橢球面雙曲面拋物面

1、橢球面 雙曲面 拋物面§7.9 二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱著二次曲面。相應(yīng)地，將平面叫做一次曲面。一般的三元方程所表示的曲面形狀，已難以用描點(diǎn)法得到，那未怎樣了解它的形狀呢?利用坐標(biāo)面或用平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線( 即截痕 )的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌，這種方法叫做截痕法。下面，我們用截痕法來(lái)討論幾個(gè)特殊的二次曲面。一、橢球面由方程(1)所表示的曲面叫做橢球面。1、由(1)可知：這表明：橢球面(1)完全包含在以原點(diǎn)為中心的長(zhǎng)方體內(nèi)，這長(zhǎng)方體的六個(gè)面的方程為其中常數(shù) 叫做橢球面的半軸。2、為了進(jìn)一步了解這一曲面的形狀， 先求出它與三個(gè)坐標(biāo)面的交線這

2、些交線都是橢圓。3、用平行于坐標(biāo)面的平面去截橢球面，其截痕(即交線)為這是位于平面 內(nèi)的橢圓，它的兩個(gè)半軸分別等于 與，其橢圓中心均在軸上，當(dāng)由漸增大到時(shí)， 橢圓的截面由大到小，最后縮成一點(diǎn)。4、以平面 或 去截橢球面分別可得與上述類似的結(jié)果。綜上討論知：橢球面(1)的形狀如圖所示。5、特別地，若，而，則 (1) 變?yōu)檫@一曲面是坐標(biāo)面上的橢圓 繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，因此，稱此曲面為旋轉(zhuǎn)橢球面。它與一般橢球面不同之處在于如用平面與旋轉(zhuǎn)橢球面相截時(shí)，所得的截痕是圓心在軸上的圓其半徑為。6、若 ，那未(1)變成這是球心在原點(diǎn)，半徑為的球面。二、拋物面由方程(2)所表示的曲面叫做橢圓拋物面。設(shè)， 用

3、截痕法來(lái)考察它的形狀1、用坐標(biāo)面與該曲面相截，其截痕為2、用平行于坐標(biāo)面的平面與該曲面相截，所得截痕為這是中心在軸， 半軸分別為與 的橢圓。另外，平面與該曲面不相交，因此，原點(diǎn)是該曲面的頂點(diǎn)。3、用坐標(biāo)面與該曲面相截， 其截痕為這是一條拋物線，它的軸與軸相重合，頂點(diǎn)為。用平行于坐標(biāo)面的平面與該曲面相截，其截痕為這是一條拋物線，它的軸平行于軸， 頂點(diǎn)為。4、類似地， 用坐標(biāo)面以及平行于面的平面去截該曲面時(shí)， 其截痕也是拋物線。綜上所述，方程(2)所表示的曲面形狀如下特別地，如果，那么方程(2)變?yōu)檫@一曲面可看成是面上的拋物線 繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，這曲面叫做旋轉(zhuǎn)拋物面。由方程所表示的曲面叫做雙

4、曲拋物面或馬鞍面。當(dāng) 時(shí)，它的形狀如下圖所示點(diǎn)稱之為鞍點(diǎn)。三、雙曲面由方程(3)所表示的曲面叫做單葉雙曲面。下面用截痕法來(lái)考察它的形狀1、用坐標(biāo)面與該曲面相截，其截痕為這是一個(gè)中心在原點(diǎn)，且半軸分別為與的橢圓。2、用平行于面的平面去截曲面，其截痕為它是中心在軸上，兩個(gè)半軸分別為與的橢圓。3、用坐標(biāo)面與該曲面相截， 其截痕為它是中心在原點(diǎn)，實(shí)軸為軸，虛軸為軸的雙曲線。4、用平行于面的平面去截曲面，其截痕為它是中心在軸，兩個(gè)半軸的平方為與的雙曲線。如果，那么雙曲線的實(shí)軸平行于軸，虛軸平行于軸。如果，那么雙曲線的實(shí)軸平行于軸，虛軸平行于軸。如果，那么平面去截曲面所得截痕為一對(duì)相交于點(diǎn)的直線，它們是如果，那么平面去截曲面所得截痕為一對(duì)相交于點(diǎn)的直線，它們是5、類似地，用坐標(biāo)面和平行于面的平面去截曲面， 所得的截痕也是雙曲線，而用平面去截曲面