輪流出價(jià)的討價(jià)還價(jià)模型

1、輪流出價(jià)的討價(jià)還價(jià)模型納什討價(jià)還價(jià)解是一個(gè)合作博弈模型， 它是由幾個(gè)看起來(lái)合理的 公理導(dǎo)出的結(jié)果，這些公理包括效用測(cè)度的無(wú)關(guān)性 (invariance) 、 帕 累托有效性 (efficiency) 、無(wú)關(guān)選擇的獨(dú)立性 (independence of irrelevant alternatives) 和對(duì)稱性(symmetry)。在實(shí)際的討價(jià)還價(jià) 中，這些公理可能都在背后起作用， 但討價(jià)還價(jià)通常是一個(gè)不斷的 “出 價(jià)一還價(jià)” (offer-counteroffer )過(guò)程。羅賓斯泰英(Rubinstein , 1982)的輪流出價(jià)模型 (alternating offers) 試圖模型化這樣

2、一個(gè)過(guò) 程。在此模型里，兩個(gè)參與人分割一塊蛋糕， 參與人1先出價(jià)(offer), 參與人2可以接受(accept)或拒絕(reject)。 如果參與人 2接受，博 弈結(jié)束，蛋糕按參與人 1 的方案分配；如果參與人 2拒絕，參與人 2 出價(jià)(還價(jià))，參與人 1可以接受或拒絕；如果參與人 1 接受，博弈結(jié) 束，蛋糕按參與人 2 的方案分配；如果參與人 1 拒絕，參與人 1 再出 價(jià)；如此一直下去，直到一個(gè)參與人的出價(jià)被另一個(gè)參與人接受為止。 因此，這是一個(gè)無(wú)限期完美信息博弈，參與人l在時(shí)期1, 3, 5,出價(jià)，參與人2在時(shí)期2, 4, 6,出價(jià)。如同在單階段同時(shí)出價(jià)模 型中一樣(見(jiàn)上一章),這個(gè)博

3、弈也有無(wú)窮多個(gè)納什均衡,但羅賓斯泰英證明，它的子博弈精煉納什均衡是唯一的。我們用x表示參與人1的份額，(1 一x)表示參與人2的份額，X1和 (1 一X1)分別是參與人1出價(jià)時(shí)參與人1和參與人2的份額，X 2和(1xj分別是參與人2出價(jià)時(shí)參與人1和參與人2的份額。假定參與人1和參與人2的貼現(xiàn)因子分別為31和3 2。這樣，如果博弈在時(shí)期t結(jié)束，t是參與人i的出價(jià)階段，參與人1的支付的貼現(xiàn)值是n 1=3 it-1 Xi 出，參與人2的支付的貼現(xiàn)值是n 2=3 2t-1（1-x i）。在討論無(wú)限期博弈之前， 讓我們先來(lái)討論有限期博弈的情況。 如 果博弈的期限是有限的，我們可以使用逆向納歸法求解子博弈

4、精煉納 什均衡。首先假定博弈只進(jìn)行兩個(gè)時(shí)期，在 T=2,參與人 2出價(jià)，如 果他提出x 2=0,參與人1會(huì)接受，因?yàn)閰⑴c人1不再有出價(jià)的機(jī)會(huì)（一 般地，如果參與人在接受和拒絕之間無(wú)差異時(shí)，我們假定他選擇接 受）。因?yàn)閰⑴c人2在T=2時(shí)得到1單位等價(jià)于在t=l時(shí)的3 2單位，如 果參與人1在t=1時(shí)出價(jià)1 一x 1>3 2,參與人2會(huì)接受；因?yàn)閰⑴c人 1 沒(méi)有必要給參與人 2 多于他會(huì)接受的最低份額，子博弈精煉均衡結(jié) 果是參與人1得到x=x 1=1 一 3 2,參與人2得到1 一x= 3 2?，F(xiàn)在假定 T=3,在最后階段，參與人 1出價(jià)，他可以得到的最大份額是x1=1。因?yàn)閰⑴c人I在T=3

5、時(shí)1單位等價(jià)于t=2時(shí)的3 1單位，如果參與人2在t=2出價(jià)x2=3 1,參與人1將會(huì)接受；因?yàn)閰⑴c人 2在t=2時(shí)的（1 一 3 1）單位等價(jià)于t=l時(shí)的3 2（1 一 3 1）單位，如果參與人I在t=l時(shí)出 價(jià)1 一x1=3 2（1 一 3 1），參與人2將會(huì)接受。因此，子博弈精煉均衡 結(jié)果是x=l 一 3 2（1 一 3 1）。假定T=4，參與人 2最后出價(jià)。使用上述 結(jié)果，因?yàn)閰⑴c人 2在t=2時(shí)最大可得（1 一 3 1（1 一 3 2），參與人1 在t=l時(shí)將出價(jià)1 一x1=3 2（1 一 3 1（1 一 3 2），子博弈精煉均衡結(jié)果是 x=1 一 3 2（1 一 3 1（1 一 3

6、 2）。假定T=5,參與人 1最后出價(jià)。因?yàn)閰?與人2在t=2時(shí)最大可得為1 一 3 1（1 一 3 2（1 一 3 J），子博弈精煉均 衡結(jié)果為x=1 一 3 2（1 一 3 1（1 一 3 2（1 一 3 1）。讀者可以使用上述方 法推導(dǎo)出任何給定的Tv*的子博弈精煉納什均衡?，F(xiàn)在讓我們來(lái)看看子博弈精煉均衡結(jié)果與貼現(xiàn)因子3和博弈期限T之間的關(guān)系。從上面的例子可以看出，如果31=3 2 = 0,不論T為多少，子博弈精煉均衡結(jié)果是x=1;就是說(shuō)，如果兩個(gè)參與人都是絕 對(duì)無(wú)耐心的 （下階段的任何支付等價(jià)于本階段的0），第一個(gè)出價(jià)的參與人得到整個(gè)蛋糕。如果32=0，不論3 1為多少，子博弈精煉均衡

7、結(jié)果仍然是經(jīng)=1;但是，如果31=0,3 2>0,子博弈精煉均衡結(jié)果是x=1 一 3 2,因?yàn)槿绻麉⑴c人 2在t=l拒絕了參與人1的出價(jià)，參與人 2在t=2得到整個(gè)蛋糕，但貼現(xiàn)到t=l只值32,參與人2在t=l將接受任何1 一x1>3 2的出價(jià)。在上述幾種情況，均衡結(jié)果與 T無(wú)關(guān)（假定T >2）。現(xiàn)在讓我們考慮另外的情況。假定3 1= 3 2= 1（即雙方都有無(wú)限的耐心），那么，如果T=l , 3, 5,，均衡結(jié)果是x=1;如果T=2, 4, 6,，均衡結(jié)果是x=0。這里，我們得到“后動(dòng)優(yōu)勢(shì)” （last-mover advantage），其原因是，給定3i=1，如果參與人i

8、最后出價(jià)，他將拒絕任何自己不能得到整個(gè)蛋糕的出價(jià), 一直等到博弈的最后階段得到 整個(gè)蛋糕。一般來(lái)說(shuō)，如果 0<3 i<1, i=1 , 2,均衡結(jié)果不僅依賴于貼現(xiàn)因 子的相對(duì)比率，而且依賴于博弈時(shí)期長(zhǎng)度 T和誰(shuí)在最后階段出價(jià)。然 而，這種依存關(guān)系隨T的變大而變小；當(dāng)T趨于無(wú)窮時(shí)，我們得到“先 動(dòng)優(yōu)勢(shì)”：如果3 1=3 2= 3 ,唯一的均衡結(jié)果是 x=1/（1 十3）。這就 是下面要討論的間題。定理（Rubinstein ,1982）:在無(wú)限期輪流出價(jià)博弈中，唯一的子 博弈精煉納什均衡結(jié)果是：X* = 1-心 （如果 32=3, X* =1）1- 3 321+ 3現(xiàn)在讓我們來(lái)證明上

9、述定理。因?yàn)門=x，博弈沒(méi)有最后階段， 我們不可能使用逆向歸納法求解。但根據(jù)薩克德和沙騰（Shaked andSutton ,1984），因?yàn)閺膮⑴c人1出價(jià)的任何一個(gè)階段開(kāi)始的子博弈等價(jià)于從t=l開(kāi)始的整個(gè)博弈，我們可以應(yīng)用有限階段逆向納歸法的 邏輯尋找子博弈精煉均衡。假定在時(shí)期t >3參與人1出價(jià)，參與人1能得到的最大份額是M 因?yàn)閷?duì)參與人1而言，t期的M等價(jià)于t一 1期 的3 1M參與人2知道在t一 1期的任何x 2>3 1M的出價(jià)將被參與人 1 接受，因此參與人 2出價(jià)x 2= 3 1M自得1 一 3 1M；因?yàn)閷?duì)參與人 2而 言，t一 1期的1 一 3 1M等價(jià)于t一 2期

10、的3 2（1 一 3 1M）,參與人1知 道在t 一 2期的任何x 1<1 一 3 2（1 3 1M）出價(jià)將被參與人 2接受，因 此參與人1出價(jià)x 1=1 一 3 2（1 一 3 1M）,留給參與人 23 2（1 一 3 1M）。因?yàn)閺膖 一 2開(kāi)始的博弈與從t開(kāi)始的博弈完全相同，參與人丨在t 一2期能得到的最大份額一定與其在t期得到的最大份額相同，因此我們 有：X1=M=1-3 2（1- 3 1M）解上式得M = 1- 31- 3 32現(xiàn)在假定參與人丨在t期能得到的最小份額為m。因?yàn)閠期的m等價(jià) 于t 一 1期的3 im參與人2在t 一 1期最多得到1 一 3 im因?yàn)閠 一 1 期的

11、1 一 3 1m等價(jià)于t一 2期的3 2（1 一 3血），參與人1在t一 2期至 少得到x 1=1 一 3 2（1 一 3血）。因此我們有：X1 = m= 1- 3 2(1- 3 1m)解上式得：1- 31 - 33因?yàn)閰⑴c人1能得到的最大份額與最小份額相同，均衡結(jié)果是唯 的:1- 31- 3 3因?yàn)閠是任意的，上述證明過(guò)程表明，參與人1的子博弈精煉均衡戰(zhàn)略是：“在t = 1, 3, 5,時(shí)總是要求（1 一 3 2）/（1一 3 13 2），在2=2, 4, 6,時(shí)接受任何大于或等于31（1 一 3 2）/（1 一 3 1 3 2）的份額，拒絕任何較小的份額?！盀榱苏f(shuō)明這一點(diǎn)，注意到：1- 3

12、 一 3（1- 3）=1 -1- 3 3 1- 3 3等式右邊的第二項(xiàng)是參與人 1出價(jià)時(shí)參與人2的份額。如果參與人1 提出更高的要求從而被參與人 2拒絕，參與人2在t十1期要求（1 一3 1）/（1 一 3 1 3 2）（注意對(duì)稱性，此時(shí)參與人2處于參與人1的位置）, 參與人1的支付（貼現(xiàn)值）是：5(1-1-331-3<1-31- 331- 331- 331(1因此提出更高的要求不是最優(yōu)的。同樣，接受任何低于33 2）/（1 3 1 3 2）的份額也不是最優(yōu)的，因?yàn)榈却粋€(gè)階段他就可以得到的份額。類似地，參與人2的子博弈精煉均衡戰(zhàn)略是：“在t = 1, 3, 5, 時(shí)，接受任何大于或等于

13、3 2（1 一3 1）/（1 一3 13 2） ，拒絕任何較小的 份額；在t=2 , 4, 6,時(shí)，總是要求（1 一 3 i）/（1 一 3 i 3 2）的份額?！边@個(gè)博弈當(dāng)然還有許多其他納什均衡。 特別地，下列戰(zhàn)略組合是 一個(gè)納什均衡：“參與人1總是要求x 1 = 1的份額，拒絕參與人2任何 X2<1的出價(jià)；參與人2總是要求1 一X2 = 0,接受參與人1的任何出價(jià)?！?但這個(gè)納什均衡不是子博弈精煉均衡,如果參與人 2 拒絕了參與人 1 的第一次出價(jià)，提出X 2>3 1,參與人1應(yīng)該接受，因?yàn)槿绻芙^的話， 即使他在下一階段拿到整個(gè)蛋糕，也只值31。子博弈精煉均衡結(jié)果是參與人貼現(xiàn)

14、因子 （ 耐心程度 ） 的函數(shù), 這是 羅賓斯泰英模型得到的重要結(jié)論。特別地，給定3 2，當(dāng)3 1? l時(shí)x*=1,即參與人1得到整個(gè)蛋糕；給定3 1,當(dāng)3 2? 1時(shí)，x =0,即參與人2 得到整個(gè)蛋糕。這可以說(shuō)是“耐心優(yōu)勢(shì)” 。直觀地講,有絕對(duì)耐心的 人總可以通過(guò)拖延時(shí)間使自己獨(dú)吞蛋糕。這個(gè)“耐心優(yōu)勢(shì)”在一般情 況下也是成立的：給定其他情況 （ 如出價(jià)次序 ） ,越有耐心的人得到的 份額越大。比如說(shuō),如果3 1=0.5 ,3 2= 0.9 ,即參與人 2 比參與人 1 更有耐心，那么，均衡結(jié)果是參與人丨得到x *=0.182，參與人2得到1 一x =0.812。注意，當(dāng)3 2=0,參與人1

15、也得到整個(gè)蛋糕，因?yàn)閰⑴c人 2 沒(méi)有任何耐心等待下一階段；但,當(dāng)3 1=0時(shí),參與人 2 不能得到 整個(gè)蛋糕,除非3 2= 1,就是說(shuō),沒(méi)有任何耐心的參與人 1 也可以得 到一點(diǎn)份額。導(dǎo)致這一差異的原因是，除耐心優(yōu)勢(shì)外，這個(gè)博弈還有個(gè)“先動(dòng)優(yōu)勢(shì)”：:當(dāng)3 1= 3 2= S <1時(shí)，x *=1/（1十3 ）>1/2，即參與人1 的份額總是多于參與人 2 的份額。如果每一階段的長(zhǎng)度任意小，這 個(gè)先動(dòng)優(yōu)勢(shì)將消失。另外，當(dāng)3 1=3 2=1 時(shí)，這個(gè)博弈也有無(wú)窮多個(gè) 子博弈精煉均衡，x *=1/2可能是一個(gè)聚點(diǎn)均衡（也是納什討價(jià)還價(jià) 解）。貼現(xiàn)率可以理解為討價(jià)還價(jià)的一種成本， 類似蛋糕隨時(shí)間的推延 而不斷縮小，每一輪討價(jià)還價(jià)的總成本與剩余的蛋糕成比例。 討價(jià)還 價(jià)的另一類成本是固定成本。舉例來(lái)說(shuō)，如果工會(huì)和企業(yè)的磋商拖延了工期， 企業(yè)要承受兩種 損失，一類是推遲出售的利息損失 （與價(jià)值成比例 ）， 另一類是不能按 期交工的違約罰款 （一般是固定的 ）。這兩種成本對(duì)均衡結(jié)果的影響是 不同的。為了說(shuō)明這