立體幾何的解題技巧

1、23高中數(shù)學(xué) 新夢想教育中心 授課老師；沈源立體幾何大題的解題技巧綜合提升【命題分析】高考中立體幾何命題特點：1.線面位置關(guān)系突出平行和垂直，將側(cè)重于垂直關(guān)系2.空間“角”與“距離”的計算常在解答題中綜合出現(xiàn)3.多面體及簡單多面體的概念、性質(zhì)多在選擇題，填空題出現(xiàn)4.有關(guān)三棱柱、四棱柱、三棱錐的問題，特別是與球有關(guān)的問題將是高考命題的熱點此類題目分值一般在17-22分之間，題型一般為1個選擇題，1個填空題，1個解答題. 【考點分析】掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線時的距離.掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念.掌握二面

2、角、二面角的平面角、兩個平行平面間的距離的概念. 【高考考查的重難點*狀元總結(jié)】空間距離和角：“六個距離”：1兩點間距離 2點P到線l的距離 （Q是直線l上任意一點，u為過點P的直線l法向量）3兩異面直線的距離 （P、Q分別是兩直線上任意兩點u為兩直線公共法向量）4點P到平面的距離 （Q是平面上任意一點，u為平面法向量）5直線與平面的距離【同上】6平行平面間的距離【同上】“三個角度”：1異面直線角【0，】cos= 【辨】直線傾斜角范圍【0，）2線面角 【0，】sin= 或者解三角形3二面角 【0，】cos 或者找垂直線，解三角形不論是求空間距離還是空間角，都要按照“一作，二證，三算”的步驟來完

3、成，即寓證明于運算之中，正是本專題的一大特色. 求解空間距離和角的方法有兩種：一是利用傳統(tǒng)的幾何方法，二是利用空間向量。 其中，利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定，是解決立體幾何問題這套強有力的工具時，使得高考題具有很強的套路性?！纠}解析】考點1 點到平面的距離求點到平面的距離就是求點到平面的垂線段的長度，其關(guān)鍵在于確定點在平面內(nèi)的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.典型例題例1（福建卷）如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點ABCD（）求證：平面；（）求二面角的大??；（）求點到平面的距離考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象

4、能力、邏輯思維能力和運算能力 解：解法一：（）取中點，連結(jié)ABCDOF為正三角形，正三棱柱中，平面平面，平面連結(jié)，在正方形中，分別為的中點， ， 在正方形中， 平面（）設(shè)與交于點，在平面中，作于，連結(jié)，由（）得平面， 為二面角的平面角在中，由等面積法可求得，又， 所以二面角的大小為（）中，在正三棱柱中，到平面的距離為設(shè)點到平面的距離為由，得，點到平面的距離為解法二：（）取中點，連結(jié)為正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面xzABCDOFy取中點，以為原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，平面（）設(shè)平面的法向量為， ，令得為平面的一個法向量由（）知平面，為平面的法向量，二面角的大小為（

5、）由（），為平面法向量，點到平面的距離小結(jié)：本例中（）采用了兩種方法求點到平面的距離.解法二采用了平面向量的計算方法，把不易直接求的B點到平面的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點K到平面的距離的計算方法，這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法；解法一采用了等體積法，這種方法可以避免復(fù)雜的幾何作圖，顯得更簡單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法.考點2 異面直線的距離考查異目主面直線的距離的概念及其求法考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離.例2 已知三棱錐，底面是邊長為的正三角形，棱的長為2，且垂直于底面.分別為的中點，求CD與SE間的距離.思路啟迪：由于異面直線CD與SE的公垂線不易尋找，所以設(shè)法將所求異面直線的距離

6、，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進一步轉(zhuǎn)化成求點到平面的距離.解： 如圖所示，取BD的中點F，連結(jié)EF，SF，CF，為的中位線，面,到平面的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線上一點C到平面的距離，設(shè)其為h，由題意知，,D、E、F分別是AB、BC、BD的中點，在Rt中，在Rt中，又由于，即，解得故CD與SE間的距離為.小結(jié)：通過本例我們可以看到求空間距離的過程，就是一個不斷轉(zhuǎn)化的過程.考點3 直線到平面的距離偶爾會再加上平行平面間的距離，主要考查點面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化.例3 如圖，在棱長為2的正方體中，G是的中點，求BD到平面的距離.BACDOGH思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化

7、為點面距離，再用點到平面距離的方法求解.解：解法一 平面，上任意一點到平面的距離皆為所求，以下求點O平面的距離,，平面,又平面平面，兩個平面的交線是,作于H，則有平面，即OH是O點到平面的距離.在中，.又.即BD到平面的距離等于.解法二 平面，上任意一點到平面的距離皆為所求，以下求點B平面的距離.設(shè)點B到平面的距離為h，將它視為三棱錐的高，則 , 即BD到平面的距離等于.小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是選準恰當(dāng)?shù)狞c，轉(zhuǎn)化為點面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點直接作出距離；解析二是等體積法求出點面距離.考點4 異面直線所成的角【重難點】

8、此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形來求角.典型例題例4如圖，在中，斜邊可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角的直二面角是的中點（I）求證：平面平面；（II）求異面直線與所成角的大小思路啟迪：（II）的關(guān)鍵是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個三角形內(nèi). 解：解法1：（I）由題意，是二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角在中，又在中，異面直線與所成角的大小為解法2：（I）同解法1（II）建立空間直角坐標系，如圖，則，異面直線與所成角的大小為小結(jié)： 求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：平移法：在異面直線中

9、的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；補形法：把空間圖形補成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，如解析三.一般來說，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法.同時要特別注意異面直線所成的角的范圍：.考點5 直線和平面所成的角此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計算.線面角在空間角中占有重要地位，是高考的常考內(nèi)容.典型例題例5（全國卷理）四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面已知，（）證明；（）求直線與平面所成角的大小考查目的：本小題主要考查直線與直線,直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，

10、考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力 解：解法一：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面因為，所以，又，故為等腰直角三角形，由三垂線定理，得DBCAS（）由（）知，依題設(shè)，故，由，得，的面積連結(jié)，得的面積設(shè)到平面的距離為，由于，得，解得設(shè)與平面所成角為，則所以，直線與平面所成的我為解法二：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面因為，所以DBCAS又，為等腰直角三角形，如圖，以為坐標原點，為軸正向，建立直角坐標系，所以（）取中點，連結(jié)，取中點，連結(jié)，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余，所以，直線與平面所成的角為小結(jié)：求直線與平面所成的角時，應(yīng)注

11、意的問題是（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系；（2）當(dāng)直線和平面斜交時，常用以下步驟：構(gòu)造作出斜線與射影所成的角，證明論證作出的角為所求的角，計算常用解三角形的方法求角，結(jié)論點明直線和平面所成的角的值.考點6 二面角【重點】此類題主要是如何確定二面角的平面角，并將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線線角放到一個合適的三角形中進行求解.二面角是高考的熱點典型例題例6（湖南卷）如圖，已知直角，直線和平面所成二面的角為（I）證明； ABCQP（II）求二面角的大小命題目的：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.過程指引：（I）在平面內(nèi)過點作于點，連結(jié)ABCQPOH因

12、為，所以，又因為，所以而，所以，從而，又，所以平面因為平面，故（II）解法一：由（I）知，又，所以過點作于點，連結(jié)，由三垂線定理知，故是二面角的平面角由（I）知，所以是和平面所成的角，則，不妨設(shè)，則，在中，所以，于是在中，故二面角的大小為解法二：由（I）知，故可以為原點，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖）因為，所以是和平面所成的角，則不妨設(shè)，則，ABCQPOxyz在中，所以則相關(guān)各點的坐標分別是，所以，設(shè)是平面的一個法向量，由得取，得易知是平面的一個法向量設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，所以故二面角的大小為小結(jié)：本題是一個無棱二面角的求解問題.解法一是確定二面角的棱，進而找出二面角

13、的平面角.無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，由二面角兩個平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，補形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計算的方法，這也是解決無棱二面角的一種常用方法，即當(dāng)二面角的平面角不易作出時，可由平面向量計算的方法求出二面角的大小.【課后練習(xí)】如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD,DAB為直角，ABCD，AD=CD=2AB, E、F分別為PC、CD的中點.（）試證：CD平面BEF；（）設(shè)PAk·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范圍.過程指引：方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離和角；方法二關(guān)鍵是掌握利

14、用空間向量求空間距離和角的一般方法.【高考熱點】空間幾何體的表面積與體積（一 ）空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積： 各個面面積之和2 圓柱的表面積 3 圓錐的表面積：4 圓臺的表面積 5 球的表面積6扇形的面積（其中表示弧長，表示半徑）注：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于地面圓的周長（二）空間幾何體的體積1柱體的體積 2錐體的體積 3臺體的體積 4球體的體積【例題解析】考點8 簡單多面體的有關(guān)概念及應(yīng)用，主要考查多面體的概念、性質(zhì)，主要以填空、選擇題為主，通常結(jié)合多面體的定義、性質(zhì)進行判斷.典型例題例12 . 如圖（1），將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做

15、成一個無蓋的正六棱柱容器，當(dāng)這個正六棱柱容器的底面邊長為 時容積最大.思路啟迪設(shè)四邊形一邊AD，然后寫出六棱柱體積，利用均值不等式，求出體積取最值時AD長度即可.解答過程：如圖（2）設(shè)ADa，易知ABC60°，且ABD30°ABa .BD2a正六棱柱體積為V .V .當(dāng)且僅當(dāng) 12a4a a時，體積最大，此時底面邊長為12a12× . 答案為 .考點9.簡單多面體的側(cè)面積及體積和球的計算棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求矩形或平行四邊形面積，棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求三角形的面積.直棱柱體積V等于底面積與高的乘積.棱錐體積V等于Sh其中S是底面積，h是棱錐的高.例15. 如圖，在三棱柱A

16、BCA1B1C1中，ABa，BCCAAA1a，A1在底面ABC上的射影O在AC上A1B1C1ABCDO 求AB與側(cè)面AC1所成角； 若O恰好是AC的中點，求此三棱柱的側(cè)面積. 思路啟迪 找出AB與側(cè)面AC1所成角即是CAB；三棱錐側(cè)面積轉(zhuǎn)化成三個側(cè)面面積之和，側(cè)面BCC1B1是正方形，側(cè)面ACC1A1和側(cè)面ABB1A1是平行四邊形，分別求其面積即可.解答過程：點A1在底面ABC的射影在AC上， 平面ACC1A1平面ABC.在ABC中，由BCACa，ABa. ACB90°， BCAC. BC平面ACC1A1.即 CAB為AB與側(cè)面AC1所成的角在RtABC中，CAB45°.

17、AB與側(cè)面AC1所成角是45°. O是AC中點，在RtAA1O中，AA1a，AOa. AO1a. 側(cè)面ACC1A1面積S1. 又BC平面ACC1A1 ， BCCC1. 又BB1BCa ， 側(cè)面BCC1B1是正方形，面積S2a2.過O作ODAB于D ， A1O平面ABC， A1DAB.在RtAOD中，AOa ，CAD45° ODa在RtA1OD中，A1D . 側(cè)面ABB1A1面積S3.ABCMNKLABCMNKL 三棱柱側(cè)面積 SS1S2S3.例16. 等邊三角形ABC的邊長為4，M、N分別為AB、AC的中點，沿MN將AMN折起，使得面AMN與面MNCB所成的二面角為30&#

18、176;，則四棱錐AMNCB的體積為 （ ）A、 B、 C、 D、3思路啟迪先找出二面角平面角，即AKL ,再在AKL中求出棱錐的高h，再利用VSh 即可.解答過程：在平面圖中，過A作ALBC，交MN于K，交BC于L.則AKMN，KLMN. AKL30°.則四棱錐AMNCB的高h. . 答案 A【專題綜合訓(xùn)練】一、選擇題1如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在BB1上， 且BD=1，若AD與側(cè)面AA1CC1所成的角為，則的值為（ ）CBADA. B. C. D. 2直線a與平面成角，a是平面的斜線，b是平面內(nèi)與a異面的任意直線，則a與b所成的角（ ）A. 最小值，

19、最大值 B. 最小值，最大值C. 最小值，無最大值 D. 無最小值，最大值3在一個的二面角的一平面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成角，則此直線與二面角的另一平面所成的角為（ ）A. B. C. D. BACDD1C1B1A14如圖，直平行六面體ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，則對角線A1C與側(cè)面DCC1D1所成的角的正弦值為（ ）A. B. C. D. 5已知在中，AB=9，AC=15，它所在平面外一點P到三頂點的距離都是14，那么點P到平面的距離為（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7ADBAD1C1B1A1MN6如圖，在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別

20、是棱A1B1、A1D1的中點，則點B到平面AMN的距離是（ ）A. B. C. D. 27將，邊長MN=a的菱形MNPQ沿對角線NQ折成的二面角，則MP與NQ間的距離等于( )A. B. C. D.8二面角的平面角為，在內(nèi)，于B，AB=2,在內(nèi)，于D，CD=3,BD=1, M是棱上的一個動點，則AM+CM的最小值為( )A. B. C. D. 9空間四點A、B、C、D中,每兩點所連線段的長都等于a, 動點P在線段AB上, 動點Q在線段CD上，則P與Q的最短距離為( )A. B. C. D.10在一個正四棱錐，它的底面邊長與側(cè)棱長均為a ，現(xiàn)有一張正方形包裝紙將其完全包?。ú荒懿眉艏?，但可以折疊

21、），那么包裝紙的最小邊長應(yīng)為（ ）A. B. C. D. 11已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB=2，若棱AB上存在點P，使，則棱AD的長的取值范圍是 ( )A. B. C. D. 12將正方形ABCD沿對角線AC折起，使點D在平面ABC外，則DB與平面ABC所成的角一定不等于（ ）DCBAED1A1C1B1A. B. C. D. 二、填空題1如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E是A1B1的中點，則下列四個命題： E到平面ABC1D1的距離是； 直線BC與平面ABC1D1所成角等于； 空間四邊形ABCD1在正方體六個面內(nèi)的射影圍成面積最小值為； BE與CD1所

22、成的角為ABDCPEA1D1C1B12如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是A1C1上的動點，E為CD上的動點，四邊形ABCD滿足_時，體積恒為定值（寫上你認為正確的一個答案即可）3邊長為1的等邊三角形ABC中,沿BC邊高線AD折起,使得折后二面角B-AD-C為60°,則點A到BC的距離為_,點D到平面ABC的距離為_.4在水平橫梁上A、B兩點處各掛長為50cm的細繩，AM、BN、AB的長度為60cm，在MN處掛長為60cm 的木條，MN平行于橫梁，木條的中點為O，若木條繞過O的鉛垂線旋轉(zhuǎn)60°，則木條比原來升高了_.5多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的.

23、如圖正方體的一個頂點A在平面內(nèi).其余頂點在的同側(cè)，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別是1、2和4. P是正方體其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：3；4；5；6；7.O1O2O3以上結(jié)論正確的為 .（寫出所有正確結(jié)論的編號）6. 如圖，棱長為1m的正方體密封容器的三個面上有三個銹蝕的小孔（不計小孔直徑）O1、O2、O3它們分別是所在面的中心.如果恰當(dāng)放置容器，容器存水的最大容積是_m3.三、解答題1 在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面邊長為a,D為BC為中點，M在BB1上，且BM=B1M，又CMAC1;（1） 求證：CMC1D;（2） 求AA1的長.2 如圖，在四棱錐P-A

24、BCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=，PA底面ABCD，E是AD的中點，F(xiàn)在PC上.(1) 求F在何處時，EF平面PBC；(2) 在(1)的條件下，EF是不是PC與AD的公垂線段.若是，求出公垂線段的長度；若不是，說明理由；(3) 在(1)的條件下，求直線BD與平面BEF所成的角.3如圖，四棱錐SABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB= （1）求證BCSC； （2）求面ASD與面BSC所成二面角的大??； （3）設(shè)棱SA的中點為M，求異面直線DM與SB所成角的 大小4在直角梯形ABCD中，ÐD=ÐBAD=90°,AD=DC=AB=a,

25、(如圖一)將ADC 沿AC折起，使D到記面AC為a,面ABC為b面BC為g （1）若二面角a-AC-b為直二面角（如圖二），求二面角b-BC-g的大小;（2）若二面角a-AC-b為60°（如圖三），求三棱錐-ABC的體積5如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點（1）求證AM/平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大??；（3）試在線段AC上確定一點P，使得PF與BC所成的角是60°【參考答案】一選擇題1.D 提示：AD在面ACC1A1上的射影應(yīng)在AC與A1C1中點的連線上，令射影為E，則EAD為所求的角.在RtEAD中

26、，1,3,52.B 提示：由最小角定理知，最小角為，又異面直線所成角的范圍為，最大角為.3.A 提示：由最小角定理知，此直線與另一面所成的角應(yīng)小于等于它與交線所成的角，故排除C、D，又此二面角為45°，則此直線與另一平面所成的角只能小于它與交線所成的角，故選A.4.D 提示：由題意，A1在面DCC1D1上的射影應(yīng)在C1D1延長線E上，且D1E=1，則A1CE為所求角，在RtAA1C中，5.D 提示：由P到ABC三個頂點的距離都是14，知P在底面ABC的射影是ABC的外心，所以PO為所求.由余弦定理得：BC=21.由得外接圓半徑為，即，在RtPOB中，6.D 提示：由題圖得7.B 提示

27、：連結(jié)MP、NQ交于O，由四邊形MNPQ是菱形得MPNQ于O，將MNQ折起后易得MOQN，OPQN，所以MOP=60°，且QN面MOP，過O作OHMP，所以O(shè)HQN，從而OH為異面直線MP、QN的公垂線，經(jīng)計算得8.C 提示：把半平面展到半平面內(nèi),此時,連結(jié)AC與棱的交點為M,這時AM+CM取最小值等于AC. (AM+CM)min=9.B 提示：P、Q的最短距離即為異面直線AB與CD間的距離，當(dāng)P為AB的中點，Q為CD的中點時符合題意.10.B 提示：將正棱錐展開，設(shè)正方形邊長為m，則11.A 提示：在長方形ABCD中AB邊存在P，作，又因為AB=2，由對稱性可知，P為AB的中點時，

28、AD最大為1，故選A.12.D 提示：若BD與平面ABC所成的角為，則，取AC的中點O，則且BO=DO，不垂直，故BD與平面ABC所成的角一定不等于.二填空題1 提示：對于，由得，錯.對于連CB1交BC1于O，則O為C在面ABC1D1上的射影，為所成的線面角，正確.作圖易知正確，對于連A1B，則為所成的角，解得，正確.2ABCD 提示：，要使體積為定值，則為定值，與E點位置無關(guān)，則ABCD3 提示：作與E，易知，從而，又由，得，由可解的點到平面的距離為.4.10cm 提示：MO=NO=30cm，過O作與旋轉(zhuǎn)前的MN平行且相等，所以旋轉(zhuǎn)后AB與平面的距離為，故升高了50-40=10cm.5.6.

29、三、解答題1（1）證明：在正三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC中點，則AD面BCC1B1，從而ADMC 又CMAC1，則MC和平面ADC1內(nèi)兩相交直線AD，AC1均垂直MC面ADC1，于是MCDC1.(2)解：在矩形BB1C1C中，由CMDC1 知DCC1BMC，設(shè)BB1=h,則BM=hh:a=從而所求AA1=2.解：()以A為坐標原點，以射線AD、AB、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則p(0，0，)，A(0，0，0)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，0，0)，E(1，0，0) F在PC上，可令設(shè)F(x，y，z) EF平面PBC，且，又， 可得故F為PC的中點.()由()

30、可知：EFPC，且EFBC即EFAD EF是PC與AD的公垂線段，其長為|=1()由()可知即為平面BEF的一個法向量而設(shè)BD與平面BEF所成角，則：sin=cos=arcsin.故BD與平面BEF所成角為arcsin圖23（1）證法一：如圖，底面ABCD是正方形， BCDCSD底面ABCD，DC是SC在平面ABCD上的射影，圖1由三垂線定理得BCSC證法二：如圖1，底面ABCD是正方形， BCDCSD底面ABCD，SDBC，又DCSD=D，BC平面SDC，BCSC（2）解：如圖2，過點S作直線在面ASD上，底面ABCD為正方形，在面BSC上，為面ASD與面BSC的交線CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面角BD=，SB=，SAD=1（3）解1：如圖2，SD=AD=