數(shù)值分析復(fù)習(xí)提綱

1、數(shù) 值 分 析 第一部分 線性方程組的數(shù)值解法一、基本要求1、 掌握每一種解法的基本思想，適用范圍，收斂條件，計算公式以及誤差估計.2、 在應(yīng)用中不同解法的異同、優(yōu)劣，加深對算法的理解，最好能上機計算.二、主要概念及結(jié)果主要概念定義1.1 對于方程通過某種方法建立了迭代法 （）如果對于任何使得極限成立，則稱該迭代法是收斂的.定義1.2 如果，對于，都有成立，則稱A是嚴格對角占優(yōu)的.主要算法與定理高斯(Gauss)消去法 假設(shè)A的所有順序主子式都不等于零，原來的方程組為 計算步驟為1） 把上面的第一個方程除以，在分別乘上后與第k個方程相加（）,得到于是我們從第2到第n個方程中消去了.2） 把上面

2、的第二個方程除以，再分別乘上后與第k個方程相加（）得到于是我們從第3到第n個方程中消去了.3） 繼續(xù)這個過程直到我們得到 4） 由上面的最后一個方程很容易得到，然后按相反次序回代逐一計算出方程的解.高斯(Gauss)列主元消去法 假設(shè)A的所有順序主子式都不等于零，原來的方程組為 （1） 消元過程.對，進行以下運算：1） 選主元.找行號，使得；2） 交換中的兩行；3） 消元：對于；對.（2） 回代過程.按下述公式；回代求解即可得到方程組的解.定理1.1 對于，如果A的所有順序主子式都不為零，則存在唯一的上三角矩陣U和對角元素為1的下三角矩陣L,使得Doolittle分解 根據(jù)定理1.1，對于，如

3、果A的所有順序主子式都不為零，則存在唯一的上三角矩陣U和對角元素為1的下三角矩陣L,使得.可以直接計算分解式中的諸元素.為此，我們假設(shè)，用U的第k列（）乘L，然后與A的相應(yīng)列比較，可以逐列（逐行）計算出L(U)的元素.定理1.2 設(shè)A是一個對稱正定矩陣，則存在唯一的下三角陣L，其對角元素都是正的，使得定理1.3 設(shè)A是一個對稱正定矩陣，則存在一個單位下三角陣L和對角矩陣D，使得定理1.4 迭代法對于任意收斂的充分必要條件是，其中是迭代矩陣的譜半徑.如果及假設(shè)A的對角元素，令A(yù)=D-L-U,其中D是A的對角部分構(gòu)成的矩陣.L和U分別是A的嚴格下（上）三角矩陣，則有以下幾個具體算法：雅可比迭代法

4、高斯-賽德爾迭代法 關(guān)于這兩個算法的收斂性有如下定理：定理1.5 如果方程組Ax=b的系數(shù)矩陣是嚴格對角占優(yōu)的，則雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法都收斂.定理1.6 如果方程組Ax=b的系數(shù)矩陣是對稱正定的，則高斯-賽德爾迭代法收斂.第二部分 非線性方程的數(shù)值一、基本要求掌握每種方法的基本思想、迭代公式、收斂條件以及與其他方法的差異.二、主要概念及結(jié)果主要概念定義2.1 對于方程，通過某種方法建立了迭代法 （2.1）如果存在使得極限，則稱該迭代法是收斂的.主要算法與定理定理2.1 設(shè)有方程，如迭代函數(shù)在有根區(qū)間a，b上滿足：（1） 當(dāng)時，；（2） 在a，b上可導(dǎo)，且有，則有：（1） 方程在a，

5、b上有唯一的根；（2） 對任意初值，迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列收斂于方程的唯一根，即；（3） 誤差估計定理2.2 設(shè)是方程的根，在的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且有，則必存在的一個鄰域，對于任意選取的初值，迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列收斂于方程的根.二分法 假設(shè)的隔根區(qū)間為，取，計算.如果，則取，否則取.繼續(xù)這個過程直到取見足夠的小，就可以把最后區(qū)間的中點作為方程的近似根.此法稱為二分法.牛頓法 計算公式定理2.3 如果，且在的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，則牛頓法是局部收斂的.弦截法 計算公式第三部分 插值法一、基本要求1、 在算法上要求熟練掌握拉格朗日插值法，等距節(jié)點插值法，牛頓插值法.2、 要求能按所給條件，選用適當(dāng)?shù)慕乒角蟪?/p>

6、近似函數(shù)或計算出函數(shù)的近似值，并會估計其誤差.二、主要概念及結(jié)果主要概念定義3.1 設(shè)在區(qū)間上有定義，且在上的個不同的點的函數(shù)值為，若存在一個代數(shù)多項式 （3.1）其中為實數(shù)，使得成立，則稱為函數(shù)的插值多項式，點稱為插值節(jié)點.主要算法與定理定理3.1 在個互異節(jié)點上滿足插值條件的次數(shù)不高于的插值多項式存在且唯一.拉格朗日插值多項式的一般形式其中為插值基函數(shù)，插值余項為 其中是區(qū)間中的某一個值，且和有關(guān)，所以 牛頓插值多項式及余項余項 牛頓前插公式牛頓后插公式第四部分 數(shù)值積分與數(shù)值微分一、基本要求掌握梯形求積公式、辛普森求積公式以及復(fù)化的梯形公式、復(fù)化的辛普森公式和龍貝格公式的構(gòu)造方法.二、主要概念及結(jié)果主要概念定義4.1 若求積公式對于任意不高于次的代數(shù)多項式都準確成立，而對于次多項式卻不能準確成立，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度.定義4.2 將個節(jié)點的具有次代數(shù)精度的插值型求積公式 稱為高斯型求積公式，節(jié)點稱為高斯點，稱為高斯系數(shù).主要算法與定理插值型求積公式 其中 牛頓-柯特斯公式 其中 梯形公式辛普森公式柯特斯公式其中 復(fù)化梯形公式復(fù)化辛普森公式復(fù)化柯特斯公式其中 龍貝格求積公式定理4.1 節(jié)點為高斯點的充分必要條件是以這些點為零點的多項式與任意次數(shù)不大于的多項式在上正交，即 .第