常微分方程參考

1、常微分方程參考試卷一 填空1 稱(chēng)為一階線性方程，它有積分因子 ，其通解為 。2 稱(chēng)為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解 y(x),則經(jīng)過(guò)變換 ，可化為伯努利方程。3若（x）為畢卡逼近序列的極限，則有 （x） 。4若（i=1,2,n）是齊線形方程的n 個(gè)解，w(t)為其伏朗斯基行列式，則w(t)滿足一階線性方程 。5若（i=1,2,n）是齊線形方程的一個(gè)基本解組，x(t)為非齊線形方程的一個(gè)特解，則非齊線形方程的所有解可表為 。6如果A(t)是n×n矩陣，f(t)是n維列向量，則它們?cè)?atb上滿足 時(shí)，方程組 x= A(t) x+ f(t)滿足初始條件x（t）=的解在atb上存在唯一。7若（

2、t）和（t）都是x= A(t) x的 基解矩陣，則（t）與（t）具有關(guān)系：。8若（t）是常系數(shù)線性方程組的 基解矩陣,則該方程滿足初始條件的解=_9.滿足 _的點(diǎn)（），稱(chēng)為方程組的奇點(diǎn)。10當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部_ 時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為 _ 。二計(jì)算題（60分）123求方程經(jīng)過(guò)（0，0）的第三次近似解45若試求方程組的解并求expAt6.求的奇點(diǎn),并判斷奇點(diǎn)的類(lèi)型及穩(wěn)定性.三.證明題(10分)設(shè)及連續(xù),試證方程dy-f(x,y)dx=0為線性方程的充要條件是它有僅依賴(lài)與x的積分因子.答案一. 填空1. 2. 3.4. 5. 6 A(t) f(t)連續(xù)7 8。9

3、中X(x,y)=0,Y(x,y)=0 10.為0 穩(wěn)定中心二計(jì)算題1 解：因?yàn)?，所以此方程不是恰?dāng)方程，方程有積分因子，兩邊同乘得所以解為 即另外y=0也是解2 解：方程可化為令則有（*）（*）兩邊對(duì)y求導(dǎo)：即由得即將y代入（*）即方程的 含參數(shù)形式的通解為： p為參數(shù)又由得代入（*）得：也是方程的解 3解： 4 線性方程的特征方程故特征根 是特征單根，原方程有特解代入原方程A=- B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程 B=0 所以原方程的解為5 解：解得此時(shí) k=1 由公式expAt= 得6 解：由解得奇點(diǎn)（3，-2）令X=x-3,Y=y+2則因?yàn)?1+1 0故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）為穩(wěn)定焦點(diǎn)。三證明題證明：1 若該方程為線性方程則有（*）此方程有積分因子 只與x有