無(wú)窮級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)介紹整理人王浩

1、專轉(zhuǎn)本專題知識(shí)點(diǎn)-無(wú)窮級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義1 設(shè)給定一個(gè)數(shù)列則和式 （11.1）稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱為級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為,即=其中，第項(xiàng)稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或者通項(xiàng)。式（11.1）的前項(xiàng)和稱為式（11.1）的前項(xiàng)部分和。當(dāng)依次取1，2，3，.時(shí)，部分和構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，數(shù)列也稱為部分和數(shù)列定義2 若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限S ，則稱級(jí)數(shù)收斂，稱S是級(jí)數(shù)的和，即 如果部分和數(shù)列沒(méi)有極限，則稱為級(jí)數(shù)發(fā)散數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)（1） 若級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)都收斂，它們的和分別為和，則級(jí)數(shù)也收斂，且其和為（2） 若級(jí)數(shù)收斂，且其和為S，則它的每一項(xiàng)都乘以一個(gè)不為零的常數(shù)k,所得到的級(jí)數(shù)也收斂，且其和為kS（3） 在一個(gè)級(jí)數(shù)前面加上（或去

2、掉）有限項(xiàng)，級(jí)數(shù)的斂散性不變（4） 若級(jí)數(shù)收斂，則將這個(gè)級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后，所成的級(jí)數(shù)也收斂，且與原級(jí)數(shù)有相同的和（5） （級(jí)數(shù)收斂的必要條件）若級(jí)數(shù)收斂，則綜上所述，幾何級(jí)數(shù)的斂散性 調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性 發(fā)散數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性研究對(duì)象：正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)：若級(jí)數(shù)=滿足條件，則稱此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是其部分和數(shù)列有界定理2 （比較判別法）若級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)為兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，那么：（1） 若級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂（2） 若級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)也發(fā)散那么的斂散性是定理3（達(dá)朗貝爾比值判別法）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)（）滿足條件 則（1） 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂（2） 當(dāng)時(shí)

3、，級(jí)數(shù)發(fā)撒（3） 當(dāng)時(shí)，無(wú)法判斷此級(jí)數(shù)的斂散性2 交錯(cuò)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)（）稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)定理4（萊布尼茲判別法）若交錯(cuò)級(jí)數(shù)（）滿足下列條件（1）（2）則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，其和其余項(xiàng)的絕對(duì)值3 絕對(duì)收斂和條件收斂若級(jí)數(shù)的各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)，則稱級(jí)數(shù)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)定義 如果任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)絕對(duì)值組成的級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；如果發(fā)散，而收斂，則稱級(jí)數(shù)條件收斂定理5 如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)必收斂定理6 如果任意項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足條件 （1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂（2）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)撒冪級(jí)數(shù)定義1 如果是定義在某個(gè)區(qū)間I上的函數(shù)，則稱函數(shù) （11.4）為區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義2 形如（11.5）的級(jí)數(shù)稱為的冪級(jí)數(shù)，其中均為常數(shù)

4、，稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)（11.6）稱為x的冪級(jí)數(shù)定義 3 對(duì)于形如式（11.6）的冪級(jí)數(shù)若設(shè)，則 根據(jù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法可知：（1） 當(dāng)時(shí)，若，即，式（11.6）絕對(duì)收斂若，即，式（11.6）發(fā)散若，即，則比值判別法失效，式（11.6）可能收斂也可能發(fā)散（2） 當(dāng)，由于，式（11.6）對(duì)任何x都收斂稱為冪級(jí)數(shù)式（11.6）的收斂半徑定理1 如果冪級(jí)數(shù) 的系數(shù)滿足條件，則（1） 當(dāng)時(shí)，（2） 當(dāng)時(shí)，（3） 當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)設(shè)冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別是與（與均不為0），它們的和函數(shù)分別為與1. （加法與減法運(yùn)算） 所得的冪級(jí)數(shù)仍收斂，且收斂半徑是與中較小的一個(gè)2. （乘法運(yùn)算）兩冪級(jí)數(shù)相乘所得的冪級(jí)數(shù)仍收斂，且收斂半徑是與中較小的一個(gè)3. （微分運(yùn)算）若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R，則在（-R,R）內(nèi)和函數(shù)S(x)可導(dǎo)，且有 且求導(dǎo)后所得的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為R4. （積分運(yùn)算）若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R，則和函數(shù)S(x)在該區(qū)間內(nèi)可積，且有且求導(dǎo)后所得的冪級(jí)數(shù)仍收斂，且收斂半徑仍為R函數(shù)展成