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文檔簡介
1、一、填空題(每空2 分,共16分)。1、方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是xoy平面2. 方程組的任何一個(gè)解的圖象是 n+1 維空間中的一條積分曲線.3連續(xù)是保證方程初值唯一的 充分 條件4方程組的奇點(diǎn)的類型是 中心 5方程的通解是6變量可分離方程的積分因子是7二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解,成為其基本解組的充要條件是 線性無關(guān) 8方程的基本解組是 二、選擇題(每小題 3 分,共 15分)。9一階線性微分方程的積分因子是( A )(A) (B) (C) (D)10微分方程是( B )(A)可分離變量方程 (B)線性方程 (C)全微分方程 (D)貝努利方程11方程x(y21)dx+y(x21)
2、dy=0的所有常數(shù)解是( C )(A) (B) (C), (D), 12階線性非齊次微分方程的所有解( D ) (A)構(gòu)成一個(gè)線性空間 (B)構(gòu)成一個(gè)維線性空間 (C)構(gòu)成一個(gè)維線性空間 (D)不能構(gòu)成一個(gè)線性空間13方程( D )奇解(A)有一個(gè) (B)有無數(shù)個(gè) (C)只有兩個(gè) (D)無三、計(jì)算題(每小題8分,共48分)。14求方程的通解解:令,則 ,于是, 所以原方程的通解為 15求方程的通解解:取則,于是原方程為全微分方程所以原方程的通解為 即 16求方程的通解解:令 ,得到 (*) ,兩端同時(shí)關(guān)于求導(dǎo),整理得 ,則取 ,得 ,代入(*) 得解 取 ,得,代入(*)得原方程得通解為 17
3、求方程的通解解 對應(yīng)的齊次方程的特征方程為 ,特征根為 , 故齊次方程的通解為 因?yàn)椴皇翘卣鞲?。所以,設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程,得 即 , 故原方程的通解為 18求方程的通解解:先求解對應(yīng)的其次方程:,則有,因?yàn)閿?shù)不是特征根,故原方程具有形如 的特解。將上式代入原方程,由于 故 或 比較上述等式兩端的的系數(shù),可得 因此,故所求通解為19求方程組的實(shí)基本解組解:方程組的特征多項(xiàng)式為 ,其特征根是,那么 屬于的特征向量, 屬于的特征向量。則方程的基本解組為,其實(shí)基本解組為。而因此所求實(shí)基本解組為四、應(yīng)用題(每小題 11 分,共11分)。20(1)求函數(shù)的拉普拉斯變換(2)求初值問題的解解:(1)(2)設(shè),是已知初值問題的解。對已知方程兩端同時(shí)使用拉普拉斯變換,可分別得到 故有 使用部分分式法,可得 由(1)可知,故所求的初值解為 。得分評卷教師 五、證明題(每小題10分,共10分)。21 證明:對任意及滿足條件的,方程的滿足條件的解在上存在。證: 由于 在全平面上連續(xù),所以原方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延展定理?xiàng)l件又顯然是方程的兩個(gè)
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