應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的二重性與層次性

1、應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的二重性與層次性             本文通過(guò)具體的解題案例，探討應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的二重性與層次性 1原型與模式應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的二重性這是一道很普通的應(yīng)用題（有“雞兔同籠”的背景），但涉及一些觀念層面上的道理，在與大學(xué)生和中學(xué)教師的交談中，大都表示沒(méi)有認(rèn)真思考過(guò)先看題目：例1某運(yùn)貨公司有兩種車(chē)型共28輛，型車(chē)可載重5噸，型車(chē)可載重4噸，如果各車(chē)滿(mǎn)載一次可送貨128噸，問(wèn)兩種車(chē)型各有幾輛11從常規(guī)求解過(guò)程中提出問(wèn)題用二元一次方程來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題，是一個(gè)簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)建

2、模過(guò)程通常設(shè)型車(chē)有輛，型車(chē)有輛，根據(jù)“兩種車(chē)型共28輛”所提供的等量關(guān)系，可得方程28再根據(jù)“型車(chē)可載重5噸，型車(chē)可載重4噸”，“各車(chē)滿(mǎn)載一次可送貨128噸”所提供的等量關(guān)系，又得方程54128然后，將式兩邊乘以4，得44112，得16代入，得12故型車(chē)有16輛，型車(chē)有12輛還可用5×先求等多種方式來(lái)解方程組，總之，有初中的代數(shù)知識(shí)就不難完成筆者詢(xún)問(wèn)大學(xué)生或中學(xué)教師對(duì)此能提出什么疑問(wèn)時(shí)，均認(rèn)為很完整了，提不出什么問(wèn)題來(lái)于是，筆者提出兩個(gè)問(wèn)題，并聲明沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案，以鼓勵(lì)暢所欲言問(wèn)題1方程反映的是車(chē)輛總數(shù)的一個(gè)平衡式，方程反映的是車(chē)輛一次滿(mǎn)運(yùn)貨總噸數(shù)的一個(gè)平衡式，兩者建立時(shí)的單位是不一致

3、的，如何理解它們之間的加減運(yùn)算?問(wèn)題2作為解題過(guò)程的分析，如何給每個(gè)運(yùn)算步驟一個(gè)生活現(xiàn)實(shí)的解釋?對(duì)第1個(gè)問(wèn)題，被詢(xún)問(wèn)者大都感到意外，表示從未思考過(guò)；對(duì)第2個(gè)問(wèn)題，則結(jié)合第1個(gè)問(wèn)題，統(tǒng)一單位，有信心提出一些解釋12給求解過(guò)程一個(gè)生活解釋給解方程的消元過(guò)程一個(gè)生活解釋?zhuān)梢岳斫鉃椤俺雎曀季S”的一種形式，它能使抽象的模式具體化，能使形式化的運(yùn)算有生活化的氣息（1）有的被詢(xún)問(wèn)者說(shuō)，可以認(rèn)為方程中的每輛車(chē)都裝了1噸貨物，這樣兩方程的單位就一致了對(duì)此，筆者又提出一個(gè)問(wèn)題問(wèn)題3如果、都看成噸、噸，其和為28噸，那么，求出16，12后，為什么又成為16輛型車(chē)，12輛型車(chē)呢?對(duì)此，被詢(xún)問(wèn)者不能馬上給出回答（2）

4、關(guān)于問(wèn)題2，通過(guò)交流提出了這樣的解釋?zhuān)?）假設(shè)每輛車(chē)都裝4噸，那么28輛車(chē)便可裝112噸，這就是4×得式；2）但型車(chē)每輛可裝5噸，比假設(shè)的裝4噸還多1噸，因而真實(shí)裝車(chē)的128噸（見(jiàn)式）減去假設(shè)的112噸（見(jiàn)式），所得多裝的16噸數(shù)字，恰好對(duì)應(yīng)著型車(chē)的輛數(shù)，這就是得出式這個(gè)解釋首先是用“噸”來(lái)統(tǒng)一兩個(gè)方程的單位，然后用“一一對(duì)應(yīng)”的觀點(diǎn)來(lái)回答問(wèn)題3：由于每輛型車(chē)可裝5噸，比假設(shè)各車(chē)裝4噸還多1噸，在運(yùn)算4×之后，對(duì)型車(chē)而言，1噸對(duì)應(yīng)著1輛車(chē)，1輛車(chē)對(duì)應(yīng)著1噸，于是16噸就對(duì)應(yīng)著16輛型車(chē)上述解釋?zhuān)瑢?shí)際上已給出了本題的一個(gè)算術(shù)解法：型車(chē)數(shù)1284×28同理，對(duì)方程組進(jìn)

5、行5×運(yùn)算，可得型車(chē)數(shù)5×28128把例1中的數(shù)字換成字母，則、便給出了問(wèn)題的求解公式13從求解過(guò)程看方程模型的二重性上面，將兩方程的單位統(tǒng)一為“噸”給出了一種解釋?zhuān)蛔x者也可以將5看成型車(chē)的5倍，將4看成型車(chē)的4倍，把單位統(tǒng)一為車(chē)的“輛”數(shù)，給出解釋?zhuān)换蛘哌€可以對(duì)加減消元給出更多的生活解釋這是一個(gè)開(kāi)放性、發(fā)散性的問(wèn)題，值得在解題訓(xùn)練中提倡但是，這種訓(xùn)練主要體現(xiàn)了方程模型、等的一個(gè)側(cè)面與生活現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系其實(shí)，方程模型還有純數(shù)學(xué)的一面形式化的抽象模式為了理解這種二重性，我們先將應(yīng)用題的求解過(guò)程分為三個(gè)步驟：（1）從現(xiàn)實(shí)原型中抽象出數(shù)學(xué)模型此例中，主要表現(xiàn)為由車(chē)輛總數(shù)與一次滿(mǎn)運(yùn)貨總

6、數(shù)分別提供等量關(guān)系，再由等量關(guān)系代入數(shù)學(xué)符號(hào)，得出方程模型，即、式如果說(shuō)，建立等量關(guān)系時(shí)需要統(tǒng)一單位，與量綱有關(guān)的話（參見(jiàn)文1例1、例2，以及由此引發(fā)的文2、3、4的熱烈討論），那么代入數(shù)學(xué)符號(hào)之后得出的方程，已經(jīng)脫離具體單位而成為形式化的抽象模式了（2）進(jìn)行抽象的數(shù)學(xué)運(yùn)算此例中，主要表現(xiàn)為用消元法求出16，12這些運(yùn)算是形式化的，已與具體原型無(wú)關(guān)，不管當(dāng)初、是代表車(chē)輛數(shù)還是貨物數(shù)，是蘋(píng)果數(shù)還是兒童數(shù)（兒童分蘋(píng)果），運(yùn)算都一樣（3）將運(yùn)算結(jié)果還原為現(xiàn)實(shí)原型這時(shí)要將抽象的數(shù)字回到現(xiàn)實(shí)中來(lái)，與當(dāng)初的具體原型有關(guān)，于是16便成為型車(chē)有16輛，12便成為型車(chē)有12輛由這個(gè)應(yīng)用題的處理過(guò)程可以看到，應(yīng)用

7、題的數(shù)學(xué)模型的確有兩個(gè)側(cè)面原型與模式在第1、3兩步中，雖有抽象模式的因素，但與具體原型直接相聯(lián)系，體現(xiàn)了抽象模式的“來(lái)龍”與“去脈”；在第2步中，雖有具體的“來(lái)龍去脈”作背景，但基本上是獨(dú)立的形式化運(yùn)算所以，我們說(shuō)應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型同時(shí)具有具體原型與抽象模式的雙重性質(zhì)，在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的不同階段，性質(zhì)側(cè)面的鮮明度是有區(qū)別的回到問(wèn)題1，其實(shí)解方程所進(jìn)行的是抽象模式的形式化運(yùn)算，與當(dāng)初提煉這些方程的具體背景無(wú)關(guān)，這主要體現(xiàn)了應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的“抽象模式”性質(zhì)；回到問(wèn)題2，這主要想闡發(fā)應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型具有“具體原型”的性質(zhì)，它使“出聲思維”與“數(shù)學(xué)作文”相聯(lián)系波利亞對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題描述的“巧妙的想法”，其實(shí)

8、也就是消元求解的一次“數(shù)學(xué)作文”（詳見(jiàn)文528）14再深入思考幾個(gè)問(wèn)題問(wèn)題4由式乘以4，得44112與相加，得16（下略）此處，如何理解“乘以4”及式中的負(fù)號(hào)?請(qǐng)給出生活解釋問(wèn)題5由，得28代入，得54（28）128，即112128，得16代入，得12此處，如何給出代入消元法或式一個(gè)生活解釋?2淺層與深層應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的層次性文6在談基本解法與新解特解的認(rèn)識(shí)時(shí)，引用了一個(gè)例子：例2一游泳者在流水河中逆流而上，在橋處不慎遺失水壺，后又繼續(xù)逆流游了20分鐘才發(fā)現(xiàn)水壺遺失，立即調(diào)頭順流追尋，結(jié)果在橋下游2公里的橋處追上，求水流的速度分析文6談到的兩種解法可以看到應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型有認(rèn)識(shí)上的深淺之別，膚淺

9、未必常規(guī)，深刻并非特殊21“常規(guī)解法”只是一種淺層的、零散的認(rèn)識(shí)文6所冠名的“常規(guī)解法”，其實(shí)只是一部分人（決非全體）的一種思路，并且表現(xiàn)為解題初始階段，逐句理解題意的認(rèn)識(shí)，我們將其分解為5步（1）一見(jiàn)是應(yīng)用題就想到設(shè)未知數(shù)、列方程，而不深入領(lǐng)會(huì)題目的基本關(guān)系與具體條件（2）一見(jiàn)有水的流動(dòng)和人的游動(dòng)就設(shè)兩個(gè)未知數(shù)（水流動(dòng)的速度）、（人游動(dòng)的速度）（3）一見(jiàn)有逆流、順流游泳，就分別計(jì)算相應(yīng)的距離或時(shí)間：逆游（2060）（）公里，順游（2（2060）（）（）小時(shí)（4）以時(shí)間為等量關(guān)系得出方程（2060）（）（）（2）（2060）這是一個(gè)二元分式方程，一般情況下，不能惟一確定、兩個(gè)未知數(shù)的值，并且a

10、x有可能小于0（5）解方程得出3，但沒(méi)有進(jìn)行反思回顧，也沒(méi)有從“在解方程中自動(dòng)約去”獲取積極的啟示下文將會(huì)談到，把3代入就能有新的發(fā)現(xiàn)這個(gè)過(guò)程顯示：所謂“常規(guī)的思考”停留在淺層面上，（屬于文6說(shuō)的綜合素質(zhì)的前三個(gè)層次），甚至在題目解完之后，我們對(duì)題目的認(rèn)識(shí)仍然沒(méi)有獲得多少新的進(jìn)展22回顧求解過(guò)程會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)文6曾作了一個(gè)“認(rèn)知框架”的轉(zhuǎn)移，即“綜合應(yīng)用物理知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)交互性與相關(guān)性”得出，“水流對(duì)人與水壺是共同的，從水壺失落到追上的每一時(shí)刻，人與水壺的距離不依水速的大小或者流與不流而改變，從而想到水壺失落到發(fā)現(xiàn)所用的時(shí)間與發(fā)現(xiàn)到追上所用的時(shí)間是相等的，而這兩個(gè)時(shí)間之和正是水壺漂流的時(shí)間”這種

11、認(rèn)識(shí)比“常規(guī)解法”本質(zhì)得多（文6稱(chēng)為綜合素質(zhì)的優(yōu)秀狀況），但對(duì)物理知識(shí)的敘述令學(xué)生費(fèi)解，并且與“常規(guī)解法”缺少聯(lián)系我們的分析表明，對(duì)“常規(guī)解法”的回顧與分析，可以發(fā)現(xiàn)題目隱含的不變量，導(dǎo)出文6所說(shuō)的“特別簡(jiǎn)捷、特別優(yōu)秀”的特解當(dāng)我們從方程中求出3時(shí)，結(jié)論也成了已知信息，多了這個(gè)信息，就如同在黑房間里拉亮了電燈，隱含的條件更容易明朗，本質(zhì)的關(guān)系更容易發(fā)現(xiàn)把3代入式時(shí)，有左邊（2（2060）（）（）（6（3）3（3）13（小時(shí)），右邊（2）（2060）（23）（13）13（小時(shí)）由此可見(jiàn)：（1）順流追水壺所用的13小時(shí)，正是逆游所用的時(shí)間20分鐘，兩者相等是一個(gè)隱含的不變量（2）由式或解方程的過(guò)程

12、可以看到，人游泳的速度（0）是可以自動(dòng)消去的（像化學(xué)上的催化劑），真正有價(jià)值的數(shù)據(jù)是時(shí)間這兩點(diǎn)新認(rèn)識(shí)，正是文6中關(guān)于相對(duì)運(yùn)動(dòng)的基本內(nèi)容，但更淺白據(jù)此，題目的求解就有新的思路：為了求水流的速度，又已知水流的距離（2公里），只需去求時(shí)間；由于時(shí)間等于逆游時(shí)間（20分鐘13小時(shí)）的兩倍，故問(wèn)題的基本模式是行程問(wèn)題速度距離時(shí)間23抓住不變量，將認(rèn)識(shí)引向深入用公式求速度，關(guān)鍵是確定時(shí)間，而求時(shí)間的關(guān)鍵是揭示不變量：逆游離開(kāi)水壺的時(shí)間順游追上水壺的時(shí)間為了說(shuō)明這一點(diǎn)，我們來(lái)作認(rèn)知框架的兩個(gè)轉(zhuǎn)移（參見(jiàn)文8379例636），使認(rèn)識(shí)進(jìn)入更具綜合性的層次231動(dòng)靜轉(zhuǎn)換的觀點(diǎn)第1步，先靜止，假定人在靜水里游泳，20

13、分鐘后發(fā)現(xiàn)水壺失落，轉(zhuǎn)身游回來(lái)取水壺，水壺應(yīng)在原處，而人回來(lái)也還需20分鐘，來(lái)回共需40分鐘23小時(shí)第2步，再運(yùn)動(dòng)，由于水壺是動(dòng)的，它隨水而下，漂流了2公里，這是在40分鐘完成的，故水流的速度為2÷（23）3（公里/小時(shí)）這就把二元分式方程轉(zhuǎn)變?yōu)樾W(xué)的算術(shù)，其中“先靜止”的假設(shè)，還可以設(shè)計(jì)為火車(chē)車(chē)廂內(nèi)人與座位的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，以及火車(chē)本身對(duì)大地的相對(duì)運(yùn)動(dòng)232車(chē)廂的行程問(wèn)題例3在勻速奔馳的火車(chē)上有一位旅客，當(dāng)車(chē)經(jīng)過(guò)地時(shí)，他起身向后方走去，漏拿了隨身攜帶的水壺，走了分鐘后才發(fā)現(xiàn)，又轉(zhuǎn)身回來(lái)取當(dāng)他回到原處取回水壺時(shí)，火車(chē)已到達(dá)距地千米的地，求火車(chē)的速度解：在車(chē)廂內(nèi)，人離開(kāi)座位分鐘，返回取水壺也

14、應(yīng)是分鐘，共2分鐘；車(chē)廂外，火車(chē)在2分鐘的時(shí)間里，已從地到地，共走了千米，故火車(chē)的速度為2例2與例3在形式上有很大的不同，但卻有相同的基本模式（行程問(wèn)題），這反映了對(duì)應(yīng)用題的深層次認(rèn)識(shí)類(lèi)似的，有下面的兩對(duì)例子：例4媽媽去商店買(mǎi)布，所帶的錢(qián)剛好可買(mǎi)甲布2米，或買(mǎi)乙布3米，或買(mǎi)丙布6米，她決定3種布買(mǎi)一樣多米，問(wèn)最多能各買(mǎi)幾米?（見(jiàn)文8345例63）這到底是什么類(lèi)型的問(wèn)題?在學(xué)生中有多種說(shuō)法：按比例分配，不定方程，函數(shù)求極值等等事實(shí)上，深層次的認(rèn)識(shí)是與下面的工程問(wèn)題屬于同一類(lèi)型例4一項(xiàng)工程，甲干2天完成，乙干3天完成，丙干6天完成甲、乙、丙一齊干幾天完成?再看一對(duì)例子（見(jiàn)文9）例5一堆麥子有（2）

15、個(gè)麥粒，把它任意分成兩堆，記下這兩堆麥粒數(shù)的乘積，在以下的過(guò)程中，只要某堆麥子的麥粒數(shù)大于1，就把這堆麥子分成兩堆，并記下這兩堆麥子的麥粒數(shù)的乘積，直至每堆麥子只有1粒為止試求上述所有乘積之和這是一個(gè)什么類(lèi)型的問(wèn)題呢?我們的求解也許要費(fèi)一番周折才找到一個(gè)遞推式（）但是，如果將麥粒看成點(diǎn)，兩堆麥粒數(shù)的乘積看成兩個(gè)點(diǎn)集間連線的條數(shù)（乘法原理），那么麥粒堆的連續(xù)分細(xì)，就相當(dāng)于點(diǎn)集內(nèi)繼續(xù)分出兩個(gè)非空點(diǎn)集并連線，如此類(lèi)推，直至每?jī)牲c(diǎn)都連線因此，深層次的認(rèn)識(shí)是與下面的組合問(wèn)題屬于同一類(lèi)型例5平面上有個(gè)點(diǎn)（2），其中無(wú)三點(diǎn)共線，在每?jī)牲c(diǎn)間連一條直線，一共可以作多少條直線?上述討論，實(shí)際上已經(jīng)涉及應(yīng)用題數(shù)學(xué)模型的多樣性，涉及代數(shù)方程解法與算術(shù)解法的溝通參考文獻(xiàn)1羅增儒解題分析面對(duì)兩種矛盾的解法中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1999，62呂秦忠應(yīng)用問(wèn)題數(shù)據(jù)“單位”的變換法則中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001，83舒金根注意量綱?一類(lèi)應(yīng)用題正誤之辨析中學(xué)生數(shù)學(xué)，2001，84申祝文函數(shù)關(guān)系式是數(shù)的等式中學(xué)生數(shù)學(xué)，2002，25波利亞著，歐陽(yáng)絳譯數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)北京：科學(xué)出版社，1982，86李德欽活躍基本解法