正弦定理余弦定理及其實際應(yīng)用

1、第7講正弦定理、余弦定理及其實際應(yīng)用隨堂演練鞏固1在 ABC 中，如果 BC=6,AB=4,cos B =1 .那么 AC 等于 （）A.6B. 2i6C.3 _6D.4i6答案:A2. 在 ABC中.BC = 2 B = 若厶ABC的面積為身.則tanC為（）A. -.“：3 B.1C.可 D.答案:C解析：由 S abc = ； BC - BAs in B = f 得 BA=1,由余弦定理得 AC2=AB2 BC2-2AB BC cosB, AC = 3 AC2 BA2 二 BC2 . ABC為直角三角形，其中A為直角， tan CAB3=AC = T3. 已知 ABC外接圓的半徑為 R,

2、且 2R（sin 2 A - sin 2C） = C 2a - b） sinB,那么角C的大小為 （ ）A. 30 B.45 C.60 D.90答案:B解析:根據(jù)正弦定理，原式可化為2R（tr _4R2）=（ *2a _b）去-二 a2 -c2 = （, 2ab）b a2 b2c2 二 2ab.結(jié)合余弦定理可知cosC二翳2 = ¥ C=45 .4. 若 ABC 中,acosA=bcosB,則厶 ABC 一定是（）A. 等邊三角形B. 等腰三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 直角三角形答案:C解析:由acosA=bcosB,根據(jù)正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,即

3、sin2A=sin2B. 2A=2B 或2A+2B=二,即 A=B 或 A B =£ ABC是等腰三角形或直角三角形.5. 如圖，某船在海上由西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東:-角，前進(jìn)m km后在B 處測得該島的方位角為北偏東 ：角，已知該島周圍n km范圍內(nèi)（包括邊界）有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù) 東行.當(dāng)a與0滿足條件時，該船沒有觸礁危險。答案：mcos 二 cos I ：n sin（xI ''）解析:由題可知，在厶ABM中,根據(jù)正弦定理得sinBM0二sin（m_廠解得BM二盤管要使船沒circ有觸礁危險,需要BMsin（ 90； - J =罟芒葺 n.所以

4、與的關(guān)系滿足 mcoscos卩： n sinC -）時，船沒有觸礁危險|課后作業(yè)夯基1在 ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊 若a=2bcosC,則此三角形一定是（）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形答案:C解析：因為a=2bcosC,所以由余弦定理得：a =2b 聳工 整理得bc2 .則此三角形一定是 等腰三角形|2已知A、B兩地的距離為10 km,B、C兩地的距離為20 km,現(xiàn)測得.ABC =120 ,則A、C兩 地的距離為（）A.10 kmB. .3 kmC.10 .5 kmD.10、,7 km答案:D解析：利用余弦定理 ACA

5、B2 BC2 -2AB BC cos120=102 202 -2 10 20 （弓）=700,AC = 10. 7（ km）.3下列判斷中正確的是（）A. ABC 中,a=7,b=14,A=30 ,有兩解B. ABC 中,a=30,b=25,A=150 ,有一解C. A ABC 中,a=6,b=9,A=45，有兩解D. ABC 中,b=9,c=10,B=60 ,無解答案:B解析:A: / a=bsinA,二有一解；B: / A>90 circ ,a>b,.有一解;C: / a<bsinA, 無解；D: / c>b>csinB, 有兩解.4. 在 ABC 中，若2c

6、osBsinA=sinC,則厶 ABC 一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等邊三角形答案:B解析:法一:由正、余弦定理得2 吟尹 ikABC外接圓半徑）,整理得a2 =b2. a=b. ABC 一定是等腰三角形.法二：/ sinC=sin二-（A+B）=sin（A+B）=si nAcosB+cosAsi nB,由已知得 sinAcosB-cosAsinB=0,即 sin （A-B）=0.又 A - B （-二，二），二 A-B=0,即A=B. ABC為等腰三角形.ooo5. 已知 ABC的三邊長分別為a,b,c且面積Sabc = +（b c -a ）則A等于（）A.4

7、5 B.30 C.120 D.15答案:A解析：由 S abc = ；(b c a )=2 bc sinA,.2,2 2得sin A = cosA, A=45a,b,c.若 C=120.c、2a 側(cè)6. (2010湖南高考，文7)在厶ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為 ( )A. a>bB. a<bC. a=bD. a與b的大小關(guān)系不能確定答案:A解析:在 ABC 中,由余弦定理得 c2 = a2 b2 2abcos120 = a- b2 ab 將 c =.：；i2a 代入上式，得 2aa2 b2 ab 從而 a b2 ab, a2 - b2 二ab 0. a2 b2 . a&

8、gt;b.7. (2010北京高考，文10)在厶ABC中,若b=1 C= GC二手則a=答案:1解析:在厶ABC中,由余弦定理知cosC =2ab a2 1 J312a1.二空.- a2 a-2=0.解得a=1 或a=-2(舍去),故填1.8.在 ABC 中.AB = 3 BC = . 13 AC = 4 .則 ABC 的面積為A 4 C答案3 3 解析：由余弦定理知cos A = =4為更=1 .則sin A 二則 Sabc =2 3 4 4 = 3 - 3 .9. 在 ABC中，三邊a、b、c所對的角分別為 A、B、C,若 a2 b c2. 2a 0則角C的大小為答案:亍解析:由題知，co

9、sC二吟A二筈一因為C (0 .二),所以C二寧.10. 在厶ABC中，內(nèi)角A、B、C對邊的邊長分別是a、b、c.已知c=2, C= "3 (1) 若厶ABC的面積等于求a,b;(2) 若sinB=2sinA,求厶ABC的面積.解:(1)由余弦定理及已知條件，得a2 b2 -汕二屯又因為 ABC的面積等于.3所以；absinC -、3 得ab=4.r 22聯(lián)立方程組 <a b -ab 二 4 ab = 4 .解得 a=2,b=2.由正弦定理，已知條件化為b=2a,-2 2聯(lián)立方程組彳a b ab 二 4.2 3解得a =翠.b b = 2a .所以 ABC的面積s = 2 ab

10、sin C二#11. 已知A、B、CABC的三個內(nèi)角，且其對邊分別為 a、b、c,且2cos| cosA=0.(1) 求角A的值；(2) 若a = 2i 3 b c =4求厶ABC的面積. 解: 由 2cos2-A cosA=0,得 1+cosA+cosA=0,即cos A -畀.角A ABC的內(nèi)角， A =務(wù).由余弦定理得a2二 b2c2-2bccos A A 二2.則a2= (b c)2 - be.又 a=2.3b c=4 有 12=42-bc 則 bc=4.故 S abc = 2 bcsin A = 3.12. 如圖矩形ABCD是機(jī)器人踢球的場地,AB=170 cm,AD=80 cm,機(jī)

11、器人先從AD中點(diǎn)E進(jìn)入場 地到點(diǎn)F處,EF=40 cm .EF _ AD .場地內(nèi)有一小球從點(diǎn) B向點(diǎn)A運(yùn)動，機(jī)器人從點(diǎn)F出發(fā)去截小球.現(xiàn)機(jī)器人和小球同時出發(fā)，它們均做勻速直線運(yùn)動，并且小球運(yùn)動的速度是機(jī)器人行走速度的2倍.若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間，則機(jī)器人最快可在何處截住小球解:方法一:設(shè)該機(jī)器人最快可在點(diǎn) G處截住小球，點(diǎn)G在線段AB上.連接FG, 設(shè)FG=x cm.根據(jù)題意，得=2x cm.則 AG=AB-=(170-2x)cm.連接 AF.在厶 AEF 中,EF=AE=40 cm EF _ AD所以 - EAF =45 AF =40.2 cm.于是FAG = 45 circ .在厶 AFG 中，由余弦定理，得 FG2 = AF2 AG2 -2AF AG cos FAG . 所以 x2 =(40、2)2(170 2x)2 -2 40-2 (170 2x) cos45 .解得 x, =50 x2370 .所以AG=170-2x=70 cm,或AG =-釁cm(不合題意，舍去).答:該機(jī)器人最快可在線段 AB上離A點(diǎn)70 cm處截住小球.方法二：設(shè)該機(jī)器人最快可在點(diǎn) G處截住小球，點(diǎn)G在線段AB上.連接FG,設(shè)FG=x cm.根據(jù)題意，得=2x cm.過點(diǎn)F作FH _ AB垂足為H.因為AE=EF=40 cm E AD