多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則鏈?zhǔn)揭?guī)則鏈?zhǔn)揭?guī)則一階全微分的形式不變性一階全微分的形式不變性薛星美( ).dyfx dx( )gradfxf( )( )ffxJx一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則xuuyxyddddddxxufuufyd)()(d)(d一階微分形式不變性一階微分形式不變性對對多元復(fù)合函數(shù)成立嗎？多元復(fù)合函數(shù)成立嗎？復(fù)合函數(shù)( , ),( , )fzf x yx yD設(shè)fDRf2:gg DR設(shè)2RgDgfg可構(gòu)造復(fù)合函數(shù) ( , ), ( , ), ( , )gzfgf x u vy u vu vD在何條件下復(fù)合函數(shù)可偏導(dǎo)？在何條件下復(fù)合函數(shù)可偏導(dǎo)？偏

2、導(dǎo)數(shù)如何計算？偏導(dǎo)數(shù)如何計算？討論的是偏導(dǎo)數(shù)，先假設(shè)g是一元二維函數(shù) 設(shè)函數(shù)( ),( ),xx tyy tt在點(diǎn) 可導(dǎo)( , )zf x y處可微( , )x y在點(diǎn)討論復(fù)合函數(shù)( ( ),( )zf x ty t關(guān)于 t 可導(dǎo)性( ),( )xx tyy t( ( ),( )zf x ty t定理定理. 若函數(shù)( ),( ),xx tyy tt在點(diǎn) 可導(dǎo)( , )zf x y處可微, ( ( ), ( )x ty t在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn) t 可導(dǎo), ddddddzzxzytxtyt且有鏈?zhǔn)椒▌t由此立即可得到定理由此立即可得到定理12.2.1.( ( , ),( , )zf x u vy u

3、v定理定理. 若函數(shù)( , ),ggu vD在點(diǎn)可導(dǎo)( , )zf x y處可微, ( , ) ( , ),( , )x yxx u vyy u v在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)zzxzyuxuyu，且有鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t( , )u v在點(diǎn)可偏導(dǎo)zzxzyvxvyv( , )zf x y的可微性減弱為可偏導(dǎo)時，結(jié)論是否成立？的可微性減弱為可偏導(dǎo)時，結(jié)論是否成立？例如例如:( ,)zf x y,xtyt易知:(0,0)0 ,(0,0)xzfx但復(fù)合函數(shù)),(ttfz 21ddtzddddzxzyxtyt01010(0,0)0(0,0)yzfy2t22222,0 x yxyxy,0220 xy“分線加分線加 ，沿

4、線乘，沿線乘”或“并聯(lián)加并聯(lián)加 ，串聯(lián)乘，串聯(lián)乘” zxyuv uvzzxzyuxuyuzzxzyvxvyv例例. 設(shè)設(shè),sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 又如,( , ),( , )zf x vvx y其中當(dāng)它們都具有可微條件時, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 這里xzxfxz表示固定 y 對 x 求導(dǎo),xf表示固定 v 對 x 求導(dǎo)xfx

5、vvfyvvf與不同,v,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy例. 已知求.),(22xyyxf解解: 設(shè)2( ,)1zf x x對兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo), 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf2z = f(x,x )1z 則zxx2x推廣到一般多元復(fù)合函數(shù)zzxzyuxuyuzzxzyvxvyv(,)(,)xxzzzzuvyyuvxyuv鏈?zhǔn)椒▌t的矩陣表示：鏈?zhǔn)椒▌t的矩陣表示：),(,:21mmfyyyfzRRDf設(shè):nmgg DRR),(),(2121mnyyyxxx,維向量值函數(shù)元上的為區(qū)域mnRDng則可得復(fù)合函數(shù)的值域如果,)(fgDG

6、gg).,(,),(111nmnxxyxxyfgfz,gf設(shè) 可導(dǎo)可微 則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo) 且1212,1,2, .iiimxixyxyxymzz yz yzyin多元復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t的矩陣表示21(,)nzzxxzx1(,)mzzyy122211112212nnmmnmyyxyxyxyxyxyxyxxyx()( )grad fgx ( )gradf y( )gJx( )()( )( )( ).y g xfgxfyg x用導(dǎo)數(shù)記號表示：用導(dǎo)數(shù)記號表示：(當(dāng) 在二、三象限時, )xyarctan例例. 設(shè)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求下列表達(dá)式在),(yxfu 222222)2(,)()() 1 (yuxu

7、yuxu解解: 已知sin,cosryrxuryxyx極坐標(biāo)系下的形式xrruxu(1), 則xyyxrarctan,22rxxr x2xy2)(1xysinrxururusincoscos ,yuyrru12cossin,1 ( )xyxryyryrrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxuurx yxy 已知rsin) (rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx) (rxu) (xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2cos) (r

8、注意利用注意利用已有公式已有公式22yu2222yuxu21r22xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru),(,:21mmfyyyfzRRDf設(shè):nmgg DRR,維向量值函數(shù)元上的為區(qū)域mnRDng則可得復(fù)合函數(shù)的值域如果,)(fgDGgg).,(,),(111nmnxxyxxyfgfz,gf設(shè) 可導(dǎo)可微 則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo) 且( )()( )( )( ).y g xfgxfyg x:nmgg

9、DRR),(),(2121mnyyyxxx1()( )grad fgx 1( )gradfy( )gJx2()( )grad fgx 2( )gradfy( )gJx12()( )()( )grad fgxgrad fgx12( )( )gradfygradfy( )gJx()( )fgx ( )( )y g xfy( )g x二、一階全微分形式不變性二、一階全微分形式不變性設(shè)函數(shù)),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論 u , v 是自變量還是中間變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復(fù)合函數(shù)) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表達(dá) 形式都一樣, 這性質(zhì)叫做全微分形式不變性全微分形式不變性. )cos( )sin(yxyxeyx例例 .解解:) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy,sinyxvyxuvezu.,yzxz求對一般多元函數(shù)，全微分同樣