立體幾何幾個(gè)經(jīng)典題型(理科)(推薦)

1、教學(xué)設(shè)計(jì)方案XueDa PPTS Learning Center立體幾何1、如圖，在四棱錐中，平面，平分，為的中點(diǎn)，（1）證明：平面（2）證明：平面（3）求直線與平面所成角的正切值2、（本題滿分15分）如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，的中點(diǎn)， （I）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面； （II）證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，并求點(diǎn)到，的距離3、如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II) 求平面AMD與平面CDE所成角的大小；（III）求二面角A-CD-E

2、的余弦值。 4.如圖，在正三棱柱（底面是正三角形，側(cè)棱垂直底面）中，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且。（I） 證明平面平面（II） 求直線和平面所成角的正弦值。 BECADP5在四棱錐PABCD中， 底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E為PD的中點(diǎn)(1) 在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離； (2) 求(1) 中的點(diǎn)N到平面PAC的距離 6、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，。（）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；（）、在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論。7、如圖所示，等腰

3、的底邊，高，點(diǎn)是線段上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，現(xiàn)沿將折起到的位置，使，記，表示四棱錐的體積（1）求的表達(dá)式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值8、 如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)。 （）求證：； （）若SD平面PAC，求二面角的大小；（）在（）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E， 使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。答案：立體幾何與空間向量解答題(理科)1、【解】 證明：設(shè)，連結(jié)EH，在中，因?yàn)锳D=CD，且DB平分，所以H為AC的中點(diǎn)，又有題設(shè)，E為PC

4、的中點(diǎn)，故,又,所以.（2）證明：因?yàn)?，所以由?）知，,故(3)解：由可知，BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，所以為直線與平面PBD所成的角。由,在中，,所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為。2、證明：（I）如圖，連結(jié)OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系O，. 則，由題意得，因，因此平面BOE的法向量為，得，又直線不在平面內(nèi)，因此有平面（II）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，因?yàn)槠矫鍮OE，所以有，因此有，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)到，的距離

5、為3、分析：本小題要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想像能力、運(yùn)算能力和推理論證能力。【解】方法一：（）解：由題設(shè)知，BF/CE，所以CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角。設(shè)P為AD的中點(diǎn)，連結(jié)EP，PC。因?yàn)镕EAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD內(nèi),故EPPC，EPAD。由ABAD，可得PCAD設(shè)FA=a，則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故CED=。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°。 （II）因?yàn)楣势矫鍭MD與

6、平面CDE所成角的大小為.（III）由（I）可得， 方法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得 （I） 所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明： ， （III） 又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為 【點(diǎn)評(píng)】純幾何方法求角：求角的思路一般是將空間角的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為平面角的計(jì)算問題，求異面直線所成的角時(shí)，需要選點(diǎn)平移，一般是設(shè)法在其中一條直線 上選出一個(gè)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)來平移另一條直線，然后計(jì)算其中的銳角或直角；線面角的計(jì)算關(guān)鍵是找出直線在平面上的射影，通常需要由直線上的某一點(diǎn)向平面作垂線，求出的應(yīng)當(dāng)是一個(gè)銳角或直角；面面角的計(jì)算通常找到平面角或面積射影定理來完成，找平面角的方法有定義

7、法、三垂線定理法(利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。)、垂面法，計(jì)算出來的角是可以是銳角、直角或鈍角.向量法求角給解題帶來了極大的方便，其規(guī)律見后面的【溫馨提示】。4、【解】（I） 如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面，又DE平面ABC，所以DEAA.而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。（2）解法2 如圖所示，設(shè)O使AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)A A=，則AB=2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（

8、，-，）。易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，） 設(shè)平面ABC的法向量為,則有,解得x=-y， z=-，故可取n=(1，-，)。所以，=。由此即知，直線AD和平面AB C所成角的正弦值為?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查面與面之間的關(guān)系和線面關(guān)系，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力。本題著眼于讓學(xué)生掌握通性通法幾何法在書寫上體現(xiàn)：“作出來、證出來、指出來、算出來、答出來”五步斜線和平面所成的角是一個(gè)直角三角形所成的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面內(nèi)的射影。因此求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足、再作垂線找射影、通過解直角三角形求解；向量法則利用斜線和射影的夾角或

9、考慮法向量，用公式計(jì)算=直線，P面，是與平面所成的角，是平面的法向量，有）6、【解】(1) 建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)BDP，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別是A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依題設(shè)N(x, 0, z)，則(x, , 1z)，由于NE平面PAC， 即，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為(, 0, 1)，從而N到AB、AP的距離分別為1，.(2) 設(shè)N到平面的距離為，是平面的法向量，則d.例9如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，。（）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；（）、在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)

10、Q，使得對(duì)任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論?！痉治觥勘拘☆}主要考查線面關(guān)系、直線于平面所成的角的有關(guān)知識(shí)及空間想象能力和推理運(yùn)算能力，考查運(yùn)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力。9、【解】法1：（）連AC，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,AP與平面相交于點(diǎn)，,連結(jié)OG，因?yàn)镻C平面，平面平面APCOG,故OGPC，所以，OGPC.又AOBD,AOBB1，所以AO平面，故AGO是AP與平面所成的角.在RtAOG中，tanAGO，即m.所以，當(dāng)m時(shí)，直線AP與平面所成的角的正切值為.（）可以推測(cè)，點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是AICI的中點(diǎn)O1，因?yàn)镈1O1A1C1, 且 D1O1A1A ，所以 D1O1平面ACC

11、1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1AP.那么根據(jù)三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直。例10如圖所示，等腰的底邊，高，點(diǎn)是線段上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，現(xiàn)沿將折起到的位置，使，記，表示四棱錐的體積（1）求的表達(dá)式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值10、【解】（1）由折起的過程可知，PE平面ABC，（）；（2），所以時(shí)， ，V(x)單調(diào)遞增；時(shí) ，V(x)單調(diào)遞減；因此x=6時(shí)，V(x)取得最大值；（3）過F作MF/AC交AD與M,則，PM=，在PFM中， ，異面直線AC與PF所成角的余弦值為；【點(diǎn)評(píng)】本題采用了函數(shù)思想

12、在立體幾何中的應(yīng)用。例11 如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)。 （）求證：； （）若SD平面PAC，求二面角的大??；（）在（）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E， 使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。11、【解】法一： （）連BD，設(shè)AC交BD于O，由題意。在正方形ABCD中，所以,得. ()設(shè)正方形邊長(zhǎng)，則。又，所以, 連，由（）知,所以, 且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小為。 （）在棱SC上存在一點(diǎn)E，使由（）可得，故可在上取一點(diǎn),使,過作的平行線與的交點(diǎn)即為。連BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二：（）；連,設(shè)交于于，由題意知.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標(biāo)系如圖。 設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則高。于是 ， 故，從而 ()