直角三角形的邊角關(guān)系回顧與思考教案北師大版(優(yōu)秀教案)

1、般來說，這些實(shí)際問題的很多實(shí)際問題穿插于各節(jié)內(nèi)容直角三角形的邊角關(guān)系回顧與思考教案學(xué)習(xí)目標(biāo)知識與能力目標(biāo)能通過回顧與思考，建立起本章的知識框架圖；能利用計(jì)算器，發(fā)現(xiàn)同角的正弦、余弦、 正切之間的關(guān)系；體會到直角三角形邊角關(guān)系這一數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛的應(yīng)用過程與方法目標(biāo)學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題， 進(jìn)一步感悟三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣 泛應(yīng)用，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.情感與價(jià)值觀要求在獨(dú)立思考問題的基礎(chǔ)上，積極參與對數(shù)學(xué)問題的討論，敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn).并 尊重與理解他人的見解，在交流中獲益；認(rèn)識到數(shù)學(xué)是解決現(xiàn)實(shí)問題的重要工具，提高 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)建立本章的知識結(jié)構(gòu)

2、框架圖；應(yīng)用三角函數(shù)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，進(jìn)一步理解三 角函數(shù)的意義.教具準(zhǔn)備多媒體演示、計(jì)算器教學(xué)過程回顧、思考下列問題，建立本章的知識框架圖直角三角形的邊角關(guān)系，是現(xiàn)實(shí)世界中應(yīng)用廣泛的關(guān)系之一.通過本章的學(xué)習(xí)，我 們知道了銳角三角函數(shù)在解決現(xiàn)實(shí)問題中有著重要的作用.如在測量、建筑、工程技術(shù) 和物理學(xué)中，人們常常遇到距離、高度、角度的計(jì)算問題, 數(shù)量關(guān)系往往歸結(jié)為直角三角形中邊和角的關(guān)系.利用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題是本章的重要內(nèi)容， 之中.問題舉例說明，三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.例：甲、乙兩樓相距，甲樓高，自甲樓樓頂看乙樓頂.仰角為。，乙樓有多高？（結(jié)果精確到）解：根據(jù)題意可知： 乙樓的

3、圖度為。X可“3（）,即乙樓的高度約為.例，為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距的和兩點(diǎn)分別測定對岸一棵樹的位置，在的正南方向，在南偏西。的方向，求河寬（結(jié) 到）.解：根據(jù)題意，/則：就是所求的河寬.在中，X 0即河寬為.師三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用很 下面我們來看一個(gè)例子.典例：如圖.表示某引水工程的一段設(shè) 從到的走向?yàn)槟掀珫|。，在的南偏東。的方 一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓形區(qū)域?yàn)榫用?上的另一點(diǎn)，測得的方向?yàn)槟掀珫|。，已知 過計(jì)算回答，如果不改變方向，輸水路線是 過居民區(qū)？師生共析解：根據(jù)題意可知/0 , / / =。，輸水路線是否會穿過居民區(qū)，關(guān) 的最短距離大于還是等于，于是過作

4、，.垂足為. ./0./ 0/000廣泛,計(jì)路線向上有區(qū)，取=,通否會穿鍵看到在中，/ =在中.ADAD一，=;BD tan 45AD,q,3MD tan30;，即 73 = , ( V3)>400m.所以輸水路線不會穿過居民區(qū).問題任意給定一個(gè)角,例如/生民=) a > 0,5 ?sin 25弋一cos25用計(jì)算器探索這個(gè)角的正弦、余弦、正切之間的關(guān)系. a、a的值是多少？它們有何關(guān)系呢？0我們可以發(fā)現(xiàn)更匚cos：這個(gè)關(guān)系是否對任意銳角都成立呢？我們不妨從 數(shù)的定義出發(fā)來推證一下.師生共析如圖，在中./ = 。 .BCAB三角函AC = AB吟ACsin AcosABC 一 AC

5、AB ABBC AB BC sin A- AB AC AC cosA這就是說，對于任意銳角，/的正弦與余弦的商等于/的正切.卜面請同學(xué)們繼續(xù)用計(jì)算器探索%一可以發(fā)現(xiàn):我們可以猜想任意銳角都有關(guān)系: 師生共析如上圖.匹 ,a a =,你能證明嗎？ACABAB2A2A=22BC2 AC222AB2 AB222BC2 AC2AB根據(jù)勾股定理，得=,2A2A=,這就是說，對于任意銳角，/的正弦與余弦的平方和等于.師我們來看一個(gè)例題，看是否可以應(yīng)用上面的、之間的關(guān)系.已知3 ,求 .5生解：根據(jù)2a2a=.得（23.24=1 - cos A = 1 -（一）554sin A 5 4 .cosA 3 35

6、生我還有另外 一詁解法，用三角函 數(shù)的定義來解.解： = =.A的鄰邊3斜邊 一 5.設(shè)/的鄰邊=.斜邊=.則/的對邊=(5k)2 - (3k)2 -4k./A的鄰邊4k 4.斜邊5k 5. A的對邊 4k 4. A的鄰邊一 3k 3.問題:你能應(yīng)用三角函數(shù)解決哪些問題？銳角三角函數(shù)反映了直角三角形的邊角關(guān)系.凡是屬于直角三角形的問題或可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，都可/ 以用三角函數(shù)來解決.上/3我們知道在直角三角形中，除直角外，有兩個(gè)銳"角.兩條直角邊以及斜邊共個(gè)元素，它們之間的關(guān)系很豐富.如圖：在中，”,/、/、/所對的邊分別為、.() 邊的關(guān)系：(勾股定理)：()角的關(guān)系：/

7、= ;abab a b() 一，一，一； 一，一，一. c c bc c a利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作圖，我們知道：當(dāng)一直角邊和斜邊確定時(shí)，直角三角形唯一確定，即直角三角形的一直角邊和斜邊已知，則直角三角形中其他元素都可以求出.同學(xué)們不妨試一試.例如中，/ = ° .=,求，/及/ 解：,=,根據(jù)勾股定理可得.c2 -a2 =4 .3. a 4 1.二 一 ， c 8 2. / = ° .又.一/ = ° ,問題：是不是只要知道直角三角形除直角外的兩個(gè)元素，其余元素就都可以求出呢 在中，/ =；、分別是/, /、/的對邊.()已知=,=,求，/ ,

8、/ .()已知=,=,求，/ , / .()已知求，/ .解：()根據(jù)勾股定理.Va2 +b2 =$32 +32 =3V2.()根據(jù)勾股定理，得 Vc2 -b2 = J102 52 =5V3,b _ _5_c 一10 一 2()a . X。 J2 , c又,一= 2= X V2 , c實(shí)踐證明，在直角三角形中，已知除直角外的兩個(gè)元素 (至少有一個(gè)是邊)，利用直 角三角形中特殊的邊的關(guān)系、角的關(guān)系、邊角關(guān)系，就可求出其余所有元素.因此，在 現(xiàn)實(shí)生活中，如測量、建筑、工程技術(shù)和物理學(xué)中，常遇到的距離、高度、角度都可以 轉(zhuǎn)化到直角三角形中，這些實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系往往就歸結(jié)為直角三角形中邊和角的關(guān) 系

9、問題.問題:如何測量一座樓的高度？你能想出幾種辦法？第一種：用太陽光下的影子來測 為在同一時(shí)刻，物體的高度與它的影 比值是一個(gè)定值.測量出物體的高度 的影子的長度，再測出高樓在同一時(shí) 影子的長度.利用物體的高度：物體 的長度=高樓的高度，高樓影子的長 可求出高樓的高.T利用二地函融解決文:際問題量.因 子的 和它 刻的 影子 度.便利用第二種：在地面上放一面鏡子，三角形相似，也可以測量出樓的高度.第三種：用標(biāo)桿的方法.第四種：利用直角三角形的邊角關(guān)系求樓的高度.本章內(nèi)容框架：隨堂練習(xí)計(jì)算 ()cos30 -sin 45sin60 -cos45()（）1 -2tan60 tan2 60 -tan

10、60 .如圖，大樓高，遠(yuǎn)處有一塔，某人在樓底處測得卜塔頂?shù)难鼋菫?。，爬到樓頂測得塔頂?shù)难鼋菫?。，求塔高?二& 樓與塔之間的距離（結(jié)果確到.01）.噩/ a解：設(shè)，=，輔/ 在中，。丫，"cx在中.° -ys30 ,x由得=J3,代入得3 3x-30 在 八.J3 .（）. 3 x將=J3 代入 73 V3 xJ3=（）.所以塔高為，大樓與塔之間的距離為.歸納提煉本節(jié)課針對回顧與思考中的四個(gè)問題作了研討，并以此為基礎(chǔ)，建立本章的知識框 植架結(jié)構(gòu)圖.進(jìn)一步體驗(yàn)三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用.課后作業(yè)復(fù)習(xí)題組，一，組.，活動與探究如圖.表示一幢樓，它的各樓層都可到達(dá)；表

11、示一個(gè)建 產(chǎn)號筑 物，但不能到達(dá).已知與地平高度相同，周圍沒有開闊地帶，魅一二工或僅有的測量工具為皮尺（可測量長度）和測角器（可測量仰角、Hi Hi 俯角和兩視線間的夾角）.（）請你設(shè)計(jì)一個(gè)測量建筑物高度的方案，要求寫出測量步驟和必要的測量數(shù)據(jù)（用 字母表示），并畫出測量示意圖：（）寫出計(jì)算高度的表達(dá)式.過程利用測量工具和直角三角形的邊角關(guān)系來解決.這里的答案不唯一，下面只 寫出一種方法供參考.結(jié)果測量步驟（如圖）：用測角器在處測得的俯角a ；用測角器在處測得的仰角B用皮尺測得.() a a a tan P tan 二，tan 二 ，tan ;學(xué)習(xí)是一件增長知識的工作，在茫茫的學(xué)海中，或許我們困苦過，在艱難的競爭中，或許我們疲勞過，在失敗的陰影中，或許我們失望過。但我們發(fā)現(xiàn)自己的知識在慢慢的增長，從啞啞學(xué)語的嬰兒到無所不能的青年時(shí)，這種奇妙而巨大的變化怎能不讓我們感到驕傲而自豪呢？當(dāng)我們在學(xué)習(xí)中遇到困難而艱難的戰(zhàn)勝時(shí)，當(dāng)我們在漫長的奮斗后成功時(shí)，那種無與倫比的感受又有誰能表達(dá)出來呢？因此學(xué)習(xí)更是一件愉快的事情，只要我