全國一卷理科數學高考真題及答案

1、2 0 16年普通高等學校招生全國統(tǒng)考試(全國卷I )理科數學.選擇題：本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中，只有一 項是符合題目要求的.1.設集合A =xx2 -4x +3<0, x2x3>0,貝U AnB =(A)3,|j(B)匚3,3 j (C)2囿(D)2,2.設(1 +i)x =1 + yi ,其中x,y是實數，則(A) 1(B) 72x + yi =(C) v,3(D) 23 .已知等差數列為前9項的和為27,現(xiàn)。=8,則 a100(A) 100 (B) 99 (C) 98 (D)974 .某公司的班車在7:00, 8:00, 8:30發(fā)車,小明在 7

2、:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過(A) ( B) (C) (D)10分鐘的概率是5 .已知方程22m n 3m -n=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是(A) (-1,3 ) (B) (1,73)(C) (0,3) (D) (0,V3)6 .如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是28 二，則它的表面積是3(A) 17n (B) 18n(C) 20n (D) 28元2 x ,7 .函數y =2x -e在12,2】的圖像大致為(B)c c(A) a <b (B)a

3、bc : bac(C)lOgbC MblOgaC (D)開始loga c ： log b c輸入x,y,n(A)(C)(D)9.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的x=0, y =1, n =1，則輸出 x,y的值滿足n=n+1n-1x=x+ , y=ny(A) y =2x (B)y =3x (C) y=4x (D) y = 5x/ 輸出x,y/+y2 236.?.8.若 a b 10 : c ：1，則10 .以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準線于D、E兩點.已知|AB|= 4/2 ,|DE|= 2后,則C的焦點到準線的距離為(A)2(B)4(C)6(D)811 .平面口過正方體

4、ABCD-AiBiCiDi的頂點 A,a/平面CBiDi,否E閃a I平面ABCD =m,a I平面ABBiAi=n，則m、n所成角的正弦值為3、231四 萬(B) T(C) T3一一 .，、.，個、，一不幾、n、. n、.，、一一12 .已知函數 f (x) =sin(cox+ 中)(切 a 0,平 < ),x = 為 f (x)的零點，x = 為 y = f (x)圖像 244的對稱軸，且f (x)在i單調，則g的最大值為18 36(A) ii? (B) 9? (C) 7? (D) 5二、填空題：本大題共3小題,每小題5分13 .設向量 a=(m,i), b=(i,2),且 |a+b

5、|2=|a|2+|b|2,則 m=14 . (2x+Jx)5的展開式中，x3的系數是.(用數字填寫答案)15 .設等比數列an滿足ai+a3=10, a2+a4=5,則aia2a n的最大值為.16 .某高科技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料.生產一件產品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時.生產一件產品A的利潤為2100元，生產一件產品 B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為元.三.解答題：解答應寫出文字說明

6、，證明過程或7M算步驟.17.(本小題滿分為12分)ABC的內角A,B, C的對邊分別為 a,b, c,已知 2cosc (acosB+b cos A) = c.求C;.一 一.3.3ABC的面積為3X3 2,求AABC的周長.18 .(本小題滿分為 12分)如圖，在以 A, B, C, D, E, F為頂點的五面體中，面 ABEF為正方形, AF=2FD , /AFD =90'，且二面角 D-AF-E 與二面角 C-BE-F 都是 60 .(I)證明：平面 ABEF _L平面EFDC ;(II)求二面角 E-BC-A的余弦值.19 .(本小題滿分12分)某公司計劃購買 2臺機器，該種

7、機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了 100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易 損零件數.(I)求X的分布列；(II)若要求P(X <n) >0.5，確定n的最小值；(III )以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在頻數十20.(

8、本小題滿分2212分）設圓x2 +y2 +2x15 = 0的圓心為A,直線l過點B (1,0)且與x軸不重合,n =19與n =20之中選其一，應選用哪個？l交圓A于C,D兩點，過 B作AC的平行線交 AD于點E.(I)證明EA +|EB為定值，并寫出點 E的軌跡方程；(II )設點E的軌跡為曲線 C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓 A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍._ x2 , 21 .(本小題滿分12分)已知函數 f(x) = (x 2)e +a(x1)有兩個零點.(I)求a的取值范圍；(II)設X1,X2是f (x)的兩個零點，證明：x1+x2<

9、;2.請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22 .(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講如圖， OAB是等腰三角形，/AOB=120°.以。為圓心，-OA為半徑作圓.2(I)證明：直線 AB與。O相切；(II)點C, D在。上，且 A, B, C, D四點共圓，證明： AB II CD.23 .(本小題滿分10分)選修4 4:坐標系與參數方程x = a cost ,在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數萬程為 (t為參數，a>0)y = 1 asint在以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2： P= 4 cose .(

10、I)說明Ci是哪一種曲線，并將Ci的方程化為極坐標方程；(II)直線C3的極坐標方程為 日=久0,其中外滿足tan % =2,若曲線Ci與C2的公共點都在 C3上,求a.24 .(本小題滿分10分)選修4 5:不等式選講已知函數f (X)= |x+1 2x 3 .(I)畫出y = f (x廣勺圖像；(II)求不等式 f (X 1 >1的解集.2016年高考全國1卷理科數學參 考答案題號123456789101112答案DBCBAADCCBAB1. A =x|x2 _4x+3 <0=xl <x <3)，B =x|2x _3 A0)= 'x x Y b322J故 A

11、0B = Wx2<x<3b.I 2 J故選D.x =1x =12 .由 0 +i A =1 +yi 可知：x+xi =1 +yi ,故 W ,解得：W . x = yy =1所以，x+yi =M +y2 =J2.故選B.3 .由等差數列性質可知：S9 =9(a1 +)=絲曳=9% =27 ,故a5 =3,22而a10 =8 ,因此公差 d =30 =110 -5a100 =a10 +90d =98 .故選C.4 .如圖所示，畫出時間軸:小明到達的時間會隨機的落在圖中線段AB中，而當他的到達時間落在線段AC或DB時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘10 10 1根據幾何概型，所求概

12、率 P =U_° =1402故選B.5.2xm2 n2y=1表示雙曲線，則 3m - nm2 n 3m2 -n i >0一m : n ： 3m由雙曲線性質知：c2 =(m2 +n )+(3m2 -n )=4m2,其中c是半焦距焦距 2c =2 2 m =4,解得 m =1-1 : n ：3故選A.6 .原立體圖如圖所示：是一個球被切掉左上角的1后的三視圖.曰 74右右工口工8日也辦工口、工表面積是的球面面積和三個扇形面積N和8故選A. 227 . f (2 )=8 -e >8 -2,8 >0 ,排除 Af(2 )=8 -e2 <8 -2,72 <1 ,排

13、除 Bx >0時，f (x )=2x2 -ex f '(x )=4x -ex ,當 x w ：0,1 |時，f <x )<1x4-e° =01. 44因此f (x)在10,1 |單調遞減，排除 C故選D.8 .對A：由于0<c<1, .函數y=xc在R上單調遞增，因此 a>b>1- acAbc, A錯誤對B:由于一1 <c1 <0 , .函數y=xc，在(1,依產單調遞減，c_1c 1cc、I aAb1u a <b u ba <ab , B 4已反對C：要比較alogbc和blogac,只需比較 anc和bnc

14、,只需比較nc和nc ,只需bln b和 ln b In abln b aln aaln af(x )在(1,收)上單調遞增,構造函數 f (x )=xln x(x >1 )，則 f'(x )=ln x+1 >1 >0 ,因此 f a)> f b j>0=alna bln b 0 之又由 0cc<1 得 lnc<0, 加立也J aln a , bln b ln c 一要比較logac和logbc,只需比較 和 ln a<alna bln b而函數y=lnx在(1,依止單調遞增，故 又由 0<c<1 得 lnc<0,Jnc

15、>Jn-cln a ln bu bloga c<alogb c, C 正確ln cln b.1a b 1= ln a ln b 0= ln au loga c Alogbc, d 錯誤1ln b9.如下表:循環(huán)節(jié)運行次數判斷是否輸出運行前01/1第一次否否第二次否否第三次是是3輸出x =一 , y =6 ,滿足y =4x210.以開口向右的拋物線為例來解答，其他開口同理設拋物線為 y2 =2px (p>0),設圓的方程為 X2 題目條件翻譯如圖：設 A(Xo,2j2 ),點 A(x0,2j2 戶拋物線 y2=2px上， 8=2px0點 D.1-"p,拜 | 在圓 x

16、2 +y2 =r2 上，. 5 + I -(,22點A Xo,2 2在圓222 .2_2_x +y =r 上，x0 +8 =r 區(qū)聯(lián)立解得：p =4 ,焦點到準線的距離為p =4 .故選B.11.如圖所示：.a/平面CBDj .若設平面 CBD Q平面ABCD=m,貝 1ml / m又平面ABCD /平面AB1GD1,結合平面B1D1c平面A1B1C1D1 =BDB1D1/m故B,D1/m同理可得：CD"/n故m、n的所成角的大小與 B1D1、CD1所成角的大小相等，即 /CD1B)的大小.而BQ=B1D1=CD1 (均為面對交線)，因此/CD1B1 =二，即 sinNCDS =3

17、3212.由題意知:則幻=2k+1，其中k EZVf(x)在，包|單調，18 36接下來用排除法36 18 12 2t T ，三12若嫣=11, = -,此時足f(x)在,nIf (x) =sin 11x -一 4,f(x)在仁，三遞增，在18 44144c,56卜減不滿若=9,1836單調TtTt-,此時f(x)=sin；9x +- I,滿足f (x)在',5口 |單調遞減 4.418 36故選B.13.-214.10156416. 21600013.由已知得：a+b2a b = m 1,3a2(m +1 2 +32 =m2 +12 +12 +22,解得 m = -2 .14 .設展

18、開式的第k十1項為Tk +，kw0,1,2,3,4,5,5 k _ k5 2Tk+=Ck(2x )-(Vx ) =C5 25上x 7.二10x3k一 5二當 5萬=3時，k =4,即 T5 =C5 25-x 7故答案為10.1-2mq是公比.15 .由于an是等比數列， 設 an =aqnlai %=101 ai aiq =103_ u 43，,一ai a2 anaq aq =549464.,jr ,1(7當 n =3或 4 時，1 ln-2 A廠所以a a2 . an的最大值為16 .設生產A產品x件，B產品y件，根據所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件，構造線性 規(guī)則約束為目標函數z

19、=2100x 900y作出可行域為圖中的四邊形，包括邊界，頂點為 (60,100) (0,200) (0,0) (90,0)在(60,100)處取得最大值，z=2100M60 + 900M100 = 21600017 .解：2cosc (acosB+bcosA )=c由正弦定理得：2cosC sin A cosB sin B cos A =sinCA + B +C =n,A、 B、 C W(0,兀)sin A B =sinC .01 2cosc =1, cosC =一2_兀 c W(0,叫二 c = 由余弦定理得：c2 =a2 +b2 -2ab cosC1- ab =62 a b -18 =7

20、.ABC 周長為 a+b+c=5+J718 .解：(1) ABEF 為正方形： AF _LEF . AFD =90 AF _DF DF PlEF =FAF，面 EFDCAF ABEF:平面 ABEF _L¥面 EFDC由知 AB II EFAB值平面EFDCEF仁平面EFDC AB II 平面 ABCDAB u 平面 ABCD 面 ABCDn 面 EFDC =CDAB II CD CD II EF四邊形EFDC為等腰梯形以E為原點，如圖建立坐標系，設 FD =aEB =（0 , 2a, 0 ）,AB =（-2a ,0,0）設面BEC法向量為_ m=fx, y, z .12a y1 =

21、0m EB =0 目門y1M 1 ，即 4aJ3j m BC =0_4 Xi - 2ay1 'a ,Zi事辦2n =（% , y什）.即W|x22沖2+彳%=0Xi = 33 , y1 =0 , z = 1 =0ABC法向-Jn BC=0Y n AB =020設二面角E - BCTaxA的夫小為u .:二面角EBCA的余弦值為 _M9x2 =0, y2 = J3 , z2 =419解：每臺機器更換的易損零件數為198, 9, 10, 11記事件A為第機器3年內換掉i +7 個零件（i =1,2,3,4 ）記事件B為第二臺機器3年內換掉i +7 個零件（i =1,2,3,4 ）X ,則X

22、的可能的取值為 16, 17, 18, 19,20, 21, 22由題知 P（A ） = P（A ） = P（A4 ）=p（Bi ）=P（B3 ） = P（B4 ） = 0.2 , P（A2 ）= P（B2 ）= 0.416171819202122設2臺機器共需更換的易損零件數的隨機變量為要令 P(xwn )> 0.5, ：0.04 + 0.16+0.24 <0.5, 0.04+0.16 + 0.24 + 0.240.5 則n的最小值為19購買零件所需費用含兩部分，一部分為購買機器時購買零件的費用，另一部分為備件不足時 額外購買的費用當 n=19時，費用的期望為 19黑200+50

23、0M0.2 + 1000M0.08+1500M0.04 = 4040當 n=20時，費用的期望為 20M200+500M0.08 + 1000M0.04 =4080所以應選用n=192。20. (1)圓A整理為(x +1 ) +y2 =16 , A坐標(-1,0%如圖，B BE/AC ,則 /C =/EBD ,由 AC =AD,則/ D =/ C ,j./EBD =/D,則 EB=ED 22所以E的軌跡為一個橢圓，方程為x_ +上=1, ( y#0 );2243小、x y一 C1 ： 一 + =1 ；設 l : x = my +1 ,43因為PQL ,設PQ: y =m(x_1 V聯(lián)立l與橢圓

24、C1x = my 1Jx2 y2得(3m2+4)y2+6my9 = 0；二1則432.:2 36m2 36 3m2 4| MN |= .1 m |yM -yN |= 1m' 2 一二3m 4圓心A到PQ距離d |飛1 )| _ 12m | ,所以 |PQ | = 2. | AQ|2 -d_xx21. ( I )f'(x)=(x1)e +2a(x1) =(x1)(e +2a).(i)設 a=0,則 f(x) =(x2)ex, f(x)只有一個零點.(ii)設 a >0 ,則當 xw (-,1)時，f '(x) <0；當 x w (1,y)時，f '(x

25、) > 0 ,所以 f (x)在(-°0,1)上單調遞減，在(1,y)上單調遞增.a又 f (1) = e , f (2) = a ,取 b 滿足 b <0且 b <ln ,則a32af (b) >-(b-2)+a(b-1)2 =a(b2 -b) >0 ,故f(x)存在兩個零點.(iii)設 a <0,由 f'(x)=0 得 x =1 或 x = ln( 2a) .4e右a之一一，則ln(2a) M1,故當x= (1,y)時，f (x)>0,因此f (x)在(1,")上單調遞增.又 2當xM1時，f(x)<0,所以f

26、(x)不存在兩個零點.4e右 ac，貝I ln(2a) >1 ,故當 x (1,ln(2a)時，f'(x)<0；當 x= (ln(2a),依)時， 2f '(x) >0 .因此f (x)在(1,ln(2a)單調遞減，在(ln(2a),博)單調遞增.又當x1時，f (x) < 0,所以f (x)不存在兩個零點.綜上，a的取值范圍為(0,十北).(II)不妨設 x1 <x2 ,由(I)知 x1 w (-00,1), x2 W (1,2) , 2 x2 w (q,1), f (x)在(-°0,1)上單調遞減，所以 x1 +x2 <2 等價于 f(xj A f(2 -x2),即 f(2x2) <0.由于 f (2 -x2) = -x2e2、2 +a(x2 -1)2,而 f (x2) = (x2 -2)ex2 +a(x2 -1)2 = 0 ,所以f (2 - x2) = -x2e f-(x2 - 2)e 2.2 xx.2 x x及 g(x)=xe(x2)e ，則 g (x) = (x 1)(e-e ).所以當 x>1 時，g(x) <0,而 g(1) = 0 ,故當 x >1 時，g(x