初等多值函數(shù)

1、初等多信函數(shù)1.根式函數(shù)定義2.9 設(shè) x ,規(guī)定根式函數(shù) 即二板為幕函數(shù)Z二M的反函數(shù).(1根式函數(shù)為多值函數(shù)，它不是解讀函數(shù).對(duì)于每一個(gè)確定的X ,都有四個(gè)不同的回與之對(duì)應(yīng)，即有H目因?yàn)楦胶瘮?shù)是多值函數(shù)，所以，它不是解讀函數(shù).(2根式函數(shù)在從原點(diǎn)起沿正實(shí)軸剪開的復(fù)平面上可分出回個(gè)單值函數(shù).設(shè)函數(shù)為多值函數(shù)，若當(dāng)變點(diǎn) 回從起始點(diǎn)回出發(fā)繞一條包圍點(diǎn)國(guó)的簡(jiǎn) 單閉曲線連續(xù)變動(dòng)一周再回到起始點(diǎn) 3時(shí)，函數(shù) 回從一個(gè)支變到另一個(gè)支, 則稱點(diǎn)圖為函數(shù) 回 的支點(diǎn).2T7b2uF5b9b5E2RGbCAP(3根式函數(shù)匚與的每個(gè)單值支在從原點(diǎn)起始沿正實(shí)軸剪開的復(fù)平面上為解讀函數(shù).根式函數(shù)州二問(wèn)二*k *伏

2、=0工*-1)它是一個(gè)多信函數(shù)，出現(xiàn)多值性的原因是由于 2確定后，其幅角并不唯一確定 可以相差2套的整數(shù)倍).為分出單值解讀分支，在2平面上從原點(diǎn)。到00引一 條射線，將2平面割破，割破了的2平面構(gòu)成一個(gè)以此割線為邊界的區(qū)域 G .在 G內(nèi)隨意指定一點(diǎn)Z。，并指定2。的一個(gè)幅角值，則在G內(nèi)任意的點(diǎn)工,皆可根 據(jù)h的幅角依連續(xù)變化而唯一確定£的幅角.假定從原點(diǎn)其割破負(fù)實(shí)軸，C是G內(nèi)過(guò)力的一條簡(jiǎn)單閉曲線，即C不穿過(guò)負(fù)實(shí)軸，它的內(nèi)部不包含原點(diǎn) 2 = 0,則當(dāng)變點(diǎn)2從2。其繞C 一周時(shí)，2的象點(diǎn)螺二修"各畫出一條閉曲線片而各回到它原來(lái)的位置. 因此，在區(qū)域G內(nèi)可得到物的并個(gè)不同的

3、單值連續(xù)分支函數(shù)二賄QEG),狂 Q12 力-1)利用極坐標(biāo)形式的柯西一黎曼條件，可以證明，這力個(gè)分支函數(shù)在區(qū)域G內(nèi)是解讀的，且有d_ 1初t(zcG),優(yōu)=OJZ ”1)在上面分出w二% 的單值解讀分支過(guò)程中，有一個(gè)重要的基本概念：支點(diǎn)比如原點(diǎn)z=0.在此點(diǎn)的充分小鄰域內(nèi)，作一個(gè)包圍此點(diǎn)的圓周 r,當(dāng)變點(diǎn)z從 上一點(diǎn)出發(fā)，繞r連續(xù)變動(dòng)一周而回到其出發(fā)點(diǎn)時(shí)， 也 從其一支變到另一支 具有這樣性質(zhì)點(diǎn) 2二0稱它為物 的支點(diǎn)，同理N = r也是 物的一個(gè)支點(diǎn).用來(lái)割破之平面，借以分出 物的單值解讀分支的割線，稱之為支割線 .取 負(fù)實(shí)軸為支割線而得出的 丹個(gè)不同的分支，其中有一支在正實(shí)軸上取正實(shí)值

4、的， 稱 為 物 的 主 值 支 即.9曲)廣明小匕元<8 <元)下面以印二能為例，來(lái)闡明有關(guān)多值函數(shù)的基本概念.(i>.二正 是 多 信 函 數(shù)由3=痣得/=工，令田，z =，則有p=fr , 30=8+2后4， k = 0,1,2,-由此可得w的模與z的模一一對(duì)應(yīng)，而對(duì)應(yīng)著每個(gè) 9 ;有三個(gè)不同的值(主值幅角>g外2箱6H4比研=W ， 啊= ， 仍= 故日產(chǎn)+=升我+4天也=知行 ? , viTj = re $ t 嗎 =re ?所 以 ： 時(shí)二名 是 多 信 函 數(shù)(ii>.單值分支對(duì)于同一 z值的三個(gè)w值的模相同，而幅角成公差為3的一個(gè)等差級(jí)數(shù).2je如

5、果在w平面上作一個(gè)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，張角為3的角形區(qū)域那么函數(shù)N二四就建立了 z1 (0 < arg'w? < -)3 ,而規(guī)定w在區(qū)域I上取值,16 / 17例如在z平面上區(qū)域噪”)充上任取一點(diǎn)(吃0),函數(shù)W二正在區(qū)域I上有唯一的點(diǎn)印二岳寫與之對(duì)應(yīng).對(duì)7 = 來(lái)說(shuō)，在w平面上區(qū)域I ,能使 不同的w值對(duì)應(yīng)于z平面不同的z值，這樣的區(qū)域稱為3二W%的單葉性區(qū)域.同理，對(duì)于z平面上區(qū)域°<arN<24上任取一點(diǎn)S6),在區(qū)域v V/ 24打、ttt47r* *(y argw)7JJ(< argw <2?r)? /33和區(qū)域 3上，函數(shù)w =分別

6、確定了唯f?+4t一的點(diǎn)Jw = re 33和3與之對(duì)應(yīng)，區(qū)域II, III 都是？ = w的單葉性區(qū)域.若區(qū)域I, II, III 分別加上相鄰,2上(0 4 argti? < )的端邊構(gòu)成3,(工 argw < )III ( 4 argw < 加)t f t33,3,當(dāng)用三個(gè)角形八改"把 w平面布滿后，一個(gè)多信函數(shù)小二版劃分成了三個(gè)單值分支：日產(chǎn)+口升產(chǎn).4升= fre t 豫二 re 3,%=re 3八 K KT分別為一個(gè)單值分支的值域，而此時(shí)有：0匕0 二/£<2比.(iii>. 支點(diǎn) 2T7b2uF5b9p1EanqFDPw在Z平面上

7、選定一點(diǎn)二小,相應(yīng)叩二叫=步七* （取第一支 >,再讓點(diǎn)（滬 在Z平面上沿一閉合曲線，按逆時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)變化，如果這條曲線不包含原點(diǎn) （如圖曲線。>,則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)回到原來(lái)位置時(shí)，連續(xù)變化的幅角也回到原來(lái)的值，相應(yīng)的W也回到原來(lái)的小】，但如果這條閉曲線內(nèi)部包含原點(diǎn)，（如圖曲線C>,那 么當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蚶@一整圈回到原來(lái)位置時(shí)，z的幅角就要增加2形，成為£上+沏外2 j與此相應(yīng)的w值就從嗎"游”變到叼二游.從以上分析 可得，對(duì)于函數(shù) 川二也來(lái)說(shuō)，z=0點(diǎn)具有這樣的性質(zhì)，當(dāng)z繞它轉(zhuǎn)一整圈回到 原處時(shí)，多信函數(shù) .二杳 由一個(gè)分支變到另一個(gè)分支，這個(gè)點(diǎn)就稱為多信函 數(shù)

8、w二郎 的支點(diǎn).一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè)多信函數(shù)，存在這樣的點(diǎn)，當(dāng)自變量 Z繞它運(yùn)動(dòng)一周而回到原處，多信函數(shù)并不回到原值，而由一個(gè)分支變到另一 個(gè) 分 支， 這 樣 的 點(diǎn)， 叫 支 點(diǎn).再看無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，對(duì)于第二屹，令z繞無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)運(yùn)行一周，繞無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)運(yùn) 行是指：由于復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)著復(fù)數(shù)球的北極，如果在復(fù)數(shù)球面上作 一個(gè)小圓環(huán)繞北極，這個(gè)圓就對(duì)應(yīng)著復(fù)數(shù)平面上一個(gè)很大的圓，因此，繞無(wú)窮 遠(yuǎn)點(diǎn)支行一周是指在復(fù)數(shù)平面上沿很大的圓運(yùn)行一周.顯然z沿很大的圓繞一周，由一個(gè)分支變成另一個(gè)分支，所以無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)也是函數(shù) 訓(xùn)=事的支點(diǎn).這個(gè) 函 數(shù) 再 沒(méi) 有 其 它 支 點(diǎn) 了.£從以上分析可得，當(dāng)z沿

9、支點(diǎn)轉(zhuǎn)一周時(shí)，w二專由由二仍2 M變成必二劉 ,即由前一個(gè)分支變成后一個(gè)分支，再轉(zhuǎn)一周， 函數(shù)，不像多值的實(shí)變函數(shù)，如 石可分解為獨(dú)立的 石和一 JF (iv>.*4 皿 變成,所以，復(fù)變多信函數(shù)不能分解成三個(gè)獨(dú)立的單值支割線為了把多信函數(shù)分解為獨(dú)立的單信函數(shù)，我們必須作支割線.在Z平面上從支點(diǎn)Z=0到支點(diǎn) "8任意引一條射線，稱為支割線，將 Z平面割開，并規(guī)定當(dāng)Z連續(xù)變化時(shí)，不得跨越支割線，即規(guī)定,這就使得在割開的Z平面上的任意閉曲線不含支點(diǎn)£二°，8在內(nèi)，這樣相應(yīng)的函數(shù)值也只能在 w平 面上的一個(gè)單值分支上取值，而不會(huì)由一支變到另一支，這樣就將多信函數(shù)

10、的二蘋的三個(gè)單值分支完全分開了，即就將多值函數(shù)變成了獨(dú)立的單值函數(shù).注意：把一個(gè)多信函數(shù)劃分為單值分支是與支割線密切相關(guān)的，對(duì)不同的 支割線，多值函數(shù)各單值分支的定義域和值域也就不同.例如：i ).當(dāng)沿正實(shí)軸割開的 z平面時(shí)，川二狙的三個(gè)單值分支為，定義域：值域?yàn)橛?游/口 外膽吟,£空2打4外必二沅 3,仁士 4邛= 名 "名“< 2 用ii ).當(dāng)沿負(fù)實(shí)軸割開的z平面時(shí)，三個(gè)單值分支為，定義域:-yr <argZ <?r件需范, .S+4T”>P3 = g2 3 冗-3rg 第 < -y,其它情況可類似得到.2T7b2uF5b9DXDiTa

11、9E3d例 設(shè)川二，確定在沿正實(shí)軸割破的Z平面上，并且*=葉=一，求卬(7>?分析：本題求解的關(guān)鍵在于確定究竟取三個(gè)單值分支中的哪一支.確定的方法是：首行根據(jù)支割線的形式確定定義域與值域，然后由已知條件,確定取哪一支.解：由于是沿正實(shí)軸割破的Z平面上，所以定義域?yàn)椋嚎?.成釬<2加(相應(yīng)的三個(gè) 單 值 分 支 的 值 域 就 確 定了>347r37r產(chǎn)由于M)=r = ，因此丁亍07r故應(yīng)取第三支嗎二方e"3 門3，不r = 1 ? 5又，故2.斗+4rr/、 3K 牛 U 11 J? 1一 w(T)=守匕 s = e 0 = cos/r + i sin-rr =-

12、 -i6622.(v>. 支 割 線 可 分 為 兩 岸每個(gè)單值分支在支割線兩岸取不同的值，在支割線上不連續(xù).如在沿負(fù)實(shí)產(chǎn)軸割開在Z平面上單值分支 嗎=*，從負(fù)實(shí)軸上方趨于負(fù)實(shí)軸上，w 。)時(shí)，叫取衽”.從負(fù)實(shí)軸下方趨于負(fù)實(shí)軸上£=一工6>。)(vi>.三個(gè)單值分支在割破的z平面上都是解讀的，且：對(duì)于一般的根式w = 可進(jìn)行類似的討論，此時(shí)支點(diǎn)為Z=&和”81 %-(z-ay.2T7b2uF5b9RTCrpUDGiT例 設(shè)W 二“確定在從原點(diǎn)z = 0起沿負(fù)實(shí)軸割破了的z平面上且W二r ,試求解設(shè)由,二：之值.2 = r*,則取=后 3 rk= 0,1,2&

13、lt;6代入得2T7b2uF5b95PCzVD7HxA2.對(duì)數(shù)函數(shù)定義2.10 規(guī)定對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).即若& =2(Z H 0他則復(fù)數(shù) W 稱為復(fù)數(shù) 2 的對(duì)數(shù)，記為 W二加2 .為求川二族的表達(dá)式，令2 = F* , W=M + W ,則有u也因 而"lnsM+2般伏= l±L)故Lm - In r+:(+2te) (k - 0+1/ jLnz = ln|+L4z,gz =ln|z|+i(arg + 2te)這說(shuō)明對(duì)數(shù)函數(shù)L泣是無(wú)窮多值的多值函數(shù).在2平面上從原點(diǎn)z = 0起割破負(fù)實(shí)軸的區(qū)域內(nèi)，可以得到加二上次 的無(wú)窮多個(gè)不同的單值解讀分支：吸=(L砌

14、= In 口+泅+2反(z e 6法=0+1, -)其主值支為用=Lz = (£M(j二In目+1迎2 .每支相同的導(dǎo)數(shù)2T7b2uF5b9jLBHrnAILg對(duì)數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)，從而，它不是解讀函數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)：設(shè) LJ例設(shè)a>QLna = In a + 2km ,(k - 0,士L )；Ln(-a) = M a + (2上 + l)m,(上= 0,±1,)； ln(-D = In 1 + 必=就，i =唐必-& 2=宮&，(匯二 O,±L)例計(jì)算 ri .解<可：整數(shù))例計(jì)算wl .解：I X I 園為整數(shù))例試求方程二|的

15、解.解 因?yàn)?3 ，所以，由對(duì)數(shù)函數(shù)主支的定義有 即 所 給 方 程 的 解 為 國(guó) .若限定4中取arg巴（玄M argz 幻，則z的對(duì)數(shù)只有一個(gè)，稱它為 中 的 主值支，記為"= |z|+/argz.£超二£" + i2kmk = 0+ ±2,-單 值 分 支、 支 點(diǎn)、 支 割 線在w平面上，用平行于實(shí)軸的直線，劃出一個(gè)寬為2跖的帶形，如 晨-”廿工"），而規(guī)定w在帶形i中取值，則叩=工”給出z平面與w平面 上帶形I的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.帶形I是2=它的單葉性區(qū)域加一條端邊.用 "d的互不相交的帶形把 w平面布滿后，每個(gè)帶形

16、就是對(duì)數(shù)函數(shù) 卬二中 的 一 個(gè) 相 應(yīng) 分 支 的 值 域.對(duì)數(shù)函數(shù)只有兩個(gè)支點(diǎn)。刀，從0點(diǎn)到8點(diǎn)作支割線，即可得到工遙在這 割破的 z 平面上的無(wú)窮多單值分支.=jj + K。+ 2左”）一左二 0,±l）±2j 無(wú)窮多個(gè)單信函數(shù)都是解讀函數(shù)，且：（lnz - 方= 0+1+2Z運(yùn)算法則胃口）=上*二1十上.£?,4（4 = 中*22=fiLz ! Lxfz =riifKnCIB但再不成立.2T7b2uF5b9xHAQX74J0X3 . 一股幕函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)定義2.11 EJ < 口 為復(fù)常數(shù)）稱為四的一般幕函數(shù).定義2.12< 口 為復(fù)常數(shù)）

17、稱為一般指數(shù)函數(shù).例求 '和'的值.解:解讀分支.函 數(shù)<2.24 )項(xiàng)式 、例考 查 下 列(a>(b>解 <a)作一條內(nèi)部含0但不含1的簡(jiǎn)單閉曲線函 數(shù) 有 哪 些 支 點(diǎn)J二而小。,當(dāng)£沿0正方向繞行一周時(shí)，2的輻角得到增量2冗從1-Z的輻角沒(méi)有改變，即A d arg £ = 2幾arg(l-z) = Ac;arg(z-l)=O而4 .具有多個(gè)有限支點(diǎn)的多信函數(shù)對(duì)具有多個(gè)有限支點(diǎn)的多信函數(shù)，我們不便采取限制輻角范圍的方法，而是求出該函數(shù)的一切支點(diǎn)，然后適當(dāng)連接支點(diǎn)以割破2平面.于是在£平面上以此割線為邊界的區(qū)域G內(nèi)就能

18、分出該函數(shù)的單值<1)討 論的支點(diǎn)，其中P是M次多P(Z)二私-(2-冊(cè)戶%勺，”'凡是尸的一切相異零點(diǎn)，與你111向分別是他們的重?cái)?shù)，滿足為 +% +*"+cts = N q,打gargz + ACt arg(l-z) = g2冗 + 0=故了的終值較初值增加了一個(gè)因子即二-1 ,發(fā)生了變化，可見(jiàn)0是/二/(1)的支點(diǎn).同理 1 也是其支點(diǎn).任何異于0, 1的有限點(diǎn)都不可能是支點(diǎn).因若設(shè)C是含a (mQ,D但不含 0,1 的 簡(jiǎn) 單 閉 曲 線， 則c arg/(M)= 3rgM+ c 斗。-工)】= 10 + 0 = 0故一 的終值較初值增加了一個(gè)因子g"

19、 = 1 ,未發(fā)生變化.最后？ 二 00不是/二而二分的支點(diǎn).因若設(shè)C含0, 1的簡(jiǎn)單閉曲線，則 arg/(z) = iAcargz + Ac arg(l-z)=2死 + 2 處=2H故/的終值較初值增加了一個(gè)因子產(chǎn)=1 ,未發(fā)生變化.<b) /=W。-£)可能的支點(diǎn)是0, 1, M.設(shè)CqG，C分別是含0但不含1,含1但不含0,和既含0又含1的簡(jiǎn)單閉曲線，則0綃g/g)=Aq 亞g + Aq arg。- ？)12=-2 + 0 = q 貨Aq arg/W=AC| argz+A。arg(l-z)1210 + 2 = 1結(jié)果/的終值較初值均發(fā)生了變化.故0, 1, 3都是支點(diǎn)，此

20、外別無(wú)支點(diǎn)對(duì)函數(shù)二爐齒作類似的討論，可得如下結(jié)論：<a ）可能的支點(diǎn)是”.<b ）當(dāng)且僅當(dāng)月不能整除因時(shí)，%是頓豆的支點(diǎn)； <c）當(dāng)且僅當(dāng)月不能整除M時(shí)，3是府行的支點(diǎn)；<2 ） 由已給單值解讀分支的初值/（馬）,計(jì)算終值f （%）. 因=1/。）產(chǎn)3=/（%） /畫sF占卜哼出】*«*«川 =1 %）|戶刖加.戶8內(nèi)）其中C為從4到的有向曲線 <不穿過(guò)支割線），。迎/與迎人融的 取值無(wú)關(guān)， 延/） 可以相差 2元的整倍數(shù). 例 試說(shuō)明八分=張（1 一力在將£平面適當(dāng)割開后能分出三個(gè)解讀分支.并求出 在點(diǎn) 2 = 2 取負(fù)值的那個(gè)分支

21、在 2 = 1 的值 解 易知/二依二的支點(diǎn)是0, L 3 .因此，將Z平面沿正實(shí)軸從0到1 割開，再沿負(fù)實(shí)軸割開.在這樣割開后的2平面G上，£）=斗。-£）能分出三 個(gè)解讀分支.現(xiàn)取一條從 = 2到二的有向曲線C <不穿過(guò)支割線）,則Ac argz = p Acarg（l-z） = y乙是X 或g/3)= Acar5z + Acafg(l-z)又 由 題 設(shè)， 可 取 熊/二用 . 故 得3 靄了二行9/小二-出聲.<3)關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的已給單值解讀分支 M 了,我們可以借助下面的公式 來(lái) 計(jì) 算 它 的 終 值：In/(引二In |/(za)|4iarg/(z

22、a)=5 I /)| 樹利 /(za)- arg - + atg/即一 i. k ,其中C是一條連接起點(diǎn)4和終點(diǎn)4且不穿過(guò)支割線的簡(jiǎn)單曲線；arg/Qi)是滿 足條件那一支在起點(diǎn)4之值的虛部，是一個(gè)確定的值. 例 試說(shuō)明加° 一/)在割去“從-1至的直線段”，“從i到1的直線段”與 射線“工二。且7之1”的z平面內(nèi)能分出單值解讀分支.并求2 = 0時(shí)等于零的那 一支在n = 2的值.解加(1 一r) 的支點(diǎn)為 Z二±1, 3.這是因=ln(l-z)+ln(l+z) 當(dāng) 變 點(diǎn) £ 單 繞 2 = 1 一 周 時(shí) ， c argfl-z)= 2元 Ac arg(l+

23、z) =0故ln(l)的值增加了 癡,%+z)的值未改變，從而，%一-)的值增加了 2口,從一支變成另一支.故2=1是支點(diǎn)，同理2=一1， 00也都是支點(diǎn)，此外 無(wú)其它支點(diǎn).故篇(Iz)在割去“從-1至N的直線段”，“從i到1的直線段” 與射線“ x二Q且721 ”的2平面內(nèi)能分出單值解讀分支.現(xiàn)設(shè)C是一條連接起點(diǎn)位二0和終點(diǎn)出工2且不穿過(guò)支割線的簡(jiǎn)單曲線.則Acars(l-z2) = Acarg(l+z)(l-z) =Acargfl+) +AC argfl-z) =0 +密=用故In /(z3) = In I /(za)|+iAc arg/(z) + iarg - 二 In | (1 一 2

24、)| +工m +iO = In 3+1笈這 就 是 所 要 求 之 值.5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù) 2T7b2uF5b9LDAYtRyKfE由于三角函數(shù)可用指數(shù)函數(shù)表示，可預(yù)見(jiàn)反三角函數(shù)可用指數(shù)函數(shù)的反函 數(shù)一一對(duì)數(shù)函數(shù)表小，先來(lái)看反正切函數(shù)： 用 記 號(hào)二？ktmz愉川二2的解的總體.稱之為反正切函數(shù).由上面方程可解得反正切的表達(dá)式.因上面方程此 得 反 正 切垢1+這1-IZ函 數(shù) 的有一 丁 1+ZZ = Ln1-iz表 達(dá) 式,1 T 1+落Arc tan z - d? = 3 1-ez對(duì) 于 反 正 弦 函 數(shù)方 程 可 改 寫 為故我 們 來(lái) 解方程sin o)=z必6=Z方由 此

25、 得 反產(chǎn)_加河_1=0, 婢二影+ J1 - /= £月(卷 +W - 一遼依0Z + Ji - )的 表 達(dá) 用Arc sin z = -iLn + Jl - d)同 理 可 得 反Arc cos z - -iLn+)反三角函數(shù)都是無(wú)窮多信函數(shù)，分出單值解讀分支的方法與前面的討論類似求 反 正 弦 力化即2Bresin 2 = 一必 ±、但)=-iLn (2 ±= -jta(2±) + -i + 2bn2= (- + 24>-3 1n(2±V3),2d.±L±2,)求2 c三】，1Arctan( 二一一£制(一一) 23i =-(In + 笈 i + 2fcr i)J 八 ln3(F 尢)竄 + ?222T7b2uF5b9Zzz6ZB2Ltk3=0,±