滿足條件的點使以點P3

1、17 已知兩個定點和兩個動點，這四個點要構(gòu)成平行四邊形1：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)平行四邊形ABCD四個頂點的橫坐標(biāo)分別、，縱坐標(biāo)分別為、，則有如下關(guān)系：；。2（本題滿分11分）如圖，拋物線與直線AB交于點A(-1，0)，B(4，)點D是拋物線A，B兩點間部分上的一個動點（不與點A，B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點C，連接AD，BD（1）求拋物線的解析式和直線AB的解析式；（2）當(dāng)點D為拋物線的頂點時，若點P是拋物線上的動點，點Q是直線AB上的動點，判斷有幾個位置能使以點P，Q，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標(biāo) 解：（1）由題意得解得 3分（2）設(shè)直線AB為

2、：，則有解得 則：D（m，），C（m, ）, CD=()()=. =CD =（）=.5分 當(dāng)時，S有最大值. 當(dāng)時，. 點C（）7分（3） 1)當(dāng)CD為邊，CDQP為平行四邊形時，C與Q, D與P為對角, 側(cè)有+= +點Q 在直線AB上， 設(shè)Q（ m, + ） , 又 C( 2 , ), D( 2, ), P（m, m - ）點P （m, m - ）在拋物線上- +2m+= m - 解得:=5 =-2 Q（ 5， 3 ）或（-2，- ）2) )當(dāng)CD為邊，CDPQ為平行四邊形時，C與P, D與Q為對角,側(cè)有+= +設(shè)Q（ m, + ） , C( 2 , ), D( 2, ) P ( m, )

3、把P ( m, )點代入拋物線得: - +2m+= 解得:=1 =2當(dāng)=2時，點Q與點C重合，舍去；m=1 ,Q( 1,1)3) 當(dāng)CD為對角線時，C與D，P與Q為對角，設(shè)Q（ m, + ）側(cè)有 : P（ 4-m, - ）把P（ 4-m, - ）拋物線得: - +2(4-m )+= -解得:=3 =2(舍去) m=3 , Q( 3,2)滿足條件的點Q的坐標(biāo)一共有4個，分別為（2，）,（1，1）,（3，2）,（5, 3）.3. （2012山西省14分）綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于AB兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點（分析AC只能是邊，不能是對

4、角線）（1）求直線AC的解析式及BD兩點的坐標(biāo)；（2）點P是x軸上一個動點，過P作直線lAC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點AP、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）請在直線AC上找一點M，使BDM的周長最小，求出M點的坐標(biāo)【答案】解：（1）當(dāng)y=0時，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3。 點A在點B的左側(cè)，AB的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0）。當(dāng)x=0時，y=3。C點的坐標(biāo)為（0，3）。設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1（k10），則，解得。直線AC的解析式為y=3x+3。y=x

5、2+2x+3=（x1）2+4，頂點D的坐標(biāo)為（1，4）。（2）拋物線上有三個這樣的點Q。如圖，當(dāng)點Q在Q1位置時，Q1的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點Q1的坐標(biāo)為（2，3）；當(dāng)點Q在點Q2位置時，點Q2的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點Q2坐標(biāo)為（1+，3）；當(dāng)點Q在Q3位置時，點Q3的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線解析式可得，點Q3的坐標(biāo)為（1，3）。綜上可得滿足題意的點Q有三個，分別為：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3）。（3）點B作BBAC于點F，使BF=BF，則B為點B關(guān)于直線AC 的對稱點連接BD交直線AC與點M，則點M為所求。過點B作BEx軸于點E。1和2都是3的余角，1=2。Rt

6、AOCRtAFB。由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4。，解得。BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，。BE=，BE=。OE=BEOB=3=B點的坐標(biāo)為（，）。設(shè)直線BD的解析式為y=k2x+b2（k20），則，解得。直線BD的解析式為：。聯(lián)立BD與AC的直線解析式可得： ，解得。M點的坐標(biāo)為（）。4.(浙江義烏市) 如圖，拋物線與x軸交A、B兩點（A點在B點左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標(biāo)為2（1）求A、B 兩點的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點

7、，求線段PE長度的最大值；A（3）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由例1.解：（1）令y=0，解得或 A（-1，0）B（3，0）；將C點的橫坐標(biāo)x=2代入得y=-3，C（2，-3）直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1 （2）設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x（-1x2）則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，-x-1）， E（AP點在E點的上方，PE=當(dāng)時，PE的最大值=（3）存在4個這樣的點F，分別是5. （2012湖北恩施8分）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與一直線相交于A（1，0），C（

8、2，3）兩點，與y軸交于點N其頂點為D(與第2 題比較)（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EFBD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由；（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求APC的面積的最大值（奪分P有）【答案】解：（1）由拋物線y=x2+bx+c過點A（1，0）及C（2，3）得，解得。拋物線的函數(shù)關(guān)系式為。 設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+n，由直線AC過點A（1，0）及C（2

9、，3）得，解得。直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1。（2） 作N點關(guān)于直線x=3的對稱點N，（3） 令x=0，得y=3，即N（0，3）。N（6， 3）由得D（1，4）。設(shè)直線DN的函數(shù)關(guān)系式為y=sx+t，則，解得。故直線DN的函數(shù)關(guān)系式為。根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，知當(dāng)M（3，m）在直線DN上時，MN+MD的值最小，。使MN+MD的值最小時m的值為。（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）， 當(dāng)BD為平行四邊形對角線時，由B、C、D、N的坐標(biāo)知，四邊形BCDN是平行四邊形，此時，點E與點C重合，即E（2，3）。 當(dāng)BD為平行四邊形邊時，點E在直線AC上，設(shè)E（x，x+1），則

10、F（x，）。又BD=2若四邊形BDEF或BDFE是平行四邊形時，BD=EF。，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），E（0，1）。若，解得，E或E。綜上，滿足條件的點E為（2，3）、（0，1）、。（4）如圖，過點P作PQx軸交AC于點Q；過點C作CGx軸于點G， 設(shè)Q（x，x+1），則P（x，x2+2x+3）。 。 ，當(dāng)時，APC的面積取得最大值，最大值為。例1 2013年上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1，已知拋物線yx2bxc經(jīng)過A(0, 1)、B(4, 3)兩點 （1）求拋物線的解析式；（2）求tanABO的值；（3）過點B作BCx軸，垂足為C，在對稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB

11、于點N，交拋物線于點M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標(biāo)圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“13松江24”，拖動點N在直線AB上運動，可以體驗到，以M、N、C、B為頂點的平行四邊形有4個，符合MN在拋物線的對稱軸的左側(cè)的平行四邊形MNCB只有一個請打開超級畫板文件名“13松江24”，拖動點N在直線AB上運動，可以體驗到，MN有4次機(jī)會等于3，這說明以M、N、C、B為頂點的平行四邊形有4個，而符合MN在拋物線的對稱軸的左側(cè)的平行四邊形MNCB只有一個思路點撥1第（2）題求ABO的正切值，要構(gòu)造包含銳角ABO的角直角三角形2第（3）題解方程MNyMyNBC，并且檢驗x的值是否在對稱軸左側(cè)

12、滿分解答（1）將A(0, 1)、B(4, 3)分別代入yx2bxc，得 解得，c1所以拋物線的解析式是（2）在RtBOC中，OC4，BC3，所以O(shè)B5如圖2，過點A作AHOB，垂足為H在RtAOH中，OA1，所以 所以， 圖2在RtABH中，（3）直線AB的解析式為設(shè)點M的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)為，那么當(dāng)四邊形MNCB是平行四邊形時，MNBC3解方程x24x3，得x1或x3因為x3在對稱軸的右側(cè)（如圖4），所以符合題意的點M的坐標(biāo)為（如圖3）圖3 圖4考點伸展第（3）題如果改為：點M是拋物線上的一個點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標(biāo)那么

13、求點M的坐標(biāo)要考慮兩種情況：MNyMyN或MNyNyM由yNyM4xx2，解方程x24x3，得（如圖5）所以符合題意的點M有4個：，例4 2011年上海市中考第24題已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖1），一次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數(shù)的圖象上，且MOMA二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過點A、M（1）求線段AM的長 （2）求這個二次函數(shù)的解析式；（3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數(shù)的圖象上，點D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標(biāo)圖解答（1）當(dāng)x0時，所以點A的坐標(biāo)為(0，3)，OA3如圖2，因為MOMA，所以點M在OA的垂直平分線上，點M的

14、縱坐標(biāo)為將代入，得x1所以點M的坐標(biāo)為因此（2）因為拋物線yx2bxc經(jīng)過A(0，3)、M，所以解得，所以二次函數(shù)的解析式為（3）如圖3，設(shè)四邊形ABCD為菱形，過點A作AECD，垂足為E在RtADE中，設(shè)AE4m，DE3m，那么AD5m因此點C的坐標(biāo)可以表示為(4m，32m)將點C(4m，32m)代入，得解得或者m0（舍去）因此點C的坐標(biāo)為（2，2） 圖2 圖3考點伸展如果第（3）題中，把“四邊形ABCD是菱形”改為“以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形”，那么還存在另一種情況：如圖4，點C的坐標(biāo)為 圖4 11、(2013年臨沂壓軸題)如圖，拋物線經(jīng)過三點.(1)求拋物線的解析式；(2)在拋

15、物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標(biāo)；xyAOCB（第26題圖）(3)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A,C,M,N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.xyAOCB（第26題圖）PNMH解析：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為 ， 根據(jù)題意，得，解得拋物線的解析式為： (3分)（2）由題意知，點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點B,連接BC交拋物線的對稱軸于點P，則P點 即為所求.設(shè)直線BC的解析式為，由題意，得解得 直線BC的解析式為 (6分)拋物線的對稱軸是，當(dāng)時，點P的坐標(biāo)是. (7分)（3）存在 (8分)(i)當(dāng)存在的

16、點N在x軸的下方時，如圖所示，四邊形ACNM是平行四邊形，CNx軸，點C與點N關(guān)于對稱軸x=2對稱，C點的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)為 (11分)（II）當(dāng)存在的點在x軸上方時，如圖所示，作軸于點H，四邊形是平行四邊形，,xyAOCB（第26題圖）RtCAO Rt,.點C的坐標(biāo)為,即N點的縱坐標(biāo)為，即解得點的坐標(biāo)為和.綜上所述，滿足題目條件的點N共有三個，分別為， (13分)26.（本小題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線和雙曲線在第一象限相交于點A(1，2)，點B在y軸上，且ABy軸. 有一動點P從原點出發(fā)沿y軸以每秒1個單位的速度向y軸的正方向運動，運動時間為t秒(t0)，過點P作PDy軸，交

17、直線OA于點C，交雙曲線于點D.（1）求直線和雙曲線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)四邊形CDAB的面積為S，當(dāng)P在線段OB上運動時(P不與B點重合)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在圖中第一象限的雙曲線上是否存在點Q，使以A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時t的值和Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.26. 解：（1）把A(1，2)代入和，得 K=2，k=2 直線的函數(shù)關(guān)系式是雙曲線的函數(shù)關(guān)系式是 (注：求對一個函數(shù)關(guān)系式得2分)（2）AB=1，OB=2，OP=t PC=，PD=，BP=2t當(dāng)CD在AB下方時，CD=PDPC= S= = (0t2) (注：自變量t的取值范圍沒有寫出的不扣分，函數(shù)化簡結(jié)果可以用不同的形式表示，只要結(jié)果正確的均不扣分，如：等（3）存在3種情形，具體如下：當(dāng)ABCD，且CD在AB下方時(見備用圖1) CD=PDPC=1，解得 t1=1，t2=1(舍去) PD=，OP=t=1 當(dāng)t=1時，存在Q(，1) 使以A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形 當(dāng)ABCD，且CD在AB上方時(見備用圖1) CD=PCPD=1，解得 t1=+1，t2=+1(舍去) PD=，OP=t=+1 當(dāng)t=+1時，存在Q(，+1) 使以A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形 當(dāng)BQAC，且C