初中數(shù)學動點問題及練習題附參考答案

1、初中數(shù)學動點問題及練習題所謂“ 動點型問題 ”是指題設圖形中存在一個或多個動點 , 它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目 . 解決這類問題的關鍵是動中求靜, 靈活運用有關數(shù)學知識解決問題 . 關鍵 : 動中求靜 .數(shù)學思想： 分類思想 函數(shù)思想方程思想數(shù)形結合思想轉化思想注重對幾何圖形運動變化能力的考查。從變換的角度和運動變化來研究三角形、 四邊形、 函數(shù)圖像等圖形， 通過“對稱、 動點的運動”等研究手段和方法， 來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質及圖形變化， 在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。 選擇基本的幾何圖形， 讓學生經歷探索的過程，以能力立意，考查學生的自主探究能力，促進培養(yǎng)學生解決問題的

2、能力圖形在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。 在變化中找到不變的性質是解決數(shù)學“動點”探究題的基本思路, 這也是動態(tài)幾何數(shù)學問題中最核心的數(shù)學本質。這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學生的分析問題、解決問題的能力，內容包括空間觀念、應用意識、推理能力等從數(shù)學思想的層面上講： （ 1）運動觀點； （ 2）方程思想；（ 3）數(shù)形結合思想；（ 4）分類思想；（ 5 ）轉化思想等研究歷年來各區(qū)的壓軸性試題， 就能找到今年中考數(shù)學試題的熱點的形成和命題的動向， 它有利于我們教師在教學中研究對策， 把握方向 只的這樣， 才能更好的培養(yǎng)學生解題素

3、養(yǎng)， 在素質教育的背景下更明確地體現(xiàn)課程標準的導向 本文擬就壓軸題的題型背景和區(qū)分度測量點的存在性和區(qū)分度小題處理手法提出自己的觀點專題一：建立動點問題的函數(shù)解析式函數(shù)揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律 , 是初中數(shù)學的重要內容動點問題反映的是一種函數(shù)思想, 由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化引起未知量與已知量間的一種變化關系 , 這種變化關系就是動點問題中的函數(shù)關系.那么 , 我們怎樣建立這種函數(shù)解析式呢 ?下面結合中考試題舉例分析 .一、應用勾股定理建立函數(shù)解析式。二、應用比例式建立函數(shù)解析式。三、應用求圖形面積的方法建立函數(shù)關系式。專題二：動態(tài)幾何型壓軸題動態(tài)幾何特點 問題背景

4、是特殊圖形， 考查問題也是特殊圖形， 所以要把握好一般與特殊的關系；分析過程中，特別要關注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置。 ）動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、 線段或面積的最值。 下面就此問題的常見題型作簡單介紹， 解題方法、關鍵給以點撥。一、以動態(tài)幾何為主線的壓軸題。（一）點動問題。 （二）線動問題。 （三）面動問題。二、解決動態(tài)幾何問題的常見方法有:1、特殊探路， 一般推證。 2、 動手實踐， 操作確認。3、建立聯(lián)系，計算說明。三、專題二總結，本大類習題的共性：1代數(shù)、幾何的

5、高度綜合（數(shù)形結合） ；著力于數(shù)學本質及核心內容的考查;四大數(shù)學思想：數(shù)學結合、分類討論、方程、函數(shù).2.以形為載體，研究數(shù)量關系；通過設、表、列獲得函數(shù)關系式；研究特殊 情況下的函數(shù)值。專題三：雙動點問題點動、線動、形動構成的問題稱之為動態(tài)幾何問題.它主要以幾何圖形為載 體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題.這類題綜 合性強，能力要求高，它能全面的考查學生的實踐操作能力， 空間想象能力以及 分析問題和解決問題的能力.其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為今年 中考試題的熱點.1以雙動點為載體，探求函數(shù)圖象問題。2以雙動點為載體，探求結論開放性問題。3以雙動點為載體，探

6、求存在性問題。4以雙動點為載體，探求函數(shù)最值問題。雙動點問題的動態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學的熱點題型.這類試題信息量大 對同學們獲取信息和處理信息的能力要求較高；解題時需要用運動和變化的眼光 去觀察和研究問題，挖掘運動、變化的全過程，并特別關注運動與變化中的不變 量、不變關系或特殊關系，動中取靜，靜中求動。專題四：函數(shù)中因動點產生的相似三角形問題 專題五：以圓為載體的動點問題動點問題是初中數(shù)學的一個難點，中考經?？疾?，有一類動點問題，題中未 說到圓，卻與圓有關，只要巧妙地構造圓，以圓為載體，利用圓的有關性質，問 題便會迎刃而解；此類問題方法巧妙，耐人尋味。例1.如圖，已知在矩形 ABCD中，AD

7、=8, CD=4,點E從點D出發(fā)，沿線段 DA以每秒1 個單位長的速度向點 A方向移動，同時點 F從點C出發(fā)，沿射線 CD方向以每秒2個單位 長的速度移動，當 B,巳F三點共線時，兩點同時停止運動.設點 E移動的時間為t (秒).(1)求當t為何值時，兩點同時停止運動；(2)設四邊形BCFE的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出 t的取值范圍;(3)求當t為何值時，以(4)求當t為何值時，/E, F, C三點為頂點的三角形是等腰三角形;BEC=/ BFC.當M點在例2.正方形ABCD邊長為4, M、N分別是BC、CD上的兩個動點, BC上運動時，保持 AM和MN垂直，(1)證明：RtAA

8、BM sRt/XMCN ；(2)設BM =x,梯形ABCN的面積為y ,求y與x之間的函數(shù)關系式；當 M點運動到什么位置時，四邊形 ABCN面積最大，并求出最大面積；(3)當M點運動到什么位置時 RtAABM c/d RtAAMN ,求此時x的值.例 3.如圖，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD =3, DC =5, AB = 4J2, / B = 45動點M從B點出發(fā)沿線段 BC以每秒2個單位長度的速度向終點 C運動；動點N同時從C點 出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點 D運動.設運動的時間為t秒.(09年濟南中考)(1)求BC的長。(2)當MN / AB時，求t的值.(

9、3)試探究：t為何值時， 4MNC為等腰三角形.例4.如圖，在 RtAAOB中，Z AOB = 90° , OA=3cm, OB = 4cm,以點 O為坐標原點建立坐標系，設P、Q分別為AB、OB邊上的動點它們同時分別從點速度均為1cm/秒，設P、Q移動時間為t (0WtW4)(1)求AB的長，過點P做PM，OA于M ,求出P點的坐標(用 t表不)(2)求 OPQ面積S (cm2),與運動時間t (秒)之間的函數(shù)關系式，當t為何值時，S有最大值？最大是多少？(3)當t為何值時， OPQ為直角三角形？(4)若點P運動速度不變，改變 Q的運動速度，使 OPQ為正 三角形，求Q點運動的速度

10、和此時t的值.A、。向B點勻速運動,動點練習題答案例1.解：(1)當B, E, F三點共線時，兩點同時停止運動，如圖2所示.（1分）由題意可知：ED=t, BC=8, FD= 2t-4, FC= 2t.ED=cr3分）FD ED / BC, FEDA FBC. FC2t -4 t 丘/口-=-.解得 t=4 .2t 8，當t=4時，兩點同時停止運動;（2） ED=t , CF=2t ,S=Sabce+ SaBCF= 1 X 8X 4+1 X 2t X t=16+ t2 .22即 S=16+ t2. （0 <t W4）; （6 分）（3）若EF=EC時，則點F只能在CD的延長線上， EF2

11、= （2t 4）2 +t2 =5t2 -16t +16 ,222222EC =4 +t =t +16, 5t 16t+16 = t +16. . . t=4 或 t=0 （舍去）；若 EC=FC 時，. EC2=42 +t2 =t2 +16 , FC2=4t：，t2+16=4t2.，t =f 73;3若 EF=FC 時，: EF2=（2t 4）2+t2 =5t2 16t+16 , FC2=412, 5t2 -16t +16=4t2."1=16+8百（舍去），t2= 168百. 當t的值為4, £石，16-8J3時，以E, F, C三點為頂點的三角形是等腰三3角形；（9分）,

12、一BC CF 一（4）在 RtABCF 和 RtACED 中，/ BCD=/CDE=90 , =2CD ED ' RtABCF RtACED./ BFC= / CED . （10 分）. AD/BC,BCE = /CED.若/ BEC=/BFC,貝U/ BEC=/BCE.即 BE=BC.222- BE =t 16t+80,t 16t+80=64.*16+8內（舍去）,t2=16-85/3 .當 t= 16-8石時，/ BEC=/BFC. （12 分） 例2.解：（1）在正方形 ABCD中，AB = BC=CD=4,2B=/C=90°,7 AM ± MN ,AMN =

13、90°,CMN AMB =90° ,在 RtAABM 中，/MAB +/AMB =90° ,CMN = MAB ,R RtAABM s RtAMCN ,(2) ；RtzABM s Rt/XMCN ,AB BM 4 x " r-? r t-)MC CN 4 -x CN2，CN_ -x 4x 一 ,4_1 -x +4x 一, 1 2._1_2._二 y=S弟形abcn=5 -4+4 '4 = -x +2x+8 = -(x-2)+102 < 4 2 2 2當x =2時，y取最大值，最大值為 10.(3) 7ZB =NAMN =90二要使人人AM

14、AB ABM sAMN ,必須有=MNBM由（1）ABMC '知網MN =MC ,M運動到BC的中點時， AABM sAMN ,此時x = 2.例3.解：(1)如圖，過A、D分別作AK _LBC于K , DH _L BC于H ,則四邊形 ADHK 是矩形KH = AD =3.2在 RtAABK 中，AK = ABlsin 45* = 4«.=42BK = ABLcos45 = 4.2E=42在RtACDH中，由勾股定理得，HC = J52 -42 =3 BC 二BK KH HC =4 3 3=10（圖）（圖） 如圖，過 D作DG/ AB交BC于G點，則四邊形 ADGB是平行四

15、邊形 MN / AB MN / DGBG = AD =3GC =10一3 =7由題意知，當 M、N運動到t秒時，CN=t, CM =10 2t. DG / MNZNMC =/ DGC又/C =/C AMNC sGDCCN CMCD CG即1:357解得，t =5017(3)分三種情況討論:當NC =MC時，如圖，即t =10 2t（圖）DC即1 =511一NC t22當MN = NC時，如圖，過 N作NE _L MC于E /C=/C, 2DHC =NNEC =90立 . NECs/XDHCNC ECHC 5-t 325 8當MN = MC時，如圖，過 M作MF _L CN于F點.FC = .

16、/C =/C, /MFC =NDHC =90° AMFC s/XDHC,FC MCHC DC1t即乙心3560 , , t =17綜上所述，當10 t =33分4分5分6分7分9分 11分12分25 ,60 ,人 、一一,、t=一或t=時，4MNC為等腰三角形817例 4. (1)由題意知：BD=5, BQ=t, QC=4-t, DP=t, BP=5-t. PQ! BC . .BPQsbDC.空=史即5=工. . t = -20BD BC 549-20當1=時，Pci! BC9(2)過點P作PMLBC,垂足為M5 -t PM3 . .BPMsBDC= PM =-(5-t)535c 1.335、 15S = t m (5 -t) =(t -) + 251028515當