常微分方程課程教學(xué)大綱

1、常微分方程課程教學(xué)大綱一、課程說明1、課程性質(zhì)本課程及大綱適用于數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育專業(yè)、信息與計(jì)算科學(xué)等專業(yè)，為4學(xué)分，總學(xué)時(shí)為68學(xué)時(shí)，包括講課及習(xí)題課。 常微分方程是數(shù)學(xué)各專業(yè)必修的基礎(chǔ)課之一，它是數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)和解析幾何的應(yīng)用和發(fā)展。微分方程是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際的重要渠道之一，也是其它數(shù)學(xué)分支的一個(gè)綜合應(yīng)用場所，我們所研究的方程多數(shù)是由其它學(xué)科（如物理、氣象、生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)）推導(dǎo)而來，通過本課程的學(xué)習(xí)不僅使學(xué)生了解到微分方程和其它數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系及其在其它自然科學(xué)學(xué)科中的應(yīng)用，使學(xué)生進(jìn)一步了解到數(shù)學(xué)的重要性和廣泛的應(yīng)用背景，提高應(yīng)用能力，而且為后繼的數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)各課程準(zhǔn)備解決問題

2、的方法和工具，更是通向物理，力學(xué)，經(jīng)濟(jì)等學(xué)科和工程技術(shù)的橋梁。通過對(duì)微分方程發(fā)展史的回顧，讓學(xué)生從一個(gè)側(cè)面了解人類對(duì)自然界的認(rèn)識(shí)過程和科學(xué)研究的探索過程，逐步培養(yǎng)學(xué)生的活學(xué)活用能力和創(chuàng)造發(fā)展的能力。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生熟練掌握各類方程的判別與求解，掌握基本理論的基本思想和證明方法，了解定性和穩(wěn)定性的初步理論和方法。并簡要介紹一些其它學(xué)科需要我們解決而目前我們尚不能解決的問題，為其它后續(xù)課程留下引子，并通過一些例子讓學(xué)生知道目前這個(gè)學(xué)科的最新研究動(dòng)態(tài)。2、教學(xué)目的要求目的是要學(xué)習(xí)和逐步掌握常微分方程的基本理論和方法，學(xué)習(xí)建立和解決確定性數(shù)學(xué)模型的思想方法，把數(shù)學(xué)理論和方法運(yùn)用到解決實(shí)際問題中

3、去。本課程要求學(xué)生能熟練掌握各類微分方程的基本解法，理解和掌握常微分方程的基本理論：存在唯一性定理和線性常微分方程的基本理論。了解常微分方程穩(wěn)定性理論和定性理論初步。3、先行或后繼課程先行課程：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何，普通物理等。后繼課程：數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等。微分方程的發(fā)展也離不開實(shí)變函數(shù)論、復(fù)變函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)與代數(shù)幾何的支援。4、教學(xué)時(shí)數(shù)分配表章節(jié)目錄課時(shí)分配第一章緒論第一節(jié)微分方程 某些物理過程的數(shù)學(xué)模型24第二節(jié)基本概念2第二章一階微分方程的初等解法第一節(jié)變量分離方程與變量變換416第二節(jié)線性方程與常數(shù)變易法4第三節(jié)恰當(dāng)方程與積分因子2第四節(jié)一階隱方程與參數(shù)表示2習(xí)題課

4、4第三章一階微分方程的解的存在定理第一節(jié)解的存在唯一性定理與逐步逼近法410第二節(jié)解的延拓2第三節(jié)解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理2第四節(jié)奇解2第四章高階微分方程第一節(jié)線性微分方程的一般理論412第二節(jié)常系數(shù)線性方程的解法4第三節(jié)高階方程的降價(jià)和冪級(jí)數(shù)解法2習(xí)題課2第五章線性微分方程組第一節(jié)存在唯一性定理214第二節(jié)線性微分方程組的一般理論4第三節(jié)常系數(shù)線性微分方程組4習(xí)題課4第六章非線性微分方程和穩(wěn)定性第一節(jié)引言210第二節(jié)相平面2第三節(jié)按線性近似決定微分方程組的穩(wěn)定性2第四節(jié)李雅普諾夫第二方法2第五節(jié)周期解和極限圈2習(xí)題課2總課時(shí)數(shù)68 5、使用教材王高雄等編常微分方程（第二版式），高等教育出

5、版社，1982。 6、教學(xué)方法與手段本課程以黑板講授、學(xué)生自學(xué)、精講精練相結(jié)合的教學(xué)方法為主，適當(dāng)安排習(xí)題課與討論課（主要是對(duì)存在唯一性定理以及定性與穩(wěn)定性理論簡介部分）。適當(dāng)組織12個(gè)大型的有應(yīng)用背景的微分方程模型，從建模、求解、到解釋，讓學(xué)生在教師指導(dǎo)下，自己動(dòng)手，通過討論，經(jīng)歷全過程，得到一定訓(xùn)練。個(gè)別章節(jié)輔之以多媒體教學(xué)手段或數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手段。在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)積極開展對(duì)教學(xué)內(nèi)容與課程體系、教學(xué)方法與教學(xué)手段的改革，認(rèn)真總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，并將教學(xué)改革的成果逐步吸收到教學(xué)中來，不斷提高教學(xué)質(zhì)量。要不斷更新教學(xué)內(nèi)容，逐步實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)代化；要加強(qiáng)不同數(shù)學(xué)分支間的相互結(jié)合和相互滲透，進(jìn)行課程和內(nèi)容的重

6、組；要突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，注重運(yùn)算技巧的訓(xùn)練；要尊重個(gè)性，發(fā)揮特長，探索現(xiàn)階段因材施教的新方法、新模式；要不斷探索以學(xué)生為主體有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)積極性的啟發(fā)式、討論式、研究式的教學(xué)方法；要積極采用現(xiàn)代教育技術(shù)手段，使傳統(tǒng)的教學(xué)手段與現(xiàn)代教學(xué)手段相互結(jié)合，取長補(bǔ)短。應(yīng)努力創(chuàng)造條件，盡快開設(shè)或引入與理論教學(xué)相配套的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，使學(xué)生學(xué)會(huì)使用常用的數(shù)學(xué)軟件，逐步培養(yǎng)和提高學(xué)生用數(shù)學(xué)軟件解決問題的意識(shí)和能力。7、考核方式 本課程為專業(yè)必修課，采取閉卷方式進(jìn)行考試。8、主要參考書目 常微分方程,東北師大數(shù)學(xué)系編，高教出版社 常微分方程講義，王柔懷、伍卓群編，高教出版社。

7、常微分方程講義，葉彥謙編，人教出版社。 微分方程，.艾利斯哥爾茲著，人教出版社。 常微分方程穩(wěn)定性理論，許松慶編，上?？萍汲霭嫔?。 常微分方程定性理論，張芷芬等編，科學(xué)出版社。 常微分方程，林武忠 等編，科學(xué)出版社；差分方程和常微分方程，阮炯 編，復(fù)旦大學(xué)出版社；常微分方程習(xí)題解，莊萬 主編，山東科學(xué)技術(shù)出版社；常微分方程習(xí)題集，周尚仁，權(quán)宏順 編，人民教育出版社。二、課程內(nèi)容第一章 緒論（4課時(shí)）第一節(jié) 微分方程：某些物理過程的數(shù)學(xué)模型（2課時(shí)）1、教學(xué)目的和要求了解微分方程的背景即某些物理過程的數(shù)學(xué)模型，如冷卻過程、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(自由落體，數(shù)學(xué)擺)、R-L-C回路等。2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)教學(xué)要

8、點(diǎn)：某些物理過程的數(shù)學(xué)模型的思想和例子；知識(shí)點(diǎn)： 把實(shí)際問題抽象為常微分方程。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)建立微分方程模型的思想、方法和例子。第二節(jié) 基本概念（2課時(shí)）1、教學(xué)目的和要求理解常微分方程、偏微分方程、常微分方程的階、線性、非線性、解、隱式解、通解、特解、定解問題、積分曲線、方向場、等斜線等基本概念。2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)教學(xué)要點(diǎn)： 微分方程基本概念。知識(shí)點(diǎn)： 常微分方程的解；線性、非線性概念。3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)微分方程的基本概念。第二章 一階微分方程的初等解法（12+4課時(shí)）第一節(jié) 變量分離方程與變量變換（4課時(shí)）1、教學(xué)目的和要求： 熟練掌握變量可分離方程、齊次方程、可化為齊次方程的一階微

9、分方程的解法（包括通解和滿足初始條件的特解），對(duì)一些簡單的實(shí)際問題會(huì)建立相應(yīng)的微分方程。 2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)：教學(xué)要點(diǎn)：變量分離方程的基本解法與運(yùn)用變量變換法求解齊次方程。知識(shí)點(diǎn)：變量分離方程；齊次方程。伯努利方程；恰當(dāng)方程與積分因子；一階隱方程的解法與解的參數(shù)表示法 3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：變量分離方程、兩類可化為變量分離方程的方程的求解。 難點(diǎn)：利用變量替換思想將某些方程轉(zhuǎn)化為已知類型求解。 4、教學(xué)內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度要求能熟練掌握變量分離方程的求解方法。注意強(qiáng)調(diào)求解過程中可能遺漏的特解，并讓學(xué)生初步體會(huì)到某些方程的初值解未必唯一存在。 第二節(jié) 線性方程與常數(shù)變易法（4+2課時(shí)

10、） 1、教學(xué)目的和要求： 掌握一階齊線性微分方程的基本解法及基本公式；掌握運(yùn)用常數(shù)變易法求解一階非齊線性微分方程；掌握運(yùn)用變量變換法化伯努利方程為一階線性微分方程；記住一階非齊線性方程的通解表達(dá)式.2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)：教學(xué)要點(diǎn)：一階齊線性微分方程；一階非齊線性微分方程與常數(shù)變易法、伯努利方程的解法。知識(shí)點(diǎn)： 一階非齊線性微分方程與常數(shù)變易法； 3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：掌握一階齊線性微分方程；一階非齊線性微分方程的求解方法與常數(shù)變易法。 難點(diǎn)：方程類型的判斷 4、教學(xué)內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度 要求能熟練運(yùn)用常數(shù)變易法求解一階非齊線性微分方程；對(duì)一些簡單的實(shí)際問題會(huì)建立相應(yīng)的微分方程。第三節(jié)

11、 恰當(dāng)方程與積分因子（2+2課時(shí)）1、教學(xué)目的和要求： 掌握恰當(dāng)方程的判別法與非恰當(dāng)方程的積分因子的求法；會(huì)用變量代換法、交換x與y的位置、微分與微商轉(zhuǎn)換和尋找積分因子等方法求解非典型的一階微分方程。掌握一階隱方程的解法和其參數(shù)表示。會(huì)求解幾種可降階的高階方程。了解黎卡蒂方程。2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)：教學(xué)要點(diǎn)：恰當(dāng)方程的判別法與非恰當(dāng)方程的積分因子的求法；知識(shí)點(diǎn)： 恰當(dāng)方程的求解方法；積分因子的求法。 3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：恰當(dāng)方程的判別法與非恰當(dāng)方程的積分因子的求法。 難點(diǎn)：判斷方程類型采用正確解法求解；恰當(dāng)方程判定條件的證明；積分因子的尋求。 4、教學(xué)內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度 要求能熟

12、練判斷方程類型采用正確解法求解。第四節(jié) 一階隱方程與參數(shù)表示（2課時(shí)）1、教學(xué)目的和要求： 掌握一階隱方程的解法和其參數(shù)表示；會(huì)求解幾種可降階的高階方程；了解黎卡蒂方程。2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)：教學(xué)要點(diǎn)：掌握一階隱方程的解法和其參數(shù)表示；知識(shí)點(diǎn)：一階隱方程的解法。 3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：一階隱方程的解法和其參數(shù)表示難點(diǎn)：不顯含x或y的一階隱方程的求解，參數(shù)表示法中參數(shù)變換的適當(dāng)選擇 4、教學(xué)內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度 要求能熟練掌握一階隱方程的解法和其參數(shù)表示第三章 一階微分方程的解的存在定理（10課時(shí)）第一節(jié) 解的存在與唯一性定理與逐步逼近法（4課時(shí)）1、教學(xué)目的和要求： 掌握解的存在唯一性

13、定理，該定理是微分方程中的基本定理，同時(shí)也是微分方程近似計(jì)算的前提和根據(jù). 理解近似計(jì)算和誤差估計(jì).3 熟練掌握運(yùn)用逐步逼近法這一重要的分析方法，運(yùn)用該定理證明解的存在唯一性定理.2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)：教學(xué)要點(diǎn)：掌握存在唯一性定理及證明方法逐次逼近法；知識(shí)點(diǎn)：存在唯一性定理及逐次逼近法。 3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：存在唯一性定理；會(huì)求方程的近似解和誤差估計(jì)。難點(diǎn)：存在唯一性定理的證明方法逐次逼近法 4、教學(xué)內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度 熟記初值問題的存在唯一性條件。第二節(jié) 解的延拓（2課時(shí)）1、教學(xué)目的和要求： 理解解的延拓定理，此定理揭示了微分方程解的重要性質(zhì).2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)：教學(xué)要點(diǎn)：

14、有界及無界區(qū)域中解的延拓定理； 知識(shí)點(diǎn)：解的延拓。 3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：解的延拓定理，結(jié)合解的存在唯一性和延拓定理會(huì)初步應(yīng)用于討論某些方程解的最大存在區(qū)間。難點(diǎn)：解的延拓定理結(jié)論的準(zhǔn)確含義。 第三節(jié) 解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理（2課時(shí)）1、教學(xué)目的和要求： 理解解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理.2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)：教學(xué)要點(diǎn)：解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理； 知識(shí)點(diǎn)：解對(duì)初值的可微性定理。 3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理 第四節(jié) 奇解（2課時(shí)）1、教學(xué)目的和要求： 理解奇解的概念并會(huì)求方程的奇解及克萊羅方程.2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)：教學(xué)要點(diǎn)：奇解的概念；求奇解的方程及克萊羅方

15、程的求法； 知識(shí)點(diǎn)：奇解；克萊羅方程。 3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 求奇解的方程及克萊羅方程的求法第四章 高階微分方程（12課時(shí)）第一節(jié) 線性微分方程的一般理論（4課時(shí)）1、教學(xué)目的和要求： （1）了解n階線性方程的解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論；（2）掌握齊線性方程的解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)疊加原理，純量函數(shù)線性相關(guān)/線性無關(guān)的概念，利用純量函數(shù)組的Wronsky行列式判定齊線性方程的解的線性關(guān)系，n階齊線性方程通解結(jié)構(gòu)定理，基本解組的概念。（3）掌握n階非齊線性方程的解的性質(zhì)和通解結(jié)構(gòu)，以二階非齊線性方程為主要對(duì)象介紹n階非齊線性方程的常數(shù)變易法。2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)：教學(xué)要點(diǎn)：掌握齊（非齊）線性方程的解的

16、性質(zhì)和通解結(jié)構(gòu)，二階非齊線性方程的常數(shù)變易法。知識(shí)點(diǎn)：基本解組；通解結(jié)構(gòu)。 3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：齊線性方程解的線性關(guān)系的判定，齊（非齊）線性方程的通解結(jié)構(gòu)，二階非齊線性方程的常數(shù)變易法。難點(diǎn)：函數(shù)的線性相關(guān)、無關(guān)與Wronsky行列式的關(guān)系。 4、教學(xué)內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度 熟記齊（非齊）線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)；伏朗斯基行列式與齊線性微分方程的基本解組；非齊線性微分方程與常數(shù)變易法 第二節(jié) 常系數(shù)線性方程的解法（4+2課時(shí)） 1、教學(xué)目的和要求： 1理解復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解的概念和性質(zhì)；并能運(yùn)用復(fù)數(shù)法求解非齊線性微分方程的特解.2熟練掌握常系數(shù)齊線性微分方程的基本解組的特征根法（或歐

17、拉待定指數(shù)函數(shù)法）3掌握常系數(shù)非齊線性微分方程的特解的待定系數(shù)法及運(yùn)用常數(shù)變易法求出一般非齊線性微分方程的特解.4熟練掌握常系數(shù)線性微分方程與歐拉方程2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)：教學(xué)要點(diǎn)：掌握常系數(shù)齊（非齊）線性方程的解法。知識(shí)點(diǎn)：常系數(shù)齊（非齊）線性方程的求解。 3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：待定指數(shù)函數(shù)法求解常系數(shù)齊線性方程，比較系數(shù)法求解帶特殊自由項(xiàng)的常系數(shù)非齊線性方程。難點(diǎn)：各解法的推理過程。 4、教學(xué)內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度 能熟練求常系數(shù)齊（非齊）線性微分方程的解 第三節(jié) 高階方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法（2課時(shí)） 1、教學(xué)目的和要求： 熟練掌握高階方程中的可降階的一些方程類型的解法；理解一般二

18、階齊線性方程的特解的冪級(jí)數(shù)解法；理解n階貝塞耳方程概念及其解法.2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)：教學(xué)要點(diǎn)：降階法求高階方程的解；知識(shí)點(diǎn)： 降階法 3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：高階方程中的可降階的一些方程類型的解法難點(diǎn)：各解法的區(qū)別 4、教學(xué)內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度 高階方程的降階；二階線性方程的冪級(jí)數(shù)解法第五章 線性微分方程組（16課時(shí)）第一節(jié) 存在唯一性定理（4課時(shí)）1教學(xué)目的和要求了解線性微分方程組的有關(guān)概念，解的存在唯一性定理及證明。理解線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)，通解基本定理，掌握常數(shù)變易法和劉維爾公式。熟練掌握常系數(shù)線性微分方程組的解法（單特征根情形）。 1、教學(xué)目的和要求： 了解線性微分方程組的有

19、關(guān)概念，解的存在唯一性定理及證明。2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)：教學(xué)要點(diǎn)：矩陣表示下線性微分方程組的解、初值問題的定義，n階線性微分方程與某類一階n維線性微分方程組的等價(jià)轉(zhuǎn)化。知識(shí)點(diǎn)： n階線性微分方程與某類一階n維線性微分方程組的等價(jià)轉(zhuǎn)化。 3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：線性微分方程組的相關(guān)概念在矩陣范疇下的表達(dá)方式；n階線性微分方程與某類一階n維線性微分方程組的等價(jià)轉(zhuǎn)化。難點(diǎn)：n階線性微分方程與某類一階n維線性微分方程組的等價(jià)轉(zhuǎn)化。第二節(jié) 線性微分方程組的一般理論（4+2課時(shí)）1、教學(xué)目的和要求： 1會(huì)利用向量函數(shù)組的Wronsky行列式判定齊線性方程的解的線性關(guān)系；2掌握齊線性方程組的通解結(jié)構(gòu)，基本解

20、組的概念，齊線性方程組的解結(jié)構(gòu)理論在n階齊線性方程中的推論，解結(jié)構(gòu)理論的矩陣表述（包括：解矩陣、基解矩陣的概念及基解矩陣的關(guān)系）；3掌握非齊線性方程組的通解結(jié)構(gòu)，非齊線性方程組的常數(shù)變易法及其在n階非齊線性方程中的推論。2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)：教學(xué)要點(diǎn)：解矩陣、基解矩陣的概念及基解矩陣的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)：基解矩陣 3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：齊線性方程組的解向量線性關(guān)系的判定，齊（非齊）線性方程的通解結(jié)構(gòu)。難點(diǎn)：向量函數(shù)的線性相關(guān)、無關(guān)其與Wronsky行列式的關(guān)系。線性方程組的通解結(jié)構(gòu)理論與n階線性方程相關(guān)結(jié)論的關(guān)系。第三節(jié) 常系數(shù)線性微分方程組（4+2課時(shí)）1、教學(xué)目的和要求： 1了解待定指數(shù)向量函數(shù)法求解方程組的非零解的思想，常系數(shù)齊線性方程的特征方程、特征根的概念與計(jì)算。2熟練掌握基解矩陣、實(shí)值基解矩陣的計(jì)算3掌握常系數(shù)線性微分方程組的基本解法；掌握運(yùn)用常數(shù)變易法求解非齊線性微分方程組，記住常數(shù)變易公式 4理解拉普拉斯變換的一些應(yīng)用，它往往能簡化常系數(shù)線性微分方程組的初值問題的求解.5掌握高階線性方程與線性微分方程組的關(guān)系，懂得將線性微分方程組的有關(guān)結(jié)果推論到高階線性方程上去.2、教學(xué)要點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)：教學(xué)要點(diǎn)：基解矩