高二數(shù)學(xué)必修5數(shù)列求通項(xiàng)、求和知識(shí)點(diǎn)+方法+練習(xí)題總結(jié)

1、 數(shù)列求通項(xiàng)與求和常用方法歸納1、 知能要點(diǎn)1、求通項(xiàng)公式的方法： (1)觀察法：找項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，然后猜想檢驗(yàn)，即得通項(xiàng)公式an；(2)利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系an(3)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式； (4)累加法：如an1anf(n)， 累積法，如f(n)；(5)轉(zhuǎn)化法：an1AanB(A0，且A1)2、求和常用的方法：(1)公式法： (2)裂項(xiàng)求和：將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)差，即，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng). 應(yīng)掌握以下常見(jiàn)的裂項(xiàng)： (3)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法

2、) .(4)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法) .(5)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.二、知能運(yùn)用典型例題考點(diǎn)1：求數(shù)列的通項(xiàng)題型1 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。【例1】已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，題型2 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解?！纠?】已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即 又， 題型3 (其中

3、p，q均為常數(shù)，且)。解法(待定系數(shù)法)：轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。【例3】已知數(shù)列中，求。解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.題型4 (其中p，q均為常數(shù)，且)。 (或,其中p，q, r均為常數(shù))。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列(其中)，得：再待定系數(shù)法解決?！纠?】已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以題型5 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：這種類型一般利用與消去 或與消去進(jìn)行求解?！纠?】已知數(shù)列前n項(xiàng)和. (1)求與的關(guān)系； (2)求通項(xiàng)公式.解：(1

4、)由得：于是所以. (2)應(yīng)用題型4(，其中p，q均為常數(shù)，且)的方法，上式兩邊同乘以得： 由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以題型6 解法：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。【例6】已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由兩邊取對(duì)數(shù)得，令，則，再利用待定系數(shù)法解得：?？键c(diǎn)2：數(shù)列求和題型1 公式法【例7】已知是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿足 (1)求的通項(xiàng)公式； (2)求的前項(xiàng)和.解：(1)依題a1b2+b2=b1，b1=1，b2=，解得a1=2 2分通項(xiàng)公式為 an=2+3(n-1)=3n-1 6分(2)由()知3nbn+1=nbn，bn+1=bn，所以b

5、n是公比為的等比數(shù)列 9分所以bn的前n項(xiàng)和Sn= 12分題型2 裂項(xiàng)求和【例8】為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知0，. (1)求的通項(xiàng)公式； (2)設(shè) ,求數(shù)列的前項(xiàng)和.解析：(1)=； (2)由(1)知，=， 所以數(shù)列前n項(xiàng)和為= =.題型3 錯(cuò)位相減求和【例9】已知數(shù)列和滿足， .(1)求與；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.解析：(1)由，得.當(dāng)時(shí)，故.當(dāng)時(shí)，整理得，所以.(2)由(1)知，所以所以所以.題型4 分組求和【例10】已知an是等差數(shù)列，滿足a13，a412，數(shù)列bn滿足b14，b420，且bnan為等比數(shù)列 (1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解：(1)設(shè)等差數(shù)

6、列an的公差為d，由題意得d3.所以ana1(n1)d3n(n1，2，)設(shè)等比數(shù)列bnan的公比為q，由題意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.從而bn3n2n1(n1，2，)(2)由(1)知bn3n2n1(n1，2，)數(shù)列3n的前n項(xiàng)和為n(n1)，數(shù)列2n1的前n項(xiàng)和為1×2n1，所以，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為n(n1)2n1.三、知能運(yùn)用訓(xùn)練題1、(1)已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解】(1)， (2)，當(dāng)時(shí)， . 2、已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解】， 是以為公比的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為 3、已知數(shù)列中，求數(shù)列

7、的通項(xiàng)公式.【解】，令則 ， 4、已知為數(shù)列的前項(xiàng)和， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，. 是以為公比的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為， 5、已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】，令 數(shù)列是等差數(shù)列， .6、已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解】由 得 又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列， 7、已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，令得，所以.令得，所以. 解得， 所以（2）由（I）知所以所以兩式相減，得 所以8、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(1

8、)nan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和解：(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann.(2)由(1)知，bn2n(1)nn.記數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n(212222n)(12342n)記A212222n，B12342n，則A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2nAB22n1n2.9、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n，是等差數(shù)列，且 (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)令求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解析：（1）由題意知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以. 設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，可解得， 所以.（2）由（）知，又，得，兩式作差，得

9、所以10、等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)設(shè) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解析：（1）設(shè)數(shù)列an的公比為q，由得所以。由條件可知a>0,故。由得，所以。故數(shù)列an的通項(xiàng)式為an=。（2 ）故 所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為11、在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比數(shù)列 (1)求d，an； (2)若d<0，求|a1|a2|a3|an|.解：(1)由題意得，a1·5a3(2a22)2，由a110，an為公差為d的等差數(shù)列得，d23d40， 解得d1或d4. 所以ann11(nN*)或an4n6(nN*)(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn. 因?yàn)閐<0，由(1)得d1，ann11， 所以當(dāng)n11時(shí)，|a1|a2|a3|an|Snn2n； 當(dāng)n12