數(shù)學(xué)建模在醫(yī)藥衛(wèi)生領(lǐng)域中的研究與應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)建模在醫(yī)藥衛(wèi)生領(lǐng)域中的研究與應(yīng)用    【摘要】  介紹數(shù)學(xué)模型及其重要性，討論了數(shù)學(xué)建模的一般步驟，包括模型的準備、假設(shè)、建立、求解、檢驗、分析及其應(yīng)用的全過程；并結(jié)合醫(yī)藥衛(wèi)生領(lǐng)域中不允許缺貨的存儲模型、機械化傳送系統(tǒng)的效率模型、流行病學(xué)以及腫瘤生長的數(shù)學(xué)模型等幾個實際問題，探析了數(shù)學(xué)建模的技巧、分析了模型應(yīng)用的局限性，對實際工作具有一定的指導(dǎo)意義和較好的借鑒作用。 【關(guān)鍵詞】  數(shù)學(xué)建模 創(chuàng)新思維 醫(yī)藥衛(wèi)生 應(yīng)用Abstract  This paper introduced the mathematical mode

2、ling and its importance, discussed the general steps of this modeling ,including its preparation，Supposition， establishment，solution，test，analysis and the whole applying process. Combining with the storage modeling which not allow to be out of stock in medicine 、the efficiency modeling of mechanizat

3、ion transmission system、the mathematical modeling in epidemiology and tumor growth, it also dicussed the skill of establishing mathematical modeling , analysed the limitations of this modeling in application. This has a good guide and reference to the practical work.    Key words 

4、;  mathematical modeling ; innovative thinking;  medicine ; application1  引言    數(shù)學(xué)是一切科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)，是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系、空間形式的科學(xué)。隨著社會的發(fā)展，電子計算機的出現(xiàn)和不斷完善，數(shù)學(xué)不但運用于自然科學(xué)各學(xué)科、各領(lǐng)域，而且滲透到經(jīng)濟、管理以至于社會科學(xué)和社會活動的各領(lǐng)域。     眾所周知，利用數(shù)學(xué)解決實際問題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，然后才能在該模型的基礎(chǔ)上對實際問題進行分析、計算和研究。  &#

5、160; 數(shù)學(xué)建模(Mathematical  Modeling)活動是討論建立數(shù)學(xué)模型和解決實際問題的全過程，是一種數(shù)學(xué)思維方式。論文學(xué)術(shù)科研網(wǎng)2  數(shù)學(xué)建模的過程    數(shù)學(xué)建模的過程是通過對現(xiàn)實問題的簡化、假設(shè)、抽象，提煉出數(shù)學(xué)模型；然后運用數(shù)學(xué)方法和計算機工具等，得到數(shù)學(xué)上的解答；再把它反饋到現(xiàn)實問題，給出解釋、分析，并進行檢驗。若檢驗結(jié)果符合實際或基本符合，就可以用來指導(dǎo)實踐；否則再假設(shè)、再抽象、再修改、再求解、再應(yīng)用。其過程如圖1所示。    構(gòu)造數(shù)學(xué)模型不是一件容易的事，其建模過程和技巧具體主要包括以

6、下步驟：2.1  模型準備    在建模前要了解實際問題的背景，明確建模的目的和要求；深入調(diào)研，去粗取精，去偽存真，找出主要矛盾；并按要求收集必要的數(shù)據(jù)。2.2  模型假設(shè)    在明確目的、掌握資料的基礎(chǔ)上，抓住復(fù)雜問題的主要矛盾，舍去一些次要因素；對實際問題作出幾個適當?shù)募僭O(shè)，使復(fù)雜的實際問題得到必要的簡化。2.3  建立模型    首先根據(jù)主要矛盾確定主要變量；然后利用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具刻劃變量間的關(guān)系，從而形成數(shù)學(xué)模型。模型要盡量簡化、不必復(fù)雜，以能獲得實際問題的滿意解為

7、標準。2.4  模型檢驗    建模后要對模型進行分析，用各種方法(主要是數(shù)學(xué)方法，包括解方程、邏輯推理、穩(wěn)定性討論等；同時利用計算機技術(shù)、計算技巧)求得數(shù)學(xué)結(jié)果；將所求得的答案返回到實際問題中去，檢驗其合理性；并反復(fù)修改模型的有關(guān)內(nèi)容，使其更切合實際，從而更具有實用性。2.5  模型應(yīng)用    用建立的模型分析、解釋已有的現(xiàn)象，并預(yù)測未來的發(fā)展趨勢，以便給人們的決策提供參考。    總之，數(shù)學(xué)建模是一種創(chuàng)造性勞動，成功的模型往往是科學(xué)與藝術(shù)的結(jié)晶。一個“好”的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該具有以下特點

8、：考慮全面，抓住本質(zhì)；新穎獨特，大膽創(chuàng)新；善于檢驗，結(jié)果合理。而模型檢驗一般包括下列幾個方面：穩(wěn)定性和敏感性分析；統(tǒng)計檢驗和誤差分析；新舊模型的比較；實際可行性檢驗。    因此，數(shù)學(xué)建模的分析方法和操作途徑不可能用一些條條框框規(guī)定得十分死板，下面通過實例探析建模過程與技巧。3  模型：藥廠不允許缺貨的存儲模型3.1  模型準備(背景介紹)    企業(yè)或商品流動部門需要存儲原料或貨物。若存量過多（供過于求），會導(dǎo)致資金占用過多、存儲費用過高等問題；但存量過少（供不應(yīng)求），會導(dǎo)致訂貨批次增多而增加訂貨費用，有時造成的

9、缺貨也會發(fā)生經(jīng)營的損失。因此，如何選擇庫存量、訂貨量和訂貨時間是一個需要研究的現(xiàn)實問題。    實例1：某藥廠平均每天需要某種原料0.2噸，已知每噸原料每天的保管費為0.75元，每次的訂貨費用為75元。如果藥廠不允許缺貨并且每次訂貨均可立即補充，請為該藥廠做出最佳決策：即多長時間訂一次貨，每次訂多少貨才能使每天所花費的總費用最少。3.2  模型假設(shè)(分析問題)    在求解時需要考慮的費用問題有以下兩項：    進貨費用：包括固定費用(每次訂貨費用c1 元)和可變費用(貨物的成本費用 元噸，與訂

10、貨數(shù)量有關(guān))。    單位時間內(nèi)的存儲費用：c2 元噸。    由于題設(shè)“藥廠不允許缺貨并且每次訂貨均可立即補充”，即缺貨費用為零，因此，總費用 T=T1+T2，其中T1 為進貨費用，T2 為存儲費用。3.3  模型建立    設(shè)每隔 t天訂一次貨，每次訂貨數(shù)量為x ，每次訂貨費為c1 ，每天（單位時間）每單位貨物存儲費為c2 ，每天內(nèi)對貨物的需求量為r 。    經(jīng)分析，在上述假定條件下有x=rt ，每次的進貨費為：c1+cx=c1+crt ，則平均每天的進貨費為

11、：T1=c1t+cr ；    又每天的平均庫存量為x2 ，則每天的平均庫存費為T2=c2?x2=12c2rt ；    則每天總費用為：T(t)=c1t+rc+c2rt23.4  模型求解    制定最優(yōu)存儲方案，可歸結(jié)為確定訂貨周期t ，使T(t) 達到最小值。根據(jù)“微分法”：    因 dT(t)dt=-c1t+12c2r，令 dT(t)dt=0，    得駐點： t=2c1rc2，（1）    而

12、T2c1rc2=c32r32c1>0，    故t=2c1rc2 時，T（t）取得最小值；代入x=rt ，求得每批最佳訂貨量為：    x*=r2c1rc2=2c1rc2 （2）    式（2）是經(jīng)濟學(xué)中著名的經(jīng)濟訂貨批量公式，它表明：訂貨費越高，需求量越大，則每次訂貨批量應(yīng)越大；存儲費越高，則每次訂貨批量應(yīng)越小。這種分析與實際意義相符合。3.5  模型應(yīng)用    在（1）、（2）式中，代入實例1中的已知數(shù)值:  c1=75,  c2=0.

13、75,  r=0.2，得最佳訂貨時間間隔和每批最佳訂貨量分別為：    t0=2×750.75×0.2=31.623 （天）；    x0=6.3246 （噸）。    實證研究表明，存儲模型能提供科學(xué)、合理、經(jīng)濟的管理思路，從而有效地提高管理效益。4  模型：機械化傳送系統(tǒng)的效率模型    實例2：假設(shè)在某藥廠機械化生產(chǎn)車間里，排列整齊的工作臺旁工人們緊張地生產(chǎn)同一種藥品；工作臺上方一條設(shè)置若干鉤子的傳送帶在運轉(zhuǎn)，工人們將藥品掛在經(jīng)過

14、他上方的鉤子上帶走；當生產(chǎn)進入穩(wěn)定狀態(tài)后，每個工人生產(chǎn)出一件藥品所需時間是不變的，而他要掛藥品的時刻卻是隨機的。衡量這種傳送系統(tǒng)的效率可以看它能否及時把工人們生產(chǎn)的藥品帶走。顯然，在工人數(shù)目不變的情況下傳送帶速度越快，帶上鉤子越多，效率會越高。要求構(gòu)造一個衡量傳送系統(tǒng)效率的指標，并且在一些簡化假設(shè)下建立一個模型來描述這個指標與工人數(shù)目、鉤子數(shù)量等參數(shù)的關(guān)系。4.1  模型分析    為了用傳送帶及時帶走的藥品數(shù)量來表示傳送系統(tǒng)的效率，在工人們生產(chǎn)周期(即生產(chǎn)一件藥品的時間)相同的情況下，需要假設(shè)工人在生產(chǎn)出一件藥品后，要么恰好有空鉤子經(jīng)過他的工作臺，使他

15、可以將藥品掛上帶走；要么沒有空鉤子經(jīng)過，迫使他將藥品放下并立即投入下一件藥品的生產(chǎn)，以保持整個系統(tǒng)周期性地運轉(zhuǎn)。    工人們的生產(chǎn)周期雖然相同，但是由于各種隨機因素的干擾，經(jīng)過相當長時間后，他們生產(chǎn)完一件藥品的時刻就會不一樣，可以認為是隨機的，并且在一個生產(chǎn)周期內(nèi)任一時刻的可能性是一樣的。    由上述分析可知，傳送系統(tǒng)長期運轉(zhuǎn)的效率等價于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期內(nèi)能帶走的藥品數(shù)與一周期內(nèi)生產(chǎn)的全部藥品數(shù)之比來描述。    為了將問題簡單化到用簡單的概率方法來解決，我們做出如下的假設(shè)

16、。4.2  模型假設(shè)     有n個工人，其生產(chǎn)是相互獨立的；生產(chǎn)周期是常數(shù)；n個工作臺均勻排列。     生產(chǎn)已進入穩(wěn)定狀態(tài)，即每個工人生產(chǎn)出一件藥品的時刻在-周期內(nèi)是等可能的。     在一周期內(nèi)有m個均勻排列的鉤子通過每一工作臺上方，到達第一個工作臺上方的鉤子都是空的。     每個工人在任何時刻都能且只能觸到一只鉤子。于是在他生產(chǎn)出一件藥品的瞬間，若他能觸到空鉤子，則可將藥品掛在鉤子上帶走；否則他只能將這件藥品放在地上

17、，而將它永遠退出這個傳送系統(tǒng)。4.3  模型建立與求解    將傳送系統(tǒng)效率定義為一周期內(nèi)帶走的藥品數(shù)（設(shè)為s ）與生產(chǎn)的全部藥品數(shù)（顯然為 n）之比，記作D=sn 。于是，只需求出s 就行了。    若從工人角度考慮，每個工人能將自己的藥品掛上鉤子的概率顯然與工人所在的位置有關(guān)，這樣就使問題復(fù)雜化了。若從鉤子的角度考慮，在穩(wěn)定狀態(tài)下，鉤子沒有次序，處于同等的地位，若能對一周期內(nèi)的m只鉤子求出每只非空的概率p ，則 s=mp 。    求解p 的步驟如下(均對一周期而言)：  

18、;  任一鉤子被一名工人觸到的概率為1m ；    任一鉤子不被一名工人觸到的概率為 1-1m ；    根據(jù)工人生產(chǎn)的獨立性，任一只鉤子不被所有n個工人掛上藥品的概率，即任一鉤子為空鉤的概率為(1-1m) ；    從而任一鉤子為非空鉤的概率為:    p=1-(1-1m)n    故傳送系統(tǒng)效率指標為:    D=mpn=mn1-(1-1m)n（3）4.4  模型簡化  &

19、#160; 在鉤子數(shù)m 遠大于工人數(shù)n 時，即nm 較小的情況下，可經(jīng)簡化，將多項式(1-1m)n 展開后只取前3項，則有:    Dmn1-(1-nm+n(n-1)2m2)=1-n-12m（4）      再假定n永大于1，則此模型可簡化為：    D=1-E, En2m（5）4.5  模型應(yīng)用    當工人數(shù) =10人，鉤子數(shù) =40個時，由簡化模型(5)式給出的結(jié)果為 D=87.5；而由(3)式得到的精確結(jié)果為D=89.4 。由此可見，數(shù)學(xué)

20、模型具有的適用性和局限性。5  模型：無移除的簡單流行病學(xué)模型    隨著生命科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)在醫(yī)藥學(xué)中的應(yīng)用，主要是采用各種數(shù)學(xué)方法建立醫(yī)藥學(xué)數(shù)學(xué)模型，即建立表示醫(yī)藥學(xué)問題中各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方程（常見有微分方程）。    實例3：假定感染通過一個群體內(nèi)成員之間的接觸而傳播，感染者不因死亡、痊愈或隔離而被移除，則所有的易感者最終都將轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊?。顯然，這種假定對實際情況而言是太簡化了，但可近似地適用于下述情況：疾病有高度的傳染力，但尚未嚴重到發(fā)生死亡或需要隔離的程度，例如某種上呼吸道感染。也可近似地表示這樣一種疾病的流行

21、：從流行中移除的時間一般要比感染傳遍群體的時間更長。5.1  模型假設(shè)    為了建立這類流行病的數(shù)學(xué)模型，對群體及其流行病學(xué)狀態(tài)作如下假設(shè)：    在時間t 時的易感人數(shù)和感染人數(shù)分別為 S和I ；    群體是封閉性的，總?cè)藬?shù)為N ，在這 N個人中開始時只有一個感染者；    該群體中各成員之間接觸是均勻的，易感者轉(zhuǎn)為感染者的變化率與當時的易感人數(shù)和感染人數(shù)的乘積成正比。學(xué)術(shù)科研網(wǎng)5.2  模型建立與求解    根據(jù)上述假

22、設(shè)，可建立如下數(shù)學(xué)模型：    dSdt=-SI ，（6）    S+I =N，（7）初始條件是I(0)=1 ，比例系數(shù) 稱為感染率。    將式（7）代入（6）式，得：    dSdt=-S(N-S)（8）    分離變量后再兩邊積分，得：    1NlnSN-S=-t+C（9）    其中C 為積分常數(shù)。將初始條件I(0)=1 ，代入上式（9），可得C=ln(N-1)N ，代入（9）

23、式 即得:    1NlnSN-S=-t+ln(N-1)N    整理后得易感人數(shù)隨時間變化的動態(tài)關(guān)系式：    S=N(N-1)(N-1)+eNt6  模型：腫瘤生長的數(shù)學(xué)模型    實例4（模型假設(shè)）：設(shè)V 表示在時刻t 腫瘤的大?。w積、重量、細胞數(shù)等），由經(jīng)驗知，腫瘤在時刻t 增長的速率與當時的大小V 值成正比，比例系數(shù)為k ；但比例系數(shù)k 不是常數(shù)，它隨時間t 減小，其減小速率與當時k 的大小成正比，此比例系數(shù)（0 ）為常數(shù)。6.1  模型建立&

24、#160;   經(jīng)分析，并根據(jù)已知經(jīng)驗和微分方程知識，可建立如下數(shù)學(xué)模型：dVdt=kV   (10)dkdt=-k   (11)6.2  模型求解：    現(xiàn)分兩種情況討論上述模型的解：    如果=0 ，這時dkdt=0 ，故k 為常數(shù)，記為A 。設(shè)t=0 時，V=V0 ，則由(10)式，得：    V=V0eAt（12）由此可知，在這種情況下，腫瘤完全呈指數(shù)生長，生長速率常數(shù)為A。    如果>

25、0 ，這時由（11）式，得    k=Ae-t ，其中，A 為t=0 時的 k值。    將上式代入方程（10），有    dVdt=AVe-t    分離變量后積分，得    ln V=-Ae-t+lnC （ C為任意常數(shù)）    設(shè)t=0 時，V=V0 ，于是有C=V0eA ，從而有：    V=V0eA(1-et)（13）這就是描述腫瘤生長的數(shù)學(xué)關(guān)系式，稱為高姆帕茨（Gompert

26、z）函數(shù)。6.3  模型應(yīng)用    現(xiàn)在利用高姆帕茨函數(shù)來研究腫瘤生長情況：    當t0 時，由于e-t 1-t ，于是式（13）成為：V=V0eAt可見，當 為不等于0的有限值時，只要t 足夠小，即腫瘤生長的初期階段，腫瘤是呈指數(shù)生長的。    當t+ 時，e-t0 ，由式（13）得V 的最大漸近值為：Vmax=V0eA    這就是腫瘤生長的理論上限。容易知道，dVdt>0 ，故V單調(diào)遞增，從而當t+ 時，VVmax 。    通常把腫瘤體積增大一倍所需的時間稱為腫瘤的倍增時間，記為td 。不難算出，在式（12）所示指數(shù)生長的情