重視數(shù)學(xué)思想方法,深化數(shù)學(xué)教材改革

1、重視數(shù)學(xué)思想方法，深化數(shù)學(xué)教材改革: 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓 , 如何在中學(xué)數(shù)學(xué) 教材中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法 , 不失時(shí)機(jī)的向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想 方法是一個(gè)十分重要的問(wèn)題。本文著重探討高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中 所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法 , 并對(duì)實(shí)驗(yàn)教材與普通教材在數(shù)學(xué)思 想方法處理方面進(jìn)行比較。通過(guò)比較我們看到 , 中學(xué)數(shù)學(xué) 實(shí)驗(yàn)教材中更突出了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法, 體現(xiàn)了知識(shí)教學(xué)和能力培養(yǎng)的統(tǒng)一。并且我們必須重視數(shù)學(xué)思想方法, 深化數(shù)學(xué)教材改革 , 讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題、解 決問(wèn)題 , 切實(shí)實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育的要求。: 數(shù)學(xué)思想方法 , 數(shù)學(xué)教材一、問(wèn)題提出 數(shù)學(xué)思想方法是以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體 ,

2、又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi) 容的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法。它能使人領(lǐng)悟到數(shù)學(xué) 的真諦 ,學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考和解決問(wèn)題 , 并對(duì)人們學(xué)習(xí)和應(yīng)用 數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的思維活動(dòng)起著指導(dǎo)和調(diào)控的作用。日本 數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏認(rèn)為 ,學(xué)生在進(jìn)入社會(huì)以后 , 如果沒(méi)有 什么機(jī)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué) , 那么作為知識(shí)的數(shù)學(xué) ,通常在出校門后 不到一兩年就會(huì)忘掉 , 然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作 , 那 種銘刻在人腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法, 會(huì)長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮重要作用。所以突出數(shù)學(xué)思想方法教 學(xué), 是當(dāng)代數(shù)學(xué)教育的必然要求 ,也是數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的重要 體現(xiàn) , 如何在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法也是一個(gè)十 分重要的

3、問(wèn)題 .2019 年我國(guó)新一輪基礎(chǔ)教育課程改革已正式啟動(dòng) , 此次基礎(chǔ) 教育數(shù)學(xué)課程改革的特點(diǎn)之一就是把數(shù)學(xué)思想方法作為課 程體系的一條主線。已經(jīng)有不少文章探討初中數(shù)學(xué)教材中的 數(shù)學(xué)思想方法 , 但對(duì)高中數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法探 討較少。事實(shí)上 ,高中數(shù)學(xué)教材的改革也已經(jīng)開(kāi)始醞釀 , 目前 高中普遍使用的數(shù)學(xué)教材是人教社 2019 年版的全日制普 通高級(jí)中學(xué)教科書(shū) （試驗(yàn)修定本 ）?數(shù)學(xué) （下稱普通教材 ）, 也 有部分高中根據(jù)學(xué)生的情況選用了原國(guó)家教委的中學(xué)數(shù)學(xué) 實(shí)驗(yàn)教材 （試驗(yàn)本 ?必修?數(shù)學(xué)） （下稱實(shí)驗(yàn)教材 ） ?？梢哉f(shuō)在 素質(zhì)教育推動(dòng)下 , 與舊數(shù)學(xué)教材相比這兩套新教材在內(nèi)容、

4、 結(jié)構(gòu)編排上都有了很大變化 , 都體現(xiàn)了新的數(shù)學(xué)教育觀念 , 而在原國(guó)家教委的中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材中尤其突出了數(shù)學(xué) 思想和數(shù)學(xué)方法 , 體現(xiàn)了知識(shí)教學(xué)和能力培養(yǎng)的統(tǒng)一。本文 就著重探討高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法 , 并對(duì)實(shí) 驗(yàn)教材與普通教材在數(shù)學(xué)思想方法處理方面進(jìn)行比較。二、高中數(shù)學(xué)應(yīng)該滲透的主要數(shù)學(xué)思想方法1、 數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法 數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法目前尚沒(méi)有確切的定義, 我們通常認(rèn)為數(shù)學(xué)思想就是“人對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí) , 是從某些具體的 數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn) , 它在 認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用 ,帶有普遍的指導(dǎo)意義 , 是建立數(shù)學(xué) 和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想”。

5、就中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系而言 中學(xué)數(shù)學(xué)思想往往是數(shù)學(xué)思想中最常見(jiàn)、最基本、比較淺顯 的內(nèi)容 ,例如: 模型思想、極限思想、統(tǒng)計(jì)思想、化歸思想、 分類思想等。數(shù)學(xué)思想的高層次的理解 , 還應(yīng)包括關(guān)于數(shù)學(xué) 概念、理論、方法以及形態(tài)的產(chǎn)生與發(fā)展規(guī)律的認(rèn)識(shí) , 任何 一個(gè)數(shù)學(xué)分支理論的建立 , 都是數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用與體現(xiàn)。 所謂數(shù)學(xué)方法 , 是指人們從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的程序、途徑 ,是實(shí)施 數(shù)學(xué)思想的技術(shù)手段 , 也是數(shù)學(xué)思想的具體化反映。所以說(shuō) , 數(shù)學(xué)思想是內(nèi)隱的 , 而數(shù)學(xué)方法是外顯的 ,數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué) 方法更深刻 , 更抽象地反映了數(shù)學(xué)對(duì)象間的內(nèi)在聯(lián)系。由于 數(shù)學(xué)是逐層抽象的 , 數(shù)學(xué)方法在實(shí)際運(yùn)用中往往具

6、有過(guò)程性 和層次性特點(diǎn) , 層次越低操作性越強(qiáng)。如變換方法包括恒等 變換 , 恒等變換中又分換元法、配方法、待定系數(shù)法等等。 總之 , 數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法有區(qū)別也有聯(lián)系 , 在解決數(shù)學(xué)問(wèn) 題時(shí), 總的指導(dǎo)思想是把問(wèn)題化歸為能解決的問(wèn)題 , 而為實(shí) 現(xiàn)化歸 , 常用如一般化、特殊化、類比、歸納、恒等變形等 方法 , 這時(shí)又常稱用化歸方法。一般來(lái)說(shuō) , 強(qiáng)調(diào)指導(dǎo)思想時(shí)稱 數(shù)學(xué)思想 , 強(qiáng)調(diào)操作過(guò)程時(shí)稱數(shù)學(xué)方法。2、 高中數(shù)學(xué)應(yīng)該滲透的主要數(shù)學(xué)思想方法 中學(xué)數(shù)學(xué)教育大綱中明確指出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是指 : 數(shù)學(xué)中的 的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理及由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容 反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法?？梢?jiàn)數(shù)學(xué)思想

7、方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知 識(shí)的內(nèi)容 , 而這些數(shù)學(xué)思想方法是融合在數(shù)學(xué)概念、定理、 公式、法則、定義之中的。在初中數(shù)學(xué)中 , 主要數(shù)學(xué)思想有分類思想、集合對(duì)應(yīng)思想、 等量思想、 函數(shù)思想、 數(shù)形結(jié)合思想、 統(tǒng)計(jì)思想和轉(zhuǎn)化思想。 與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)方法有理論形成的方法 , 如觀察、類比、實(shí) 驗(yàn)、歸納、一般化、抽象化等方法 , 還有解決問(wèn)題的具體方 法 , 如代入、消元、換元、降次、配方、待定系數(shù)、分析、 綜合等方法。這些數(shù)學(xué)思想與方法 , 在義務(wù)教材的編寫(xiě)中被 突出的顯現(xiàn)出來(lái)。在高中數(shù)學(xué)教材中 , 一方面以抽象性更強(qiáng)的高中數(shù)學(xué)知識(shí)為 載體, 從更高層次延續(xù)初中涉及的那些數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí) 應(yīng)用, 如函數(shù)與映

8、射思想、分類思想、集合對(duì)應(yīng)思想、數(shù)形 結(jié)合思想、統(tǒng)計(jì)思想和化歸思想等。另一方面 , 結(jié)合高中數(shù) 學(xué)知識(shí) ,介紹了一些新的數(shù)學(xué)思想方法 , 如向量思想、極限思 想, 微積分方法等。 因?yàn)槠渲幸恍?shù)學(xué)思想方法都介紹很多了 , 這里只談一下初 等微積分的基本思想方法。無(wú)窮的方法 , 即極限思想方法是 初等微積分的基本思想方法 , 所謂極限思想 （方法）是用聯(lián)系 變動(dòng)的觀點(diǎn) , 把考察的對(duì)象 （ 例如圓面積、變速運(yùn)動(dòng)物體的瞬 時(shí)速度、曲邊梯形面積等 ）看作是某對(duì)象 （內(nèi)接正 n 邊形的面 積、勻速運(yùn)動(dòng)的物體的速度 , 小矩形面積之和 ） 在無(wú)限變化過(guò)程中變化結(jié)果的思想 （ 方法）, 它出發(fā)于對(duì)過(guò)程無(wú)限

9、變化的考 察, 而這種考察總是與過(guò)程的某一特定的、有限的、暫時(shí)的 結(jié)果有關(guān) , 因此它體現(xiàn)了“從在限中找到無(wú)限 , 從暫時(shí)中找 到永久 , 并且使之確定起來(lái)” （恩格斯語(yǔ) ）的一種運(yùn)動(dòng)辨證思 想, 它不僅包括極限過(guò)程 , 而且又完成了極限過(guò)程?？v觀微積 分的全部?jī)?nèi)容 , 極限思想方法及其理論貫穿始終 , 是微積分 的基礎(chǔ)。三、普通教材與實(shí)驗(yàn)教材在數(shù)學(xué)思想方法處理方面的比較 普通高中教育是與九年義務(wù)教育相銜接的高一層次基礎(chǔ)教 育, 在數(shù)學(xué)教材的編寫(xiě)上 , 必須要注意培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、 實(shí)踐能力和終身學(xué)習(xí)的能力。與舊教材相比 , 新的數(shù)學(xué)教材 開(kāi)始重視滲透數(shù)學(xué)思想方法 , 那么高中現(xiàn)行使用的普通

10、教材 與實(shí)驗(yàn)教材在數(shù)學(xué)思想方法處理方面有何異同呢?因?yàn)閮?nèi)容太多 , 下面只能粗略的作一比較。1、相同之處在于 普通教材與實(shí)驗(yàn)教材都多將數(shù)學(xué)思想方法的展示 , 融合在數(shù) 學(xué)的定義、定理、例題中。例如集合的思想 , 就是通過(guò)集合 的定義“把某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合” , 及 通過(guò)用集合語(yǔ)言來(lái)表述問(wèn)題 , 體現(xiàn)了集合思想方法來(lái)處理數(shù) 學(xué)問(wèn)題的直觀性 ,深刻性 , 簡(jiǎn)潔性。對(duì)非常重要的數(shù)學(xué)思想方 法也采用單獨(dú)介紹的方式 , 如普通教材與實(shí)驗(yàn)教材都將歸納 法列為一節(jié) , 詳細(xì)學(xué)習(xí)。2、 不同之處在于(1) 有些在普通教材中隱含方式出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法 , 在實(shí) 驗(yàn)教材中被明確的指出來(lái) , 并用

11、以指導(dǎo)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的展 開(kāi)。關(guān)于數(shù)學(xué)方法 我們舉不等式證明方法的例子。實(shí)驗(yàn)教材在不等式一章第三 節(jié)“證明不等式”中詳細(xì)講述了不等式證明的方法 , 比較 法、綜合法、分析法、反證法。普通教材中雖然也在不等式 一章, 列出第三節(jié)“不等式的證明”介紹比較法、綜合法、 分析法 ,但對(duì)方法的分析不夠透徹 , 更象是為了解釋例題。比 如在綜合法的介紹中 , 普通教材只講 : “有時(shí)我們可以用某 些已經(jīng)證明過(guò)的不等式 ( 例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定 理)和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立, 這種證明方法通常叫做綜合法?！倍趯?shí)驗(yàn)教材更準(zhǔn)確更詳細(xì)的介 紹: “依據(jù)不等式的基本性質(zhì)和已知的不等式, 正

12、確運(yùn)用邏輯推理規(guī)律 , 逐步推導(dǎo)出所要證明的不等式的方法 , 稱為綜 合法。綜合法實(shí)質(zhì)上是“由因?qū)Ч钡闹苯诱撟C ,其要點(diǎn)是 : 四已知性質(zhì)、定理、出發(fā) , 逐步導(dǎo)出其“必要條件” , 直到最 后的“必要條件”是所證的不等式為止”。分析法的介紹也 是這樣 , 在實(shí)驗(yàn)教材中給出了分析法實(shí)質(zhì)是“執(zhí)果索因”的 說(shuō)明, 這樣學(xué)生能清楚的領(lǐng)會(huì)綜合法、分析法的要義,會(huì)證不等式的同時(shí)學(xué)會(huì)了綜合法和分析法 , 而不僅是能證明幾個(gè)不關(guān)于數(shù)學(xué)思想在實(shí)驗(yàn)教材第一冊(cè) （ 下）研究性課題“函數(shù)學(xué)思想及其應(yīng) 用”中 ,明確提出“把一個(gè)看上去不是明顯的函數(shù)問(wèn)題, 通過(guò)、或者構(gòu)造一個(gè)新函數(shù) , 利用研究函數(shù)的性質(zhì)和圖象 ,

13、解決 給出的問(wèn)題 , 就是函數(shù)思想” ,并舉例用函數(shù)思想解決最值 問(wèn)題、方程、不等式問(wèn)題 , 及一些實(shí)際應(yīng)用的問(wèn)題。其實(shí)普 通教材在講函數(shù)時(shí)也在用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn), 分析研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系 , 通過(guò)函數(shù)形式把這種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行刻劃 并加以研究 , 但從未提函數(shù)思想方法。雖然實(shí)驗(yàn)教材中只是 以研究性課題的形式 , 對(duì)函數(shù)思想作以介紹和應(yīng)用探討 , 可 這已經(jīng)是一種重視數(shù)學(xué)思想方法的信號(hào) , 隨著今后素質(zhì)教育 的推進(jìn) ,和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的積累 , 我想數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教材 中會(huì)有更明確的介紹。我們舉向量的例子。（2） 實(shí)驗(yàn)教材中還增加了一些數(shù)學(xué)思想方法的介紹。 關(guān)于數(shù)學(xué)方法 普通教材在第一冊(cè)第三章

14、“數(shù)列”中只介紹了數(shù)列的概念、 等差等比數(shù)列及其求和 , 而在實(shí)驗(yàn)教材第二冊(cè) （下）的第十章 “數(shù)列”中增加了第四節(jié)“數(shù)列應(yīng)用舉例”介紹了作差 , 將 某些復(fù)雜數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列的方法。這在潛移默化中 也滲透了轉(zhuǎn)化的思想。又如在第一冊(cè) （上）中, 增加了研究性 課題“待定系數(shù)法的原理、方法及初步應(yīng)用” , 閱讀材料“插值公式與實(shí)驗(yàn)公式” ,雖然不是作為正式章節(jié) , 但也體 現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的重視。再如數(shù)學(xué)歸納法普通教材介紹 的相當(dāng)簡(jiǎn)略 , 而實(shí)驗(yàn)教材詳細(xì)介紹了什么是歸納法 , 歸納法 的結(jié)論是否一定正確 , 什么是數(shù)學(xué)歸納法歸納起始命題等問(wèn) 題, 還舉了大量例子 , 切實(shí)注重讓學(xué)生真正理

15、解方法。 關(guān)于數(shù)學(xué)思想實(shí)驗(yàn)教材中對(duì)向量 , 解析幾何的處理體現(xiàn)了將向量思想 , 幾 何代數(shù)化思想的引入 , 并用這些數(shù)學(xué)思想方法來(lái)統(tǒng)領(lǐng)相關(guān)數(shù) 學(xué)知識(shí)的介紹。實(shí)驗(yàn)教材在第六章“平面向量”開(kāi)首就 講: “代數(shù)學(xué)的基本思想方法是運(yùn)用運(yùn)算律去系統(tǒng)地解答各 種類型的代數(shù)問(wèn)題 ; 幾何學(xué)研究探索的內(nèi)容是空間圖形的性 質(zhì)。 在這一章中，我們首先要把表達(dá)“一點(diǎn)相對(duì)另一點(diǎn) 的位置”的量定義為一種新型的基本幾何量我們稱之 為向量，這樣，我們就可以用代數(shù)的方法研究平面圖形 性質(zhì) , 把各種各樣的幾何問(wèn)題用向量運(yùn)算的方法來(lái)解答。再 看普通教材第五章“平面向量”的前提介紹 :“ , 位移 是一個(gè)既有大小又有方向的量 ,

16、 這種量就是我們本章報(bào)要研 究的向量。向量是數(shù)學(xué)中的重要概念之一。向量和數(shù)一樣也 能進(jìn)行運(yùn)算 , 而且用向量的有關(guān)知識(shí)更新還能有效地解決數(shù) 學(xué)、物理、等學(xué)科中的很多問(wèn)題。這一章里 , 我們將學(xué)習(xí)向 量的概念、運(yùn)算及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用?！憋@然實(shí)驗(yàn)教材是從數(shù)學(xué) 思想方法的高度來(lái)引入向量 , 這也使后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)可以以此為線索 , 體現(xiàn)了知識(shí)的內(nèi)在統(tǒng)一。實(shí)驗(yàn)教材在第六章“平 面向量”之后 , 緊接著設(shè)置了第七章“直線和圓” ,從第七 章的內(nèi)容提要中我們看出這樣設(shè)計(jì)是有良苦用心的。內(nèi)容提 要如下: “人們對(duì)于事物的認(rèn)識(shí)和理解 , 總是要經(jīng)過(guò)逐步深 化的過(guò)程和不斷推進(jìn)的階段。對(duì)于空間的認(rèn)識(shí)和理解 , 就是 先

17、有實(shí)驗(yàn)幾何 , 然后推進(jìn)到推理幾何 , 理推進(jìn)到解析幾何。在 第六章 ,我們引進(jìn)了平面向量 , 并且建立了向量的基本運(yùn)算 結(jié)構(gòu), 把平面圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為得量的運(yùn)算和運(yùn)算律 , 從而奠定了空間結(jié)構(gòu)代數(shù)化的基礎(chǔ) ; 再通過(guò)向量及其運(yùn)算的 坐標(biāo)表示 , 實(shí)現(xiàn)了從推理幾何到解析幾何的轉(zhuǎn)折。解析幾何 是用坐標(biāo)方法研究圖形 , 基本思想是通過(guò)坐標(biāo)系 , 把點(diǎn)與坐 標(biāo)、曲線與方程等聯(lián)系起來(lái) , 從而達(dá)到形與數(shù)的結(jié)合 , 把幾何 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行研究和解決?！辈⑶以诤竺嬷本€的 方程、直線的位置關(guān)系點(diǎn)到直線的距離幾節(jié)中都自然而然的 延續(xù)了向量的思想和方法 , 使直線的學(xué)習(xí)連慣、完整、深刻。 而普通教材

18、將第一冊(cè) （下）的第五章設(shè)為“平面向量” , 在第 二冊(cè) （上）的第七章才設(shè)置“直線和圓的方程” , 中間隔了不 等式一章 , 并且在內(nèi)容上 , 也沒(méi)有將向量與直線方程聯(lián)系起 來(lái), 關(guān)于法向量、點(diǎn)直線點(diǎn)法式方程都沒(méi)有講, 只是隨后設(shè)置了“向量與直線”的閱讀材料簡(jiǎn)單介紹法向量、直線間的位 置關(guān)系。四、重視數(shù)學(xué)思想方法 , 深化數(shù)學(xué)教材改革1、在知識(shí)發(fā)生過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法 這主要是指定義、定理公式的教學(xué)。一是不簡(jiǎn)單下定義。數(shù) 學(xué)的概念既是數(shù)學(xué)思維基礎(chǔ) , 又是數(shù)學(xué)思維的結(jié)果。概念教 學(xué)不應(yīng)簡(jiǎn)單地給出定義 , 而是應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生感受或領(lǐng)悟隱含于 概念形成之中的數(shù)學(xué)思想方法。二是定理公式介紹中不過(guò)早 下結(jié)論 ,可能的話展示定理公式的形成過(guò)程 , 給教師、學(xué)生留 有參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過(guò)程的機(jī)會(huì)。 2、在解決問(wèn)題方法的探索中激活數(shù)學(xué)思想方法 注重解題思路的數(shù)學(xué)思想方法分析。在例題、定理證明活 動(dòng)中, 揭示其中隱含的數(shù)學(xué)思維過(guò)程 , 才能有效地培養(yǎng)和發(fā) 展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法。