(diǎn) (1)由已知條件可得

11、AOB是等邊三角形，可得圓心角的值；(2)利用弧長公式可求得弧長，再利用扇形面積公式可得扇形面積，從而可求弓形的面積解(1)由O的半徑r10AB，知AOB是等邊三角形，AOB60°.(2)由(1)可知，r10，弧長l·r×10，S扇形lr××10，而SAOB·AB·×10×，SS扇形SAOB50. 弧度制下的扇形的弧長與面積公式，比角度制下的扇形的弧長與面積公式要簡(jiǎn)潔得多，用起來也方便得多因此，我們要熟練地掌握弧度制下扇形的弧長與面積公式【訓(xùn)練3】 已知扇形周長為40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形

12、面積最大？解設(shè)圓心角是，半徑是r，則2rr40，Slrr(402r)r(20r)2100.當(dāng)且僅當(dāng)r20r，即r10時(shí)，Smax100.當(dāng)r10，2時(shí)，扇形面積最大，即半徑為10，圓心角為2弧度時(shí)，扇形面積最大考向四三角函數(shù)線及其應(yīng)用【例4】在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊的范圍并由此寫出角的集合：(1)sin ；(2)cos .審題視點(diǎn) 作出滿足sin ，cos 的角的終邊，然后根據(jù)已知條件確定角終邊的范圍解(1)作直線y交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角的終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為.(2)作直線x交單位圓于C、D兩點(diǎn)，連接OC、O

13、D，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為. 利用單位圓解三角不等式(組)的一般步驟是：(1)用邊界值定出角的終邊位置；(2)根據(jù)不等式(組)定出角的范圍；(3)求交集，找單位圓中公共的部分；(4)寫出角的表達(dá)式【訓(xùn)練4】 求下列函數(shù)的定義域：(1)y； (2)ylg(34sin2x)解(1)2cos x10，cos x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)定義域?yàn)?kZ)(2)34sin2x0，sin2x，sin x.利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，定義域?yàn)?kZ)規(guī)范解答7如何利用三角函數(shù)的定義求三角函

14、數(shù)值【問題研究】 三角函數(shù)的定義：設(shè)是任意角，其終邊上任一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)重合)的坐標(biāo)為(x，y)，它到原點(diǎn)的距離是r(r0)，則sin 、cos 、tan 分別是的正弦、余弦、正切，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，這樣的函數(shù)稱為三角函數(shù)，這里x，y的符號(hào)由終邊所在象限確定，r的符號(hào)始終為正，應(yīng)用定義法解題時(shí)，要注意符號(hào)，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤三角函數(shù)的定義在解決問題中應(yīng)用廣泛，并且有時(shí)可以簡(jiǎn)化解題過程【解決方案】 利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值時(shí)，首先要根據(jù)定義正確地求得x，y，r的值；然后對(duì)于含參數(shù)問題要注意分類討論【示例】(本題滿分12分)(2011·龍巖月考)已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，)(x0)，且cos x，求sin 、tan 的值 只要確定了r的值即可確定角經(jīng)過的點(diǎn)P的坐標(biāo)，即確定角所在的象限，并可以根據(jù)三角函數(shù)的定義求出所要求的值解答示范 P(x，)(x0)，P到原點(diǎn)的距離r，(2分)又cos x，cos x，x0，x±，r2.(6分)當(dāng)x時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，由三角函數(shù)定義，有sin ，tan ；(9分)當(dāng)x時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，sin ，tan .(12分) 當(dāng)角的終邊經(jīng)過的點(diǎn)不固定時(shí)，需要進(jìn)行分類討論，特別是當(dāng)角的終邊在過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線上時(shí)，在根據(jù)三角函數(shù)定義求解三角函數(shù)值時(shí)，就要把這條直線看做兩條射線，分別