勾股定理的證明及應(yīng)用

1、s, a. geomery eappiolk owbem of kge e gra dhigt mviaw cnieg ,(< ". vlges shapemnus" a"2 ix_ic_ "voimeeric copisp erm aos" Td area cmbinalo ”i Icesaea suaoagory fPtmnMklowk n wr dge 3) blmSce DC nte 11 aaaao. t.oepgs ”' pob "do ”, a. cone jj t. io sdim_ intoru f-

2、fca coe"ceaaaasueme so - aidu.sa sdfmnsieimenshptm m h - is , mysUidnuKeauuan.*a»ze12e, - . ,vume ,w、"adrae(O>d2cmmony-ed.euisa ndieireiai oS"sS'"«wihame ementu"，"ja n.ome”.2a n.poymeh.3andOmelodadpHymeiid” si pmeasueme ""e”.".“imueme”a n

3、.esima-16a n.sibe c：勾股定理的證明及應(yīng)用【重點(diǎn)】：國(guó)學(xué)習(xí)勾股定理的文化背景，欣賞歷史上經(jīng)典的勾股定理證明方法，體會(huì)其蘊(yùn)含的創(chuàng)新思 維，初步運(yùn)用勾股定理分析處理具體問(wèn)題【難點(diǎn)】：國(guó)通過(guò)圖示欣賞，還原推測(cè)圖示所含的證明方法【勾股文化學(xué)習(xí)】勾股定理是歐式平面幾何的一個(gè)核心結(jié)果，是三角學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，與“黃金分割” 一起被 開普勒稱為“幾何學(xué)兩個(gè)寶藏"。它在R3的三條邊之間建立了固定關(guān)系，使人們對(duì)原來(lái) 幾何學(xué)的感性認(rèn)識(shí)精確化，其中體現(xiàn)出來(lái)的“數(shù)形統(tǒng)一”的思想方法，啟發(fā)了人類對(duì)數(shù)學(xué)的 深入思考，促成了解析幾何與三角學(xué)的建立，使數(shù)學(xué)的兩大門類代數(shù)和幾何結(jié)合起來(lái)，許多 大科學(xué)家都認(rèn)

4、為勾股定理以及處理數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)方法深深地影響了現(xiàn)在許多學(xué)科的思考模式。千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鷲，其中有著名的數(shù)學(xué)家、畫家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好 者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾?又簡(jiǎn)單又實(shí)用，更容易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。1940年出版過(guò)一本名為畢達(dá)哥拉斯命題的勾股定理的證明專輯，其中收集了 367種不同的證明方法。 實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國(guó)清末數(shù)學(xué)家華翻芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無(wú)法比擬的。在西方國(guó)家，一般稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯（前 500）定理，因?yàn)?/p>

5、人們相信是畢達(dá)哥拉 斯最早提出并證明了這一定理。并且據(jù)說(shuō)，他在發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論時(shí)，欣喜若狂，殺牛百只以供 奉神靈。因而這一定理又有了 “百牛定理”的稱法。在法國(guó)和比利時(shí)這個(gè)定理被稱為“驢橋定理”。在中世紀(jì)的阿拉伯國(guó)家和印度，這一定理還有一個(gè)綽號(hào)，叫“新娘圖”。至于綽號(hào)由來(lái)，現(xiàn)代人眾說(shuō)紛紜，莫衷一是。在我國(guó)以前也稱這一定理為畢達(dá)哥拉斯定理。五十年代初，曾展開過(guò)關(guān)于這一定理命名的討論。有人主張叫“商高定理”。因這一結(jié)論的在我國(guó)最早是由西周初的商高提出的。在數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)（前1世紀(jì)）一書中，記載有商高（前 1120）與周公的對(duì)話，其中商高提出了 “勾三股四弦五"的說(shuō)法。不過(guò)據(jù)推斷，他還只是了

6、解三邊滿足3: 4: 5關(guān)系的特例情況，普遍性的結(jié)論，由陳子（前716）提出。 他說(shuō)：“勾股各自乘，并而開方除之” 這是普遍 勾股定理在我國(guó)的最早記載。故有人主張應(yīng)稱為“陳子定理”。后來(lái)決定不用人名，而稱為“勾股定理”。單就名稱之多，勾股定理就可創(chuàng)下一項(xiàng)平面幾何之最了。今天有人戲稱，勾股定理為宇宙大定理，因?yàn)楝F(xiàn)在看來(lái)，世界上各民族都在差不多接 近的時(shí)間內(nèi)獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理及其逆定理。目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星 球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號(hào)，如地球上人類的語(yǔ)言、音樂(lè)、各種圖形等。據(jù)說(shuō)我 國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一

7、定會(huì)識(shí)別這種“語(yǔ)言”的。勾股定理在每一個(gè)時(shí)代都會(huì)被當(dāng)代的精英們給出新的內(nèi)涵外延，從柏拉圖尋求不定方程 通解到費(fèi)馬大定理，到今天的分形勾股樹（如右上兩圖），每每讀到這些智慧的創(chuàng)造都會(huì)讓人神往。nato -aphi lr dge 3)r pfsod sce D_ nte Isucmod .ndvOit a i, 2,1" u.i sz v , vum , weght ad rae (Omied | cmmoy use -e unis and lei eai os-s Sightly a me ement uis Zhi，a 1,and o me”. | a nd poy mehod 3

8、and o metod adpoy mehod of .nsi pmsurment dStnne of mehod , and t ，ol mesurmet I a nd e s-ats 16, a nd ”je c：【勾股定理的證明】國(guó)觀察下列圖形，推測(cè)勾股定理的證明方法AHL BC1、下圖是幾何原本（公元前4世紀(jì)前后）中提供的一種證明方法，過(guò) A作 于H延長(zhǎng)交FK于G.可證明：',走力屹的挪-，奧爵通毅證明思路很多，較簡(jiǎn)捷的是過(guò)F作FPLAB于P7 一弋 _1I 7" 口 if易證 FP型 CBAS而可知_工S由二4五/二'S龍席段師而_2、下圖最早是由我國(guó)三國(guó)時(shí)

9、期數(shù)學(xué)家趙爽（東漢末至三國(guó)東吳人）提出的一種證法.該圖叫弦圖，由圖示可知1=4；油+ 0_白尸-a2 +h3、下圖最早是由我國(guó)三國(guó)時(shí)魏國(guó)的數(shù)學(xué)家劉徽（公元三世紀(jì)）為注釋九章算術(shù)時(shí)提出的一種證法“青朱入出圖”由圖示.邊長(zhǎng)為a、b的兩個(gè)正方形，如圖示裁割.M補(bǔ)入 冊(cè)處，N補(bǔ)入M處，Q補(bǔ)入。處4、下圖最早是由古代印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅提出的一種證法. 圖示的裁割線索很清晰，你試試給出解釋.【勾股定理的應(yīng)用】忘1、已知在 ABC中，a, b, c分別是/ A、B B, /C的對(duì)邊，且 a=3, b=4,且b<c。 若c為整數(shù)，則c=3錯(cuò)解：由勾股定理可得。： ：'-分析：上面的解法受“勾三、

10、股四、弦五”的影響，沒有認(rèn)真審題，錯(cuò)在沒有注意到題 目中的三角形是否為直角三角形。正解：b-&<c <8+口，又即 4<c<7, c 為整數(shù)，c為5或6評(píng)述：運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題時(shí)，必須是在直角三角形的條件下，不可不加分析就用勾 股定理來(lái)進(jìn)行計(jì)算。 2、已知：三角形兩邊的長(zhǎng)分別是 5和12,如果這個(gè)三角形是直角三角形，則其第三邊長(zhǎng)為 錯(cuò)解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為 x,則由勾股定理可得：5 +12 = / ,x=13分析：由于此題中己知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，但沒有明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，nato -aphi lr dge 3)r pfsod sce D_ nte Isu

11、cmod .n evilt a i, 2,1" u.i se。, vum , weght a. rae (Omied | cmmoy use -e unis a nd lei eai os-s Sightly a me ement uis Zhi，a 1,a nd o me”. | a nd poy mehod 3 and o metod adpoy mehod ofeainsi pmsurme nt d nc of mehod 1, and t ，oi mesurmet | and es-ats 16, a nd ”，e c：故需要分情況討論正解：當(dāng)x為斜邊時(shí)，x=13;當(dāng)x為直角

12、邊時(shí)，工二 W后故第三邊長(zhǎng)為13或拒。評(píng)述：在運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算時(shí)，一定明確哪條是直角邊，哪條是斜邊，以防止運(yùn)用 不當(dāng)。3、利用勾股定理求線段長(zhǎng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用但 在 RtABC中，/ C=90° ,若 a=7, b=24,則 c=;若 a=5, c=13,則 b=;若 b=15, c=25,貝U a=(2)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為 2也,則此直角三角形的腰長(zhǎng)為 (3) 在直角三角形 ABC中，/ ACB=90 , AC=6 BC=&貝U余邊 AB=, 斜邊AB上的高線長(zhǎng)為。(與面積的結(jié)合)(4)在 RtABC中，/ ACB=90 ,且 c+a=9, c-a=4 ,貝U b=。(

13、5)如果一個(gè)直角三角形有一條直角邊長(zhǎng)為11,另兩條邊長(zhǎng)為自然數(shù)， 則這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是一解析：(1)e 二 25 b 二 12 。二 20(2) 224(3) AB=10, 5(4)： 一二 二一"二,：(5)設(shè)斜邊長(zhǎng)為c,另一直角邊為a,則二121c、a為自然數(shù)c = 121 c-a = L周長(zhǎng)為1324、勾股定理在幾何中的應(yīng)用。施己知： ABC中 AB=AC=20 BC=32, D是 BC上一點(diǎn)，且 ADL AC,求 BD的長(zhǎng)。.s, a. geomeay eappiolk pwbem of kge e gadhigt mviw cni.,(< »gesad

14、eolges shapem)2-isscjaeiyrume t i I o - t" r os、，Tn. area cmbinalo ”i lce oaea suaoagory PrtmlaMklowk n wr dge 3)rev .rsi» screDvi nte esaaaa t.oenes i.v - pdb fOl V,a sbjdcme2,cUumevbw ifsdim_in!sucu i fsq<e_>I_ni ecacmei_!I：_u_eso*ad.Sasdfmnsirimenshptm m h - is , tysu,d_rafee_a,an

15、 ', i,2,", ,vum ,w、"adrae(O>d2cmmonyedtmeuisa ndtheteaiionSiisS"ywihame ementuilsZ"，a ndifmelid|and pilym>e!id3andifm>tid>adpHymeiido - inshi pmeasueme ""e”.".“imueme”a n.esima-16a.”， c：1 m tyi -tina k she -wuvade. . ， ne a .I' a iasewcnent c： a

16、ppiale a i n segpaim>c s ae d pentagdpOalB a on n.ab.aimg wo casa .n( va)a7swes“e s,ad geoee ea pplmicy owbem ofkdge egra dhgt mvew -'. ,(<d>,sadvlg - shapemaarousd"a"a)ix_ic_ "vlmeerCcapeisp erm - atos"，daeacmb natOhenaphi loaeasu ac_、o" Pcbmb_al_c* n wr .3：pwa

17、lm - eDCnte esaaaa t .oepgs igv - pob fOl V,a -e.j - t i oShevaeadint oucu f t fca cmei_Le：_be_u_e so - aidu.sa sdl_ebaknshpl>ewim- ft is-, 11tBs-dnrr»eauae . .*a»zeVe, - . ,vUme ,-.”.“(>><2cmmoyedtmeuisa ndieireiai oS"sS'ht«ame ementu"，hija ndifmelid|and nnm

18、>ehid3andifmetid>ad.”." si pmeasueme ntd_> "”.”.“muemet2a n.estmaes16a n.sibe c：解：過(guò)A作AE，BC于E。BE= EC = BC = 16 AB=AC,2在 RtMBE中，AB=20, BE=16,，二二一二.-.：AE=12故在RtADE中，設(shè) DE=x,則 M?二工月之+D廬= 144+fAD± AC于 A. 口二 CDL 即 144+X+2O* = (16+4 ,解得.：BD=BE-DE=16-9=7評(píng)述：勾股定理是解決直線形中線段計(jì)算問(wèn)題的常用方法，題目中含有

19、直角三角形別忘 記使用，題目中沒有給出直角三角形可以考慮作垂線構(gòu)建直角三角形。5、利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題施(1)平面上有A、B兩點(diǎn)處有甲、乙兩只螞蟻，它們都發(fā)現(xiàn)C處有食物，已知點(diǎn) C在A的東南方向，在B的西南方向。甲、乙兩只螞蟻同時(shí)從 A、B兩地出發(fā)爬向C處，速度都是30cm /min。結(jié)果甲螞蟻用了 2 min ,乙螞蟻2分40秒到達(dá)C處分享食物，試問(wèn)兩只螞蟻原來(lái)所 處地點(diǎn)相距多遠(yuǎn)？解析：首先結(jié)合題設(shè)畫出圖形，C在A東南，則A在C西北；C在B西南，則B在C東北可知/ ACB=90 ,依題設(shè) AC=60cm BC=80cm AB=100cm(2)如圖A B為兩個(gè)村莊，AB BG CD為公路，

20、BD為田地，AD 為河寬，且 CD與AD互相垂直?，F(xiàn)要從點(diǎn) E處開設(shè)通往村莊 A、村 莊B的一條電纜，現(xiàn)在共有兩種鋪設(shè)方案：方案一:D- A- B;方案二： C- BA。經(jīng)測(cè)量得 為5二4色 千米，BC=10千米，/BDC=45 , / ABD=15 。已知：地下電纜的修建費(fèi)為 2萬(wàn)元/千米， 水下電纜的修建費(fèi)為 4萬(wàn)元/千米。求：1）河寬AD（結(jié)果保留根號(hào)）；2）公路CD的長(zhǎng)：3）哪種方案鋪設(shè)電纜的費(fèi)用低 ？請(qǐng)說(shuō)明理由。 解析：過(guò)B作BF± AD交DA延長(zhǎng)線于F在 RtABF中可知/ BAF=60° , AB= 4也BF=6, AF = 2y/j在 RtBFD中，知/ BDF=45DF=BF=6.AD = 6-2和過(guò) B 作 BGL CD G,貝U BG=6 BC=10,有 CG=8DC=CG+DG=14設(shè)CE=x,則方案一、二費(fèi)用分別為M二 2(14 - 1+4褥 +4(6 - 2 后)=52 - 2工必二2(4+10+4及23+20 +油由K乃可解得x<8-芯 .當(dāng)8-6<CE< 14時(shí)，方案一較省當(dāng)0V C